专题05：基本初等函数与函数的性质 （十四大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（五） 基本初等函数与函数的性质 【错因预览】 易错点01：忽视根式奇偶讨论与对数式真数大于零 易错点02：忽视高次项系数的讨论致错 易错点03：幂函数中忽视定义域与性质 易错点04：忽视指数函数对底数的讨论 易错点05：忽视对数函数对底数的讨论 易错点06：不理解函数的概念 易错点07：函数定义域理解不透 易错点08：没有理解分段函数的意义 易错点09：使用换元法忽视新变量的取值范围 易错点10：研究单调性、奇偶性时忽略定义域 易错点11：混淆“单调区间”和“在区间上单调” 易错点12：奇偶性的判别方法不灵活 易错点13：忽视零点存在性定理前提条件 易错点14：二次函数零点分布问题考虑不全 易错点01：忽视根式奇偶讨论与对数式真数大于零 【例1】（24-25上海高三·专题练习）下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据根式的运算，逐一判断即可. 【详解】49的平方根是，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误． 故选:A． 【例2】【2023杨浦二模3】方程的解是 . 【答案】 【解析】由题意得，得 【例3】（24-25上海高三阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围. 【详解】，解得， 故实数x的取值范围为. 故答案为： 【跟踪训练】 1．若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 2．（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 3.已知，求的值； 【答案】4 【分析】根据方程可得，并结合对数的定义取舍； 【详解】（1）因为，可得，解得或， 又因为且，可得且， 综上所述：； 4.已知求 【错解】∵∴ ∴ 错因：因对性质不熟而导致题目没解完.[来源:Zxxk.Com] 【正解】∵∴ ∴ 5.设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可； 【详解】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 易错点02：忽视高次项系数的讨论致错 注意：的系数直接影响了函数的类型 【例4】（2023大同中学高三阶段练习）若函数在上恰有一个零点，则实数的取值范围是________ 【答案】. 【分析】先确定当时，不满足条件；再看时，利用二次函数的零点存在定理进行求解. 【详解】在上恰有一个零点，显然. 有两种情形： ①，得，得； ②且方程的根在内， 令，得，，得， 此时的根. 综上知，即实数的取值范围为. 【跟踪训练】 1．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 ) A．－ B．0 C. D．0或－ 【错解】选A　若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 【错因】没有对二次项系数a分情况讨论， 【正解】选D　若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上有a＝0或－. 2．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D． 【错解】选C　函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.故选C. 【错因】没有对二次项系数a分情况讨论， 【正解】选D　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上所述，得－≤a≤0.故选D. 易错点03：幂函数中忽视定义域与性质 【例5】（2024上海高一期中）已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________． 【错解】∵f(x)＝x＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴， 解得3＜a. 答案：(3,＋∞)． 【错因】没有考虑函数的定义域， 【正解】∵f(x)＝x＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴ 解得3＜a＜5. 答案：(3,5) 【例6】（2025上海高三阶段练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 2.已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值. 【详解】因为幂函数的图象与轴无交点， 则，解得. 故选：B. 3．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 4.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为且在为减函数， 则由， 得或，或, 解得或, 所以不等式的解集为. 故答案为：. 易错点04：忽视指数函数对底数的讨论 【例7】【2023宝山区二模5】若函数（，）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = ______. 【答案】3 【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解. 【答案】函数y = ax(a＞0，a≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为 解得或-4（舍）. 故答案为3 【例8】（2024·上海高一期末）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 【例9】（2024上海高一期末）若函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A．(1,2) B．(0,1) C．(1,4] D．(－∞，4] 【错解】选D　在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，因为函数f(x)在(1,3)上单调递增，所以，解得a≤4.所以a的取值范围为(－∞，4]． 【错因】没有对底数a进行分情况讨论， 【正解】选C　根据复合函数的单调性可知，当0<a<1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，因为函数f(x)在(1,3)上单调递增，所以无解﹔当a>1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为函数f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得1<a≤4.所以a的取值范围为(1,4]． 【跟踪训练】 1．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，得为单调递减函数， 由复合函数单调性法则得， 又，解得． 故选：C． 2．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【详解】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 当时，由于函数单调递减， 而二次函数的图象开口向上， 在区间上不可能单调递减， 则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意； 当时，函数单调递增， 要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又其对称轴为，故，所以.故选：C. 易错点05：忽视对数函数对底数的讨论 【例10】（2024松江二中高一月考）已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________． 【错解】已知f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立， 知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<.故实数a的取值范围是. 【错因】没有对底数a进行分情况讨论， 【正解】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立， 知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<. 当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝ loga(8－a)>1，且8－2a>0.解得a>4，且a<4，故不存在． 综上可知，实数a的取值范围是. 易错点06：不理解函数的概念 注意：函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【例11】给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； 对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； 对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； 对于D，令，则，所以， 令，所以， 所以， 所以，符合. 故选：D. 【跟踪训练】 1.（多选）下列各图是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.. 【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， 因此不能出现一对多的情况，所以B不是函数图象，AC D是函数图象. 易错点07：函数定义域、值域理解不透 求定义域时对解析式变形导致自变量范围扩大 复合函数定义域的理解不当 【例12】已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域 【错解】由于函数的定义域为[0，1]，即， ∴的定义域是[1，2] 【错因】不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白： 中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了. 【正解】由于函数的定义域为[0，1]，即 ∴满足，， ∴的定义域是[－1，0] 【例13】已知，则__________；的定义域为__________． 【答案】          【分析】利用换元法可得函数的函数解析式及定义域，进而可得函数值. 【详解】设，则 由已知得，所以，， 所以， 所以函数，定义域为， 则， 故答案为：，. 【例14】（2022秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是____________. 【答案】 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，， 由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【答案】A 【详解】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：. 所以.故选：A. 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以． 故选:C. 3．已知函数,求函数的值域 设函数的值域是 易错点08：没有理解分段函数的意义 注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况 【例15】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案. 【详解】函数中， 在上单调递减，在上单调递减，且， 则函数在定义域上单调递减， ， ，解得：， 即不等式的解集为. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知：，求. 【错解】∵ ，∴ 故，∴＝3－3＝0. 【错因】没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去， 而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 【正解】∵ ， ∴＝＝＝7-5＝2　 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数，当时， 单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增，最小值为； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故选：C. 3．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知当时，的取值范围是，当时，的最大值为，且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，由此即可列出不等式求解. 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 易错点09：使用换元法忽视新变量的取值范围 注意：使用换元法,设,则t的范围由的值域确定 【例16】函数的定义域是_______，值域是___________． 【答案】          【分析】（1）由真数大于0解不等式即可求得定义域； （2）利用换元法即可求得值域. 【详解】（1）因为， 所以，解得：， 所以的定义域是. （2）设， 则，所以， 由图像可知：， 即函数的值域为. 故答案为：；. 【跟踪训练】 1.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( ) A．[2,4] B．(－∞，0] C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2] 【错解】选D　令t＝2x，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝. 当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意； 当x∈(－∞，0]时，t∈(－∞,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意； 当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意； 当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D. 【错因】没有考虑新元t的取值范围，因为2x>0，所以t>0。 【正解】选D　令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D. 易错点10：研究单调性、奇偶性时忽略定义域 【例17】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减, 故选：A 【例18】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】令，则在为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得， 即的取值范围为． 故答案为： 【例19】判断函数的奇偶性.[来源:学科网] 【错解】∵＝ ∴ ∴是偶函数 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】有意义时必须满足 即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【跟踪训练】 1.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围. 【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2), 又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0 解得x>2或x<－3 又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3 【错因】只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域. 【正解】由,故0<x<, 又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<}, 易错点11：混淆“单调区间”和“在区间上单调” 【例20】．(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是_____． (2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【错解】(1)因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3. (2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，所以1－a＝4，即a＝－3. 【错因】混淆“单调区间”和“在区间上单调” 【正解】(1)因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，所以1－a＝4，即a＝－3. (2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3. 【例21】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 【跟踪训练】 1.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立， 必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立， 则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 2.函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 易错点12：奇偶性的判别方法不灵活 【例22】判断的奇偶性. 【错解】∵ ∴且 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【错因】对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立. 【正解】方法一：∵ ＝＝＝－，∴是奇函数 方法二：∵ ＝ 　　∴是奇函数 【跟踪训练】 1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数的定义域为， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，即恒成立， 故函数是上的单调递增函数， 因为，所以，即， 当时，左边成立，故符合题意； 当时，有，解得：， 综上所述：的取值范围为：. 故选：D. 2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意的，都有，此时，则， 所以在单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，， 所以当和时，；当和时，. 由，即， 所以或或或， 所以或或或无解， 所以原不等式解集为 故选：D 3．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，则，即，解得， 所以的定义域为，且， 所以为奇函数， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减，则在上单调递减， 所以不等式，即， 等价于，解得，即实数的取值范围是. 故选：D 易错点13：忽视零点存在性定理前提条件 【例23】若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论. 【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线， 且函数在内仅有一个零点， 若函数在上单调，则； 不妨取，则函数在只有唯一的零点，但； 取，则函数在只有唯一的零点，但. 因此，的符号不能确定. 故选：D. 【跟踪训练】 1．已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答. 【详解】由“函数在区间上的图象是连续不断的，且”， 根据零点存在定理，可得在区间上至少存在一个零点，所以能推出， 反之，当在区间中至少有一个零点时，比如， 在上有一个零点，但是，所以不能推出， 故是的充分不必要条件。 故选：A. 2．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点. 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 故选：B. 3.关于的方程：的实根分布在区间（     ）内. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数以及零点存在性定理来求得正确答案. 【详解】令， 当时，，此时无零点，排除A. 当时，，此时无零点，排除D. 当时，，而， 所以单调递减， 而，故. 又，且，故，所以. 故选：B 4.若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先可得，，从而得到，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意可得，则， 所以，显然为连续函数， 又，所以，，， ，， 根据零点存在性定理可知的第三个零点. 故选：A 5．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增； ∴， 解得； 所以实数a的取值范围为． 故选：A． 易错点14：二次函数零点分布问题考虑不全 【例24】函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点分布规律求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，解得， 因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足. 故选：C 【跟踪训练】 1．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，由题意只需，解得且， 又时，，经检验满足题意，时，，经检验满足题意， 所以且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 2．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：B. 一、选择题 1.设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 2.设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为定义在上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 可知为定义在上的奇函数， 且当，则在内单调递增， 可知在内单调递增，所以在上单调递增， 因为，则， 可得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 3．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 4．若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解两个不等式，分别得到和，根据真包含关系，得到是的充分不必要条件. 【详解】，故，解得， ，解得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是. 故答案为： 6．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质判断． 【详解】的定义域为，A错误； 的值域为，B正确； 的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，C错误； 不等式，则，解得，D正确. 故选：BD． 8.已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 9.已知函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的表达式，即可结合根式以及分式的性质求解. 【详解】, 由且，得且， 所以函数的定义域是. 故选：D 10.若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解. 【详解】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立， 因为为二次函数，开口向下，对称轴为， 由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为 故选：D 11．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 ) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2] C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2] 【错解】选A　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，所以，解得0<a≤； 当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以，解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)． 【错因】没有保证对数式中真数大于零， 【正解】选C　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，所以解得≤a≤；当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)． 12．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增； ∴， 解得； 所以实数a的取值范围为． 故选：A． 13.若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案. 【详解】设；. 为使在R上递增，则在上递增，在上递增， 且，即. 故选：B 14．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 15．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可. 【详解】当时，函数单调递减，无最小值； 当时，函数 当时，函数， 所以单调递增，当时， 要使函数存在最小值，即. 故选：C. 16．已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据特值法与零点存在定理可快速得出结论. 【详解】函数，定义域为， 当时，，当时，， 根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立； 当，时，，易知，所以函数有零点， 此时，所以必要性不成立. 故“”是“函数有零点”的充分不必要条件. 故选：. 二、填空题 17.（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 18．函数的奇偶性为 . 【答案】非奇非偶函数 【分析】先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义来求得正确答案. 【详解】由解得，所以的定义域是， 由于的定义域不对称，所以是非奇非偶函数. 故答案为：非奇非偶函数 19.若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 20.已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 21．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 【错解】令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－1，＋∞)． 【错因】没有保证对数式中真数大于零， 【正解】由题意，函数y＝log5(x2＋2x－3)满足x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数 y＝log5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x) 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数 y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)． 22.关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程变形为，然后令，将问题转化为方程和共有3个不同实数根，利用导数研究的图象，结合图象分析即可求解. 【详解】由，可得． 令，则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 又当趋于时，趋于0，当趋于时，趋于，当时，， 故可作的草图如图，    记方程的两根为，， 易知，若是方程的根，则，不满足题意. 因为方程有3个不等实数根， 所以，或， 当时，得，所以，即异号，不满足题意； 当时，则有， 得． 故的取值范围为． 故答案为： 【点睛】本题难点在于对原方程进行恒等变形，转化为关于的一元二次方程，然后转化为方程和共有3个不同实数根，结合图象即可解得. 三、解答题 23．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 24.已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见详解 (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 综上所述：，. 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （2）由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（五） 基本初等函数与函数的性质 【错因预览】 易错点01：忽视根式奇偶讨论与对数式真数大于零 易错点02：忽视高次项系数的讨论致错 易错点03：幂函数中忽视定义域与性质 易错点04：忽视指数函数对底数的讨论 易错点05：忽视对数函数对底数的讨论 易错点06：不理解函数的概念 易错点07：函数定义域理解不透 易错点08：没有理解分段函数的意义 易错点09：使用换元法忽视新变量的取值范围 易错点10：研究单调性、奇偶性时忽略定义域 易错点11：混淆“单调区间”和“在区间上单调” 易错点12：奇偶性的判别方法不灵活 易错点13：忽视零点存在性定理前提条件 易错点14：二次函数零点分布问题考虑不全 易错点01：忽视根式奇偶讨论与对数式真数大于零 【例1】（24-25上海高三·专题练习）下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】【2023杨浦二模3】方程的解是 . 【例3】（24-25上海高三阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1．若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 3.已知，求的值； 4.已知求 5.设，若，则实数的取值范围是 ． 易错点02：忽视高次项系数的讨论致错 注意：的系数直接影响了函数的类型 【例4】（2023大同中学高三阶段练习）若函数在上恰有一个零点，则实数的取值范围是________ 【跟踪训练】 1．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 ) A．－ B．0 C. D．0或－ 2．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　 ) A. B.C. D． 易错点03：幂函数中忽视定义域与性质 【例5】（2024上海高一期中）已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________． 【例6】（2025上海高三阶段练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【跟踪训练】 1.已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论不正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 2.已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 4.不等式的解集为 ． 易错点04：忽视指数函数对底数的讨论 【例7】【2023宝山区二模5】若函数（，）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = ______. 【例8】（2024·上海高一期末）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【例9】（2024上海高一期末）若函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A．(1,2) B．(0,1) C．(1,4] D．(－∞，4] 【跟踪训练】 1．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点05：忽视对数函数对底数的讨论 【例10】（2024松江二中高一月考）已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________． 易错点06：不理解函数的概念 注意：函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【例11】给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（多选）下列各图是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 求定义域时对解析式变形导致自变量范围扩大 复合函数定义域的理解不当 【例12】已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域 【例13】已知，则__________；的定义域为__________． 【例14】（2022秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是____________. 【跟踪训练】 1.设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数,求函数的值域 易错点08：没有理解分段函数的意义 注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况 【例15】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练】 1.已知：，求. 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点09：使用换元法忽视新变量的取值范围 注意：使用换元法,设,则t的范围由的值域确定 【例16】函数的定义域是_______，值域是___________． 【跟踪训练】 1.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( ) A．[2,4] B．(－∞，0] C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2] 易错点10：研究单调性、奇偶性时忽略定义域 【例17】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例18】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【例19】判断函数的奇偶性.[来源:学科网] 【跟踪训练】 1.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围. 易错点11：混淆“单调区间”和“在区间上单调” 【例20】．(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是_____． (2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【例21】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 易错点12：奇偶性的判别方法不灵活 【例22】判断的奇偶性. 【跟踪训练】 1．已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点13：忽视零点存在性定理前提条件 【例23】若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【跟踪训练】 1．已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 3.关于的方程：的实根分布在区间（     ）内. A． B． C． D． 4.若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点14：二次函数零点分布问题考虑不全 【例24】函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1.设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2.设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 4．若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的单调递增区间为 ． 6．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 7．下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．不等式的解集为 8.已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10.若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 ) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2] C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2] 12．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 二、填空题 17.（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 18．函数的奇偶性为 . 19.若函数的值域为，则a的取值范围是 . 20.已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 21．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 22.关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 23．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 24.已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$