专题04：复数（六大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（四） 复数 易错点1：对复数的相关概念混淆不清 注意：复数的虚部是,不是. 复数为纯虚数的充要条件是. 两个复数如果不全是实数,不能比较大小 易错点2：复数相等的条件应用出错 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【例3】（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【例4】以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有 个．[来源:Z,xx,k.Com] 【跟踪训练】 1．(2024闵行区二模)复数（其中为虚数单位）的虚部是 . 2．（2024·上海·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 3．（2023·江苏·高一专题练习）“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．若复数为纯虚数，则不正确的是（    ） A．为实数 B．为实数 C．为实数 D．为实数 5.已知复数，则不正确的是（    ） A．z的实部是 B．z的虚部是 C．z的共轭复数为 D．z在复平面内对应的点在函数的图像上 6．下列命题中，正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 易错点2：忽视复数相等的条件 利用解题,忽略前提条件：为实数 【例5】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值． 【跟踪训练】 1.已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值. A. B. C. D. 2．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于(　 ) A．5 B．1 C．0 D．－3 3．（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2：对复数的运算不熟悉致错 【例6】若，则（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) 【跟踪训练】 1.【奉贤2】已知，（为虚数单位），则______. 2.（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 3.（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 易错点3：对复数的几何意义理解不够 【例7】（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【例8】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【跟踪训练】 1．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 2．(上海市长宁区2023届高三上学期一模)复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 3．(上海市奉贤中学2023届高三三模)复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． 4．(上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟)若，则的最大值与最小值的和为 . 5.已知i为虚数单位，且复数z满足，则下面关于复数z的三个命题：复数z的虚部为；；复数z的共轭复数对应的点在第一象限．其中正确命题的个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 易错点4：对复数的模理解不透 【例9】设其中,实数,则( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【例10】在复数范围内解不等式． 【例11】（2025·上海青浦·二模）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是　　． 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 2．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 3．(上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习)若复数是的一个根，则 . 易错点5：方程有解的条件判断出错 误把复数当实数代入计算，出现,应首先设出复数的代数形式:,再代入运算求解 乱用判别式，对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了 【例12】已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件． 【例13】在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)，则z＝________. 【例14】复数z满足：（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 2.在复数集内，不正确的是（    ） A．方程有两个解 B．方程只有实数解 C．方程只有两个解 D．方程的两个解互为共轭复数 3.已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为____________ 易错点6：复数三角形式的标准形式理解错误 注意：复数三角形式的特点口诀:“模非负,角相同,余弦前,加号连” 【例15】（2023·江苏·高三专题练习）将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值） 【例16】（2023·全国·高三专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．；B．；C．；D．． 【跟踪训练】 1．（2023·江苏·高三专题练习）复数（i为虚数单位）的辐角主值为______． 2．已知复数，则是（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1.复数，，，，则（    ） A．、、三数都不能比较大小 B．、、三数的大小关系不能确定 C． D． 2．已知a∈R，若z＝(a＋i)(a＋4i)－10i为纯虚数(i为虚数单位)，则a的值为(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 3.设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 4.若，则“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.下列关于复数的说法中，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比较大小 B．若复数的模为，则 C．两个复数、，若，则 D．设z为复数，则 6.已知复数z满足，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 7．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 8.复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9.给出下列命题：①；②；③,其中正确命题的个数为 . 10.若复数a为实数，复数为纯虚数，则_________，z的虚部为_________． 11.若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则下面结论：的实部是的虚部是复数在复平面内对应的点在第一象限，其中正确的个数是          个 12.复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_______． 13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 14.设复数，满足，则___________. 15.复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ____． 16.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____________． 17.若复数（是虚数单位），则 . 18.已知是虚数单位，则 ． 19.已知复数，则的虚部为 . 20.关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 21．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（四） 复数 易错点1：对复数的相关概念混淆不清 注意：复数的虚部是,不是. 复数为纯虚数的充要条件是. 两个复数如果不全是实数,不能比较大小 易错点2：复数相等的条件应用出错 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【例3】（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 【例4】以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有 个．[来源:Z,xx,k.Com] 【错解】4个 【错因】（1）当得到时就认为是纯虚数，忽略了b可以为0的条件．（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中．（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中．（4）把实数等式性质错误的推广到复数中． 【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为及（）， 则或，当时，是纯虚数，当时，； （2）错，反例设则；（3）错，反例设满足但不能比较大小；（4）错，设，，，则，但它们并不相等．故答案是0个． 【跟踪训练】 1．(2024闵行区二模)复数（其中为虚数单位）的虚部是 . (答案)-4 (详解) ， 故的虚部为-4. 故答案为：-4. 2．（2024·上海·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】1 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 3．（2023·江苏·高一专题练习）“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念分析可知. 【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4．若复数为纯虚数，则不正确的是（    ） A．为实数 B．为实数 C．为实数 D．为实数 【答案】B 【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】因为为纯虚数，设且，则， 由，所以A正确； 由，所以B错误； 由为实数，所以C正确； 由为实数，所以D正确. 故选：B. 5.已知复数，则不正确的是（    ） A．z的实部是 B．z的虚部是 C．z的共轭复数为 D．z在复平面内对应的点在函数的图像上 【答案】B 【分析】利用复数的除法求出z，可得复数的实部、虚部、共轭复数和复平面内对应的点. 【详解】因为复数， 所以复数的实部为，虚部为，共轭复数为， 复数z对应的点为，满足． 故选：B． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】A 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：A． 易错点2：忽视复数相等的条件 利用解题,忽略前提条件：为实数 【例5】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值． 【错解】根据复数相等的充要条件，可得，解得． 【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。 【正解】依题意设，带入关系式，整理得： ，根据根据复数相等的充要条件，可得， 解得，则有．[来源:Z.xx.k.Com] 【跟踪训练】 1.已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值. A. B. C. D. 【错解】由得,所以. 【错因】当为实数时，有. 错解中忽略了y为纯虚数. 【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设, 由得, 所以,所以. 2．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于(　 ) A．5 B．1 C．0 D．－3 【答案】B 【解析】因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1. 3．（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 易错点2：对复数的运算不熟悉致错 【例6】若，则（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) 【错解】，选D．[来源:Zxxk.Com] 【错因】计算出现错误，将带入了计算． 【正解】，故选C． 【跟踪训练】 1.【奉贤2】已知，（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】因为，又，所以，即 2.（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 3.（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】由复数的除法运算结合模长计算即可. 【详解】. 故答案为：. 易错点3：对复数的几何意义理解不够 【例7】（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【解析】因为在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，所以且，故选． 【例8】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【错解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，无解. 【错因】没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的点对应.[来源:Z§xx§k.Com] 【正解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A 【跟踪训练】 1．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【答案】2 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 2．(上海市长宁区2023届高三上学期一模)复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 (答案)/ (详解)由已知，， 所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为， 所以复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为：. 故答案为：. 3．(上海市奉贤中学2023届高三三模)复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． (答案) (详解)因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得. 故答案为： 4．(上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟)若，则的最大值与最小值的和为 . (答案) (详解)由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆， 则. 故答案为： 5.已知i为虚数单位，且复数z满足，则下面关于复数z的三个命题：复数z的虚部为；；复数z的共轭复数对应的点在第一象限．其中正确命题的个数为      A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】由，可得，则复数z的虚部为，故错误；，故错误；，所对应的点在第一象限，故正确， 所以正确命题的个数为1， 易错点4：对复数的模理解不透 【例9】设其中,实数,则( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【错解】因为所以，，故选D. 【答案】不理解复数的模的公式 【正解】因为所以故选B. 【例10】在复数范围内解不等式． 【错解】原不等式，，． 即有． 【错因】把实数中绝对值的性质“”生搬硬套到复数模中来． 【正解】原不等式，，，且． 其解为以点（3，0）为圆心，1为半径的圆内部，且去除点（1，0）． 【例11】（2025·上海青浦·二模）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是　　． 【解析】因为，所以，所以， 则的最大值是． 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 【答案】1 【分析】根据复数的乘、除法以及乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】, 所以. 故答案为：1 2．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 3．(上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习)若复数是的一个根，则 . (答案) (详解)由题意得，设，， 则，即， 所以， 因为，所以，故， 故. 故答案为： 易错点5：方程有解的条件判断出错 误把复数当实数代入计算，出现,应首先设出复数的代数形式:,再代入运算求解 乱用判别式，对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了 【例12】已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件． 【错解】由于方程有实数根，得，解得或 【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可． 【正解】设是方程的实数根，代入方程并整理得， 由复数相等的充要条件，得，解得或． 【例13】在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)，则z＝________. 【答案】－±i 【解析】如原方程化简为|z|2＋(z＋)i＝1－i，设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i，∴x2＋y2＝1且2x＝－1，解得x＝－且y＝±，∴原方程的解是z＝－±i. 【例14】复数z满足：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，代入，根据复数相等列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由得， ，解得， ． 故选：A． 【跟踪训练】 1.设的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则由，可得，后由两复数相等可得答案. 【详解】设，，则. 因为，所以， 则，解得，，则． 故选：A. 2.在复数集内，不正确的是（    ） A．方程有两个解 B．方程只有实数解 C．方程只有两个解 D．方程的两个解互为共轭复数 【答案】C 【分析】求解方程逐个分析判断即可 【详解】解：因为方程的解为，所以A正确． 方程的解为0和2，故B正确． 方程有四个解，分别为，，故C错误． 方程的解为，故D正确． 故选：C 3.已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为____________ 【答案】4或 【分析】就判别式的正负分类讨论后可求的值. 【详解】， 若，则方程的两根为实数，且，解得. 若，则方程的两根为虚数，该方程可化简为： ，故两根分别为，， 所以，故， 故答案为或. 易错点6：复数三角形式的标准形式理解错误 注意：复数三角形式的特点口诀:“模非负,角相同,余弦前,加号连” 【例15】（2023·江苏·高三专题练习）将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值） 【答案】 【分析】直接写出复数－2的三角形式即可. 【详解】 故答案为： 【例16】（2023·全国·高三专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】逐一计算每个选项即可得答案. 【详解】对于A：，符合； 对于B：，符合； 对于C：，不符合； 对于D：，符合 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2023·江苏·高三专题练习）复数（i为虚数单位）的辐角主值为______． 【答案】## 【分析】将复数写成三角表达形式即可. 【详解】， 故答案为： 2．已知复数，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用复数除法可得，根据其对应点确定辐角的范围并求出其大小. 【详解】由题设，， 所以复数对应点为， 故辐角在第四象限，且正切值为，则. 故选：B 一、选择题 1.复数，，，，则（    ） A．、、三数都不能比较大小 B．、、三数的大小关系不能确定 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】，，， ，当且仅当时，取等号 故选：C 2．已知a∈R，若z＝(a＋i)(a＋4i)－10i为纯虚数(i为虚数单位)，则a的值为(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 【答案】B 【解析】因为z＝(a＋i)(a＋4i)－10i＝a2－4＋(5a－10)i，a∈R且z为纯虚数，所以所以a＝－2，故选B. 3.设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据复数的乘、除法运算及虚部的概念即可求解． 【详解】由，则，所以z的虚部为2． 故选：D． 4.若，则“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数中纯虚数的概念求解. 【详解】， 当时，复数，是纯虚数； 复数是纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数是纯虚数”的充分必要条件. 故选：C 5.下列关于复数的说法中，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比较大小 B．若复数的模为，则 C．两个复数、，若，则 D．设z为复数，则 【答案】D 【分析】取两个复数均为实数可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的模长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若这两个复数均为实数，则这两个复数可以比较大小，A错； 对于B选项，取，则，但，B错； 对于C选项，取，，则，但且，C错； 对于D选项，设，则， 所以，，D对. 故选：D. 6.已知复数z满足，是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，代入题目条件，然后列方程求出，则可得复数z，进而可得. 【详解】设， ， ， ，解得， . 故选：B. 7．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式直接得到答案. 【详解】复数的三角形式为，，对比选项知B满足. 故选：B 8.复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解. 【详解】解：设复数的模为，则，， 所以复数的三角形式为． 故选：A. 二、填空题 9.给出下列命题：①；②；③,其中正确命题的个数为 . A.0 B.1 C.2 D. 3 【错解】D 【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为②正确. 【正解】①正确；②错误,因为虚数不能比较大小；,③错误.故选B. 10.若复数a为实数，复数为纯虚数，则_________，z的虚部为_________． 【答案】 【解析】若复数a为实数，当复数为纯虚数时，，解得 则，其虚部为6． 11.若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则下面结论：的实部是的虚部是复数在复平面内对应的点在第一象限，其中正确的个数是          个 【答案】3 【解析】由，得．，故正确； z的实部为2，故正确；z的虚部是，故错误；复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故正确．故其中正确的个数是3个． 12.复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】因为，，其在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得． 13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 【答案】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 14.设复数，满足，则___________. 【答案】2 【分析】设，，，根据复数模的计算公式计算可得． 【详解】设，，，由已知得： ，，， 则， ， 则 故答案为：． 15.复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ____． 【答案】 【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式求解作答. 【详解】． 故答案为： 16.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____________． 【答案】## 【分析】利用复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】由得：，的虚部为. 故答案为：. 17.若复数（是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【详解】复数，则， 所以. 故答案为： 18.已知是虚数单位，则 ． 【答案】/ 【分析】 由复数除法运算以及虚部的概念即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 19.已知复数，则的虚部为 . 【答案】/ 【分析】利用复数的除法运算求解即可. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为：. 20.关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】 因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 21．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案. 【详解】由题意是关于的实系数方程的一个根， 则，即， 即得， 故， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$