专题06：三角函数与解三角形（六大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（六） 三角函数与解三角形 易错点01：对轴线角理解不准确 注意：确定角终边所在位置,不要忽略角的终边在坐标轴上的情况，同时要注意是在整个坐标轴上，还是在半轴上. 【例1】已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【例2】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练】 1.若、为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 2.已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角． 3．已知是第三象限角，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 易错点02：应用三角函数定义忽略终边位置的讨论 【例3】若的终边所在直线经过点，则 ． 【例4】已知角的终边在直线上，则的值为 ． 【跟踪训练】 1.函数y＝＋＋的值域是(　　) A．{－1，1} B．{1，3} C．{1，－3} D．{－1，3} 2.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A．2 B． C．或2 D． 4．已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 ) A．－ B．－ C. D. 6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________． 易错点03：诱导公式认识不深导致变形错误 【例5】若，则=（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.记，那么( ) A． B． 　C． 　　D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.若，则（    ） A． B． C． D． 5.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 易错点04：三角求值不能深挖角的范围出错 【例6】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，，求的值． 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5.已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 易错点05：解三角形时错判解的个数 【例7】在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【例8】若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=________． 【跟踪训练】 1.在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 3．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 易错点06：忽略边角互化条件 【例9】中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【例10】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边． 2. 3. 在中，．求的面积． 3. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ． 易错点07：忽略三角形中的隐含条件 【例11】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 易错点08：判断三角函数的单调性忽略系数的符号 【例12】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例13】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数在的单调递减区间是 2.（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为π C．的图象关于点对称 D．在上是增函数 3.函数的单调递减区间是___． 易错点09： 混淆函数图像变换的规律而致错 注意：平移变换为左加右减，且平移的量为 【例14】把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【例15】若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1．要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 2．已知函数满足，函数，则将图象向（    ）平移（    ）个单位长度后可以得到的图象. A．左   B．左   C．右   D．右   3．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位． B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位． C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位． D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位． 5．为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 易错点10：参数问题不能准确判断临界点 【例16】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 3.已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、选择题 1．若，，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 2．若，则的终边在（    ） A．第一､三象限 B．第二､四象限 C．第一､三象限或在轴的非负半轴上 D．第二､四象限或在轴上 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4.将函数的图像平移得到的图像，则有（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 8.已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 9.将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10.已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 11．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 12．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14.已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题 15．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ． 16.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ． 17.内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 . 18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为 . 19.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 20.已知是三角形的一个内角，，则 ． 21. 在上的单调递减区间为 . 三、解答题 22．已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 23．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 24．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，． (1)求； (2)求的最小值． 25．锐角中，角的对边分别为，，其中． (1)求角； (2)过点作，且四点共圆，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（六） 三角函数与解三角形 易错点01：对轴线角理解不准确 注意：确定角终边所在位置,不要忽略角的终边在坐标轴上的情况，同时要注意是在整个坐标轴上，还是在半轴上. 【例1】已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【答案】C 【分析】由已知可求，，，，逐项分析即可得解． 【详解】∵是第二象限角， ∴，，即，， ∴是第一象限或第三象限角，故A错误； 由是第一象限或第三象限角，或，故B错误； ∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误. 故选：C． 【例2】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 【跟踪训练】 1.若、为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 【错解】A 【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似区间角． 【正解】如取，可知A不对．用排除法，可知应选D． 2.已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角． 【解析】是第三象限角，即 ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 3．已知是第三象限角，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案. 【详解】因为是第三象限角，故， 则， 故在第二象限， 故选：B 易错点02：应用三角函数定义忽略终边位置的讨论 【例3】若的终边所在直线经过点，则 ． 【错解】∵，所以． 【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论 【正解】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则，若的终边在第四象限，∴，综上可知． 【例4】已知角的终边在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】先分两种情况角的终边在第二象限或第四象限取点再结合余弦函数定义求值即可. 【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限． 当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点， 则点P到原点的距离，∴． 当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点， 则点到原点的距离，∴． 综上，或． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数y＝＋＋的值域是(　　) A．{－1，1} B．{1，3} C．{1，－3} D．{－1，3} 【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D. 2.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到与的值，分类讨论的取值，结合三角函数的和差公式即可得解. 【详解】设锐角绕原点逆时针转后得角，则， 根据题意角终边交单位圆于，则，则， 若，则， 所以 ，与为锐角不符合； 若，则 所以 ，满足条件； 综上，的值为. 故选：C. 3．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A．2 B． C．或2 D． 【答案】D 【分析】先确定所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出，再根据商数关系化弦为切即可得解. 【详解】由题意，得角是第二象限角，则， 故， 当时，，为第一象限角， 当时，，为第三象限角， 所以是第一象限角或第三象限角，则， 又因为，所以或（舍去）， 所以． 故选：D． 4．已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 ) A．－ B．－ C. D. 【错解】选D，因为，又sin α＝，∴cos α＝＝. 【错因】没有注意条件α是第二象限角， 【正解】选A　∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－＝－. 6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________． 【错解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝. 答案： 【错因】没有注意由条件θ∈可得sin θ<cos θ， 【正解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 又θ∈，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－. 答案：－ 易错点03：诱导公式认识不深导致变形错误 【例5】若，则=（ ） A． B． C． D． 【错解一】 ，无答案． 【错解二】， 故选D． 【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角看作锐角时，所在象限的相应余弦三角函数值的符号． 【正解】，故选A． 【跟踪训练】 1.记，那么( ) A． B． 　C． 　　D． 【解析】∵sin80°= = ， ∴tan100°=－tan80°=－－ =－．故选B． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可求值. 【详解】. 故选：A. 3.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：B． 4.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案. 【详解】， . 故选：C 5.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出的范围，再根据二倍角公式可得，进而根据同角的三角函数的关系和诱导公式求出结果． 【详解】，， ， ， ， 又，， ， ． 故选：C． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：根据平方关系、二倍角公式化简已知可得，结合诱导公式化简可得所求；方法二：利用辅助角公式化简已知可得，再根据二倍角公式化简可得所求. 【详解】方法一：，，，即，. 方法二，即，，，. 故选：D. 易错点04：三角求值不能深挖角的范围出错 【例6】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，则， ，， 由，易知，解得， 由，，且，则， 可得， 所以 ， 当时，，， 此时，则， 由，， 则，易知，解得，此时 ； 当时，，， 此时，则， 由，， 则，易知，解得，； 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知，，求的值． 【解析】据已知（1），有，又由于，故有，从而即（2）， 联立（1）、（2）可得，可得． 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果. 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 3．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以.又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 4.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由，可得与，结合两角差的正切公式可得解. 【详解】由，可得， 又，所以， 故，， 又，解得， 故选：B. 5.已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小. 【详解】由，则，又，故， 所以，而，则， ， 又，则. 故选：D 易错点05：解三角形时错判解的个数 【例7】在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由正弦定理求得，即可求解. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以或， 结合内角和定理，所以或， 故选：C 【例8】若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=________． 【答案】或 【分析】根据题意结合余弦定理、面积公式运算求解. 【详解】∵的面积，即，解得， 注意到，故或， 若，由余弦定理：，即； 若，由余弦定理：，即； 综上所述：或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1.在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】运用正弦定理计算即可. 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 由正弦定理可得，则，又，故. 3．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 4.在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围. 【详解】在中，，由有两解，得，且， 则，由外接圆半径为4及正弦定理，得， 所以边的长可能为5. 故选：D 易错点06：忽略边角互化条件 【例9】中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 【例10】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边． 【错解】由正弦定理,得sinA＝所以，，，所以，＝． 【错因】上述解法中，用正弦定理求C时，丢了一个解，实际上，由sinA＝可得或，故或． 【正解】由正弦定理,得sinA＝因为，，所以或，当时，，＝． 当时，，＝． 2. 在中，．求的面积． 【解析】根据正弦定理知：，即，得，由于即满足条件的三角形有两个故或.则或故相应的三角形面积为或． 3. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 【错解】由正弦定理，得，[来源:学科网] 即 ．[来源:Z.xx.k.Com] ∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形． 【错因】由，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏． 【正解】同上得，∴2A＝，或． ∵或． 故△ABC为等腰三角形或直角三角形．[来源:学科网] 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 5.在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出，由题设两边同时平方计算，再由基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】因，由正弦定理可得， 即，所以，又， 所以，，设边上的中线为， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 易错点07：忽略三角形中的隐含条件 【例11】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果． 【详解】因为，则，， 又， 故由正弦定理可得： ， 又为锐角三角形，故可得， 解得，则， 由于，在上单调递增， 当当， 故， 即． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用正弦定理及三角形面积公式求得，进而求得，再利用正弦定理及两角和正弦公式化简得，再利用正切函数性质结合锐角三角形的性质求解范围即可. 【详解】由正弦定理得，所以， 又三角形面积公式，可知，所以， 又，所以， 由正弦定理得， 锐角中，有，因为正切函数在上单调递增， 所以，从而. 故选：A 2．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值； 【详解】解：因为， 所以 因为 所以 ，即，， 时 故选： 易错点08：判断三角函数的单调性忽略系数的符号 【例12】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意要求函数的单调递增区间即求函数的递减区间即可求解. 【详解】由题意得， 要求的递增区间即求的递减区间， 当，，即，时， 单调递减，即单调递增，故B正确. 故选：B. 【例13】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间. 【详解】令，可得． 当时，函数单调递增． 所以当时，单调递增． 故在上单调递增． 故选：A. 【跟踪训练】 1.函数在的单调递减区间是 【答案】和 【分析】，求得在的单调递增区间即可. 【详解】， 故的单调递增区间即为的减区间， 由，得， 又，所以或， 所以函数在的单调递减区间是和. 故答案为：和. 2.（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为π C．的图象关于点对称 D．在上是增函数 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式整理可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】∵， 对于A：∵， 故是奇函数，A正确； 对B：的最小正周期为，B正确； 对C：， 故点不是的对称中心，C错误； 对D：∵，则，且在上是增函数， ∴在上是增函数，D正确； 故选：ABD. 3.函数的单调递减区间是___． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得函数的单调递减区间. 【详解】由得， 解得. 根据复合函数单调性同增异减可知， 函数的单调递减区间是. 故答案为： 易错点09： 混淆函数图像变换的规律而致错 注意：平移变换为左加右减，且平移的量为 【例14】把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 【例15】若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由三角函数的平移变换，得到变换后的解析式，由于变换后的图象与原图象重合，所以相差周期的整数倍，求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为． 因为平移后的图象与原图象重合，所以有（）， 即（），又，所以的最小值为3． 故选：B 【跟踪训练】 1．要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 2．已知函数满足，函数，则将图象向（    ）平移（    ）个单位长度后可以得到的图象. A．左   B．左   C．右   D．右   【答案】A 【分析】根据求出，即可得到解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】因为，即，即， 所以，又，所以当时，可得， 所以， 将向左平移个单位，可得函数. 故选：A 3．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数的解析式，根据三角函数的性质，可得答案. 【详解】由题意得，且， 由，得， 因为，所以的最小值为3. 故选：C. 4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位． B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位． C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位． D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位． 【错解】A、C、B 【错因】变换成误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C；把平移到平移方向错了，平移的单位误认为是，误选B． 【正解】由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位．即得函数，故选D． 5．为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】将函数变为的同名函数，然后利用函数图象的平移变换法则即可得解. 【详解】， 所以将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象. 故选：D． 易错点10：参数问题不能准确判断临界点 【例16】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解法一】令，求得，故函数的极值点依次为： ，因为在区间恰有三个极值点，故 ，解得； 令，求得，故函数的零点依次为： ，因为在区间恰有两个点，故解得， 从而的是. 【解法二】依题意可得，因为，所以，设 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 【跟踪训练】 1.已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得.   因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得.   综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 2.已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 3.已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质，求得函数的单调区间以及极值点，结合题意建立不等式，可得答案. 【详解】函数，令， 则其减区间为，增区间为，， 由函数在上单调，则，解得， ①当函数在上单调递减时，则，解得， 由，则，； ②当函数在上单调递增时，则，解得， 由，则不符合题意； 易知当，即时，函数取得极值， 可得，解得，由，则，， 综上所述，. 故选：B. 一、选择题 1．若，，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 【答案】D 【分析】由已知得出的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上，再求出的范围得出结果. 【详解】由，得， 所以的终边在第一象限或第四象限或在轴的非负半轴上； 由，得， 所以的终边在第二象限或第四象限或在轴上； 所以的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上， 即，则， 当为偶数时，的终边第四象限或在轴的非负半轴上； 当为奇数时，的终边第二象限或在轴的非正半轴上. 故的终边第二､四象限或在轴上. 故选：D. 2．若，则的终边在（    ） A．第一､三象限 B．第二､四象限 C．第一､三象限或在轴的非负半轴上 D．第二､四象限或在轴上 【答案】D 【分析】由已知得出的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上，再求出的范围得出结果. 【详解】由，得； ，. 所以的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上， 即，则， 当，的终边第四象限或在轴的非负半轴上； 当，的终边第二象限或在轴的非正半轴上. 故的终边第二､四象限或在轴上 故选：D. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，三者间关系求解即可. 【详解】因为①，两边平方得， 故， 所以与异号，又，所以，， 所以②， 由①②解得 ， 所以． 故选：C 4.将函数的图像平移得到的图像，则有（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式，将函数变形为，再利用图像的左右平移变换：左“加”右“减”，即可得出结果. 【详解】因为， 所以要得到函数 的图像， 可以将函数 的图像向右平移个单位长度， 故选: A. 5.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】， 故选：C． 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以，即， 两边同时平方整理得，所以． 故选：A 7．已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 【答案】 【分析】由二倍角的余弦定理，三角函数的基本关系和，可求出，，再由，代入化简即可得出答案. 【详解】，， 又，，所以， ，，， 又，，， ， 结合可知：. 故答案为：. 8.已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数相等得到，再化简得出的值和的解析式，最后求出的单调增区间即可. 【详解】由题意可知，，所以，即， 又因为，所以， 所以，解得，即. 令， 解得， 所以的单调递增区间为 所以在上单调递增. 故选：B. 9.将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2. 故选：B 10.已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干先求出的范围，进而求出的范围，再根据得出函数的图象关于点中心对称，最后根据图像的对称中心得出结论. 【详解】由题意知，函数在内有两个极值点， 设两个极值点分别为，则，则（为函数的最小正周期）， 解得.又，所以， 由，得函数的图象关于点中心对称， 即，即， 由，得，即的取值集合为. 故选：B 11．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【详解】，由正弦定理化简得， 即，故，， 则或，即或， 故选：C 12．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 13.若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的图象与性质，得到，且，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 14.已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可. 【详解】由的图象关于直线对称可得，， 而，故，. 若，则，故由可知在上有最小值. 所以，. 故选：A． 二、填空题 15．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值． 【详解】在中，，，延长到点，使得，， 在由正弦定理得， 可得， 又，所以或， 若，则， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 若，则， 则，不符合题意，故舍去； 综上可得． 故答案为：． 16.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得，再由，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，，由，即为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：发现，从而可变为，利用正弦定理可进行边化角. 17.内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 . 【答案】1 【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，且, 所以，则. 故答案为：1 18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由已知条件，运用正弦定理把边化角，求得，再利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， ，因为，所以，故， 由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 由，，得， 所以. 故答案为：. 19.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：在锐角中， ，且， 由余弦定理得：，解得； 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以 ， 即 ，解得 ， 所以， 故答案为：， 20.已知是三角形的一个内角，，则 ． 【答案】 【分析】先应用同角三角函数的基本关系及角的范围得出，再结合两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题知 , ， ． 故答案为：. 21. 在上的单调递减区间为 . 【答案】和 【分析】化简的解析式，求出的单调递减区间，求出与集合的交集即可. 【详解】， 令 得 则的单调递减区间为 令, ∴在上的单调递减区间为和. 故答案为：和. 三、解答题 22．已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 23．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1）， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 24．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，． (1)求； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)无最小值； 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所以； （2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在上单调递增，可得无最小值； 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以可得，解得或； 又为锐角，所以， 因此； （2）结合（1）中，又可得： ； 令，则， 又为锐角，，所以， 可得， 所以，当时，恒成立， 即可得为单调递增， 所以时，，所以无最值； 因此无最小值； 25．锐角中，角的对边分别为，，其中． (1)求角； (2)过点作，且四点共圆，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理的推论和正弦定理进行角化边，得，将代入得； （2）因为四点共圆，，所以是外接圆的直径， 由正弦定理可求得，在中，由正弦定理，可得，最后由三角形面积公式可解. 【详解】（1）由余弦定理的推论和正弦定理得， 整理得， 将代入得． 又因为角是锐角，所以角． （2）因为四点共圆，，所以， 所以是外接圆的直径， 设外接圆的半径为， 则，得，即． 因为，所以． 在中，，所以． 又为锐角，所以，所以， 所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$