专题03：平面向量（六大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（三） 平面向量 易错点1：向量的概念模糊 【例1】（2023上海高二阶段练习）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列五个命题： 1 若a∥b,b∥c,则a∥c； 2 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形； 3 若,则； 4 ； 其中正确的命题有______个。 【跟踪训练】 1.下列四个命题中，正确的个数是（    ） ①             ② 零向量垂直于任何向量 ③ “”等价于“存在实数，使得” ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.下列说法中，正确的是（    ） ①若，则或； ②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上； ③向量与是平行向量； ④任何两个单位向量都是相等向量． A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 3.下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的是(　　) A． 与为平行向量 B．与为模相等的向量 C．与为共线向量 D．与为相等向量[来源:学§科§网Z§X§X§K] 易错点2：投影向量、投影与数量投影模糊 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【跟踪训练】 1. （多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 2.已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 4.已知向量，，则向量在方向上的数量投影为 ． 易错点3：确定向量夹角忽略向量的方向 注意：在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点 【例4】在中，，，，则______. 【例5】已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________. 【跟踪训练】 1.在中,,则的值为 ( ) A 20 B -20 C D 2.已知中，，则是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 3.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ） A． B. C. D. 易错点4：对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误 注意：基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底 【例6】已知与平行，则值的个数是________．[来源:Zxxk.Com] 【例7】（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 【例8】如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．② 【例9】已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（　　） A． B． C． D．或 【跟踪训练】 1.已知向量，，若，则m＝ . 2.设向量，，则是的（ ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要[来源:学,科,网] 3.（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7） C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6） 易错点5：认为与的夹角为钝角（锐角）致错 注意：为钝角且与不共线；为锐角且与不共线； 【例10】已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________． 【例11】设平面向量 ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若向量 ，，与夹角为钝角，则的取值范围是_______. 2.已知，且向量与不共线.若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围_______ 3.已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，请写出一个符合题意的的值：_____________． 一、选择题 1.下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 2.下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 5．在中，已知，P是AB的垂直平分线l上的任一点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 6．下列说法中错误的为（    ） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 7．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，且与共线，则 B．若，且，则与不共线 C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量 D．若向量，且，则 8．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 9．设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列各命题中，正确的命题为（    ） A． B． C． D． 11．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 12.已知向量，单位向量与向量同向共线，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 13.下列叙述中正确的个数是：（    ） ①若，，为平面向量，则； ②向量与垂直； ③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 ④.记，则向量在向量上的投影向量为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 14.如图，在菱形ABCD中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为__________． 15.已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________. 16.，若与不成锐角，则t的取值范围为__________． 17.已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最大值是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（三） 平面向量 易错点1：向量的概念模糊 【例1】（2023上海高二阶段练习）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④. 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 【例2】下列五个命题： 1 若a∥b,b∥c,则a∥c； 2 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形； 3 若,则； 4 ； 其中正确的命题有______个。 【错解】1或2或3或4 【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。 【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若＝,则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。 【跟踪训练】 1.下列四个命题中，正确的个数是（    ） ①             ② 零向量垂直于任何向量 ③ “”等价于“存在实数，使得” ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确；； 对于②，零向量不谈垂直问题； 对于③，缺少条件； 对于④，. 【详解】对于①，等式左边， 等式右边，故①不正确； 对于②，零向量的方向是任意的，零向量垂直于任何向量，故②正确； 对于③，“”等价于“存在实数，使得”，故③不正确； 对于④，，故④不正确. 故选：B 2.下列说法中，正确的是（    ） ①若，则或； ②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上； ③向量与是平行向量； ④任何两个单位向量都是相等向量． A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据向量的基本概念和定义，即可判断选项. 【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上． ③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量，是平行向量． ④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同． 故选：B 3.下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确. 故真命题的个数是1个. 故选：B 4.两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的是(　　) A． 与为平行向量 B．与为模相等的向量 C．与为共线向量 D．与为相等向量[来源:学§科§网Z§X§X§K] 【错解】由向量的基本概念知与方向相反，∴与是平行向量，即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴与的模相等． ∴与是模相等且方向相反的向量，即A错． 【错因】路程相同对应向量的模相等. 【正解】由向量的基本概念知与方向相反，∴与是平行向量，即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴与的模相等． ∴与是模相等且方向相反的向量，即D错． 易错点2：投影向量、投影与数量投影模糊 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【答案】118 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 【跟踪训练】 1. （多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，则，所以A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，所以在方向上投影向量的模为： ， 当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确； 对于D，向量 ， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 2.已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量在向量上投影向量为， 所以得， 又因为，所以，故C正确. 故选：C. 3.（多选）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【详解】作向量，在中，，， 由向量平分与的夹角，得是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，在上的投影向量， 在上的投影向量，C正确； 对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误. 故选：BC 4.已知向量，，则向量在方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【详解】因为向量，，所以， 则，所以向量在方向上的数量投影为：. 故答案为： 易错点3：确定向量夹角忽略向量的方向 注意：在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点 【例4】在中，，，，则______. 【答案】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，且， 即，解得. 故答案为: 【例5】已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________. 【错解】∵△ABC为等边三角形,∴||＝||＝||＝1, 向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝. ∴·＋·＋·＝. 【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里θ是a与b的夹角,本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图与的夹角应是∠ACD. 【正解】与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1,所以·＝||||cos 120°＝－.同理得·＝·＝－. 故·＋·＋·＝－. 【跟踪训练】 1.在中,,则的值为 ( ) A 20 B -20 C D 【错解】因为,则=20, 故选A. 【错因】弄错向量与的夹角． 【正解】由题意, 故-20，选B. 2.已知中，，则是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 【解析】，所以，故选C． 3.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ） A． B. C. D. 【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,, 则 = 【错因】夹角是,不是0. 【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,, 则 =故选A. 易错点4：对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误 注意：基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底 【例6】已知与平行，则值的个数是________．[来源:Zxxk.Com] 【错解】由得，即，解之得（舍），∴的值只有一个． 【错因】零向量与任一向量平行，当时，为零向量，也与平行． 【正解】由得，解得，∴的值应有两个． 【例7】（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 【例8】如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．② 【答案】B 【分析】由平面向量基本定理判断①④②，由共线向量定理判断③. 【详解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正确． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故错误； 对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0，故错误. 故选：B. 【例9】已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由题意得存在，使得，得到关于的方程组，解之即得解． 【详解】为平面内所有向量的一组基底，则 不共线，， 与 共线，∴ ， 即 ，又 不共线，则 ，所以. 故选：A 【跟踪训练】 1.已知向量，，若，则m＝ . 【错解】 ∵，又，∴， 得.[来源:Z+xx+k.Com] 【错因】把“若，，则”错记成“”. 【正解】∵，又，∴，得. 2.设向量，，则是的（ ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要[来源:学,科,网] 【解析】若则，若，有可能或为0，故选C． 3.（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7） C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6） 【错解】选A或C或D 【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。 【正解】选B，如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。 易错点5：认为与的夹角为钝角（锐角）致错 注意：为钝角且与不共线；为锐角且与不共线； 【例10】已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________． 【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0, ∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是. 【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角． 【正解】∵θ为锐角,∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝＝, ∴0<且≠1,∴,解得 ∴λ的取值范围是. 【例11】设平面向量 ，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【错解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得，故选C． 【错因】忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况． 【正解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得， 又当与共线且反向时，，得． 所以的取值范围是且，故选A． 【跟踪训练】 1.若向量 ，，与夹角为钝角，则的取值范围是_______. 【正解】因与的夹角为钝角, 解得或 (1) [来源:学。科。网Z。X。X。K] 又由与共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是 2.已知，且向量与不共线.若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围_______ 【答案】 【分析】由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k即可. 【详解】与的夹角为， ， 向量与的夹角为锐角， ，且不能同向共线， ，， 解得且， 即或， 实数k的取值范围是 3.已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，请写出一个符合题意的的值：_____________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】由条件结合向量的夹角公式列不等式求的范围可得结论. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量与向量的夹角是钝角，， 所以且， 所以，又， 解得，以． 故答案为：0（答案不唯一） 一、选择题 1.下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 2.下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A． 3．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的概念及零向量判断即可. 【详解】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误； B：时，，不一定相等，错误； C：若为零向量时，，不一定有，错误； D：说明，同向或至少有一个零向量，故，正确. 故选：D. 4．设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 【答案】B 【分析】根据向量共线的判定定理结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：， 若A，B，D三点共线，所有必存在一个实数λ，使得， 即， 可得，解得. 故选：B. 5．在中，已知，P是AB的垂直平分线l上的任一点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】设为的中点，结合为线段垂直平分线上的任意一点，则有，再将都用表示，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】设为的中点， 则， 因为为线段垂直平分线上的任意一点， 所以， 则.      故选：. 6．下列说法中错误的为（    ） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角， ，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误； 对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误； 对于D，因为，两边平方得，，又， 则，， 故， 而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确． 故选：AC． 7．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，且与共线，则 B．若，且，则与不共线 C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量 D．若向量，且，则 【详解】对选项A，或时，比例式无意义，故错误； 对选项B，若，与共线，则一定有，故正确； 对选项C，若A，B，C三点共线，则在一条直线上，则都是共线向量，故正确； 对选项D，若向量，且，则，即，故正确； 故选：BCD 8．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 【详解】解：根据基底的定义知AB正确； 对于C，对于m，，在该平面内，故C错误； 对于D，m，n是唯一的，故D错误. 故选:AB. 9．设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可. 【详解】由是任意的非零向量， 对于A，，故A错误； 对于B，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 而不一定共线，故B错误； 对于C，因为非零向量，若，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：AB. 10．（多选）下列各命题中，正确的命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确； 对于C，根据数量积满足交换律，可得C正确； 对于D，当，则向量与共线，当时，则向量与共线， 而向量不一定共线，故D错误. 故选：ABC. 11．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，则，所以，或，A错； 对于B选项，对空间中任意一点，有， 则，整理可得， 故、、、四点共面，B对； 对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对； 对于D选项，已知向量，， 则在方向上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 12.已知向量，单位向量与向量同向共线，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由已知得， 则在方向上的投影向量为， 故选：B． 13.下列叙述中正确的个数是：（    ） ①若，，为平面向量，则； ②向量与垂直； ③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 ④.记，则向量在向量上的投影向量为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对①，举反例说明；对②，由两向量垂直的向量关系运算验证；对③，由向量夹角是钝角，则向量数量积小于0，并挖去共线情况；对④，由投影向量的定义运算判断. 【详解】对于①，如，，，所以，， 所以，而，所以，故①错误； 对于②，因为，故②正确； 对于③，由题意，，且与不共线，即，解得且，故③错误； 对于④，由，即， 所以向量在向量上的投影向量为，故④正确. 综上，正确的为②④. 故选：C. 二、填空题 14.如图，在菱形ABCD中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可. 【详解】依题意， 因为在菱形ABCD中，，， 所以， 所以 ， 因为，所以. 故答案为：. 15.已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________. 【答案】且 【分析】根据数量积小于零且不共线列不等式求解. 【详解】若与的夹角为钝角, 则，且与不共线， 即，得且. 故答案为：且. 16.，若与不成锐角，则t的取值范围为__________． 【答案】 【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可 【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角. 当夹角为0时，与同向，故，故，解得； 当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得； 故t的取值范围为 故答案为： 17.已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最大值是______． 【答案】13 【分析】用向量法，设设中点为，转化可得，易知，三点共线时，取得最大值，通过余弦定理求出即可得答案. 【详解】 设中点为，则； 由图像可知，当三点共线（B在线段PO上）时，取得最大值. . 故答案为：13. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$