精品解析：浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二下学期六校联盟期中考试数学试题

2024学年第二学期六校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 命题：浙江省温州中学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率近似为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 2. 已知数列是等差数列，且其前项和为．若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 3. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 4. 在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. B. 160 C. D. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（ ） A B. C. D. 7. 已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. 403 B. 404 C. 405 D. 406 8. 已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 10. 已知数列满足，若，，则（ ） A. 存在实数，使得是等差数列 B. 不存在实数，使得是等比数列 C. 存在实数，使得是周期数列 D. 不存在实数，使得是递增数列 11. 已知函数，的导函数为，则（） A. 若，函数有极值点 B. 若，当时， C. D. 若不等式的解集为，则 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为______． 13. 已知函数在有零点，则实数的取值范围为______． 14. 用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件四位数共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列满足，． （1）求证：是常数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 169 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 05 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. （1）请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ （2）在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 17. 已知实数，函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 18. 小杜准备进行篮球定点投篮训练，有两种投篮方式，一种跳投，投篮命中率为，另一种是颠投，投篮命中率为，每次投篮是否命中相互独立． （1）若小杜连续颠投10次，记进球次数为，求随机变量的期望； （2）小杜进行两种投篮方式的专项训练，第一种全部跳投，第二种全部颠投，每种训练中若没进就继续投，若投进则停止．记第一、二种训练投篮次数分别为． ①求的概率； ②求的概率；（当时，） 19. 对一个元数列，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数，将前个数在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后个数（也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列进行一次洗牌，先选择，然后数列可以变成，或者变成．特别地，如果取（其中表示不超过的最大整数），且将放到的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”． （1）请写出数列经过两次完美洗牌后得到的新的数列； （2）对任意给定的正整数，数列能否经过有限次完美洗牌后变成？并说明理由； （3）至少需要多少次洗牌才能将变成？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期六校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 命题：浙江省温州中学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率近似为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2. 已知数列是等差数列，且其前项和为．若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质求解即可. 【详解】由，， 得， 所以，所以. 故选：C. 3. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据与临界值比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”， 故选：D. 4. 在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. B. 160 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项， 是. 故选：B. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象可判断原函数切线斜率的变化，结合选项中的图象即可判断． 【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意； 选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意； 选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意； 选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意. 故选：A． 6. 连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分有个偶数和有个偶数两种情况讨论求出在三次骰子点数之和为偶数的条件下的种数，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下， 则偶数的个数为个或个， 若有个偶数，则有种， 若有个偶数，则有种， 故在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为. 故选：D. 7. 已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. 403 B. 404 C. 405 D. 406 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法结合等比数列的项和求出数列的通项，再利用分离参数法求解即可. 【详解】由，得， 则， 累加得， 所以， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 因为，所以， 所以，即的最大值为. 故选：C. 8. 已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，即可判断A；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断B；分别令和即可判断C；令即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则， 令，则， 则 ，故C正确； 对于D，令，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列满足，若，，则（ ） A. 存在实数，使得是等差数列 B. 不存在实数，使得是等比数列 C. 存在实数，使得是周期数列 D. 不存在实数，使得递增数列 【答案】AC 【解析】 【分析】假设数列是等差数列，求出数列的通项，再代入已知，求出即可判断A；假设数列是等比数列，求出数列的通项，再代入已知，求出即可判断B；举例即可判断C；根据A选项，即可判断D. 【详解】对于A，若数列是等差数列，则公差， 所以， 由，得， 所以， 所以存在实数，使得是等差数列，故A正确； 对于B，若数列是等比数列，则公比， 所以， 由，得， 所以， 所以存在实数，使得是等比数列，故B错误； 对于C，当时，，① 则，② 由②①得，即， 所以数列是以为周期的一个周期数列，故C正确； 对于D，由A选项知，当时， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，是递增数列， 所以存在实数，使得是递增数列，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，的导函数为，则（） A. 若，函数有极值点 B. 若，当时， C. D. 若不等式的解集为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，只需判断是否有变号零点即可；对于B，判断在上的单调性，利用单调性比较大小即可；对于C，分别求出和，验证是否相等即可；对于D，依题意可知在恒成立，构造函数，利用导数研究最值即可. 【详解】由得的定义域为， 对于A，令得， 当时，， 当时方程无实数解， 故无实数解，此时无极值点，故错误； 对于，若时，则， 当时，，在单调递减， 时，故正确； 对于，， ， ，故正确； 对子D，的解集为， 当时，恒成立， 即恒成立， 只需恒成立即可， 今 则 时在单调递减， 在单调递增， ， 当，即时，在上恒成立， 故在单调递减， 满足题意，故D错误； 故选：BC 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出数列的通项，再根据等差数列的前项和公式求出，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意， 则， 因为函数的对称轴为， 所以当或时，取得最小值，为， 所以的最大值为. 故答案为：. 13. 已知函数在有零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数判断函数单调性与最值，从而判断函数零点情况． 【详解】由，得 易知在上单调递增，且， ①当即时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以函数在无零点； ②当即时，， 令得，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又且函数在有零点， 故，解得， 综上所述，， 故答案为：． 14. 用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】分四个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，两个不同数字各出现两次和一个数字出现四次，五种情况讨论即可. 【详解】当四个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，另一个数字出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当两个不同数字各出现两次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现四次时，则仅有数字符合条件，则有个， 综上所述，满足条件的四位数共有个. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列满足，． （1）求证：是常数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作差，代换即可证明差值为常数； （2）根据（1）得，再利用裂项求和法即可得到答案. 【小问1详解】 ，则， 则， 又因为，则是以2首项的常数列. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 则. 16. 在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 13 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. （1）请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ （2）在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 【答案】（1）模型①拟合效果更好，3月的销售数据为异常数据 （2），预测7月份的销售额约为万元 【解析】 【分析】（1）根据残差及异常数据的定义判断即可； （2）剔除3月的销售数据，然后根据表中的数据和公式求出经验回归方程，再由可预测7月份的销售额. 【小问1详解】 由题意，， 则模型①拟合效果更好， 其中3月的销售数据为异常数据. 【小问2详解】 剔除3月的销售数据，得到剩余的五组数据， 此时，， ，， 所以， 则， 则模型①新的经验回归方程为，， 当时，， 由此预测7月份的销售额为万元. 17. 已知实数，函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）记为导函数，试讨论的极值点的个数． 【答案】（1） （2）个 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 18. 小杜准备进行篮球定点投篮训练，有两种投篮方式，一种是跳投，投篮命中率为，另一种是颠投，投篮命中率为，每次投篮是否命中相互独立． （1）若小杜连续颠投10次，记进球次数为，求随机变量的期望； （2）小杜进行两种投篮方式的专项训练，第一种全部跳投，第二种全部颠投，每种训练中若没进就继续投，若投进则停止．记第一、二种训练投篮次数分别为． ①求的概率； ②求的概率；（当时，） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再根据二项分布的期望公式求期望即可； （2）①由题意可能为，再根据相互独立事件的乘法公式计算即可； ②根据结合相互独立事件的乘法公式及等比数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以； 【小问2详解】 ①由题意可能为， ， ， ， 所以； ②， 则 ， 因为， 所以. 19. 对一个元数列，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数，将前个数在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后个数（也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列进行一次洗牌，先选择，然后数列可以变成，或者变成．特别地，如果取（其中表示不超过的最大整数），且将放到的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”． （1）请写出数列经过两次完美洗牌后得到新的数列； （2）对任意给定的正整数，数列能否经过有限次完美洗牌后变成？并说明理由； （3）至少需要多少次洗牌才能将变成？ 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3）11 【解析】 【分析】（1）按照完美洗牌规则可得； （2）由特殊到一般，先猜想结论，再利用数学归纳法证明即可； （3）定义最长递减子数列，借助数列项数的变化规律可得. 【小问1详解】 由题意，数列为，则，则， 故每一次洗牌应将放到的后面，即放到后面，放到后面， 故数列经过一次完美洗牌后为，再经过一次完美洗牌后为. 故经过两次完美洗牌后得到的新的数列为. 【小问2详解】 当时，数列为，经过次完美洗牌后变成数列. 当时，数列为. 由可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 当时，数列为. 由 可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 猜想：数列可以经过次完美洗牌后变成. 下面用数学归纳法证明： （i）由上可知，当时， 数列经过次完美洗牌后变成. （ii）假设当时，数列可以经过次完美洗牌后变成， 当时，数列为. 则由完美洗洗牌规则可知，前次洗牌中，每次洗牌前数列均分前后两组，每组张牌，且两组数中与奇偶性相同， 故经过每次完美洗牌后，前组偶数均放在后一组相应位置的偶数后， 同理，奇数也均放在后一组相应位置的奇数后， 故偶数的排列与奇数的排列互不影响. 由归纳假设可知，原数列中的偶数项数列与奇数项数列，经过次完美洗牌后分别变成与， 再经过第次完美洗牌，偶数项插入相应奇数项后， 则数列可变成. 由（i）（ii）可知，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. 综上，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. 【小问3详解】 ， 由（2）可知，数列经过次完美洗牌可变成数列， 由数列可看成张空白牌加2025张牌共张牌， 即数列进行完美洗牌， 故经过次洗牌可将数列变成，即变成数列. 下面证明至少需要次洗牌才能将变成. 首先给出定义：对于给定递减数列， 若在数列中删除若干项，不改变剩余项的顺序得到的子数列仍为递减数列， 则称该所得数列为递减子数列，所有递减子数列中项数最多的称为最长递减子数列. 记数列经过次洗牌的最长递减子数列项数为，. 由题意一次洗牌操作，先要任选一个正整数， 记为第次洗牌选择的正整数的取值， 则，， 记经过次洗牌的最长递减子数列为， 则第次洗牌后，数列的最长递减子数列的项数， 故，， 故，即经过任意次洗牌，最长递减子数列项至少还有2项， 即不可能变成数列. 综上可知，至少需要次洗牌才能将变成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$