精品解析：湖南省娄底市2025年初中学业水平联考试卷数学试题

湖南省2025年初中学业水平联考试卷（二） 数学 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2024年7月31日，在巴黎奥运会男子100米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以46秒40的成绩打破世界纪录夺得金牌，若将该记录用时记为．若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 微电子制造技术的飞速发展令人瞩目，它使得电子元件的尺寸得以大幅度减小，进而推动了整个电子行业的进步．通过先进的制造技术，如光刻、蚀刻和沉积等，可以精确控制电子元件的尺寸和形状，从而制造出性能卓越的芯片在芯片上某种电子元件大约占平方毫米，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 平方毫米 B. 平方毫米 C. 平方毫米 D. 平方毫米 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 三角形的外角大于它的一个内角 C. 三角形的中线是一条线段 D. 两边及其夹角分别相等的两三角形全等 6. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和 之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 8. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 80和81 B. 81和80 C. 80和85 D. 85和80 9. 如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 化简：________． 12. 小明、小红二人准备在2025年春节贺岁档上映的《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》三部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为____________________________． 13. 方程 的解是_________. 14. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 15. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______． 16. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______． 18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=2 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，．根据调查结果，绘制了如下所示两幅尚不完整的统计图．回答下列问题： （1）这次被抽查的学生共有______人，扇形统计图中，“B”组所对应的圆心角的度数为______． （2）补全条形统计图； （3）若该校有1500名学生，估计寒假阅读的总时间不少于24小时的学生有多少名？ 22. 如图，E、F是对角线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书每本书的价格是文学类图书每本书价格的倍．已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本． （1）学校购买文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是多少元？ （2）新学期，学校计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共1000册，且购进的科普类图书不少于文学类图书的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？ 24. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025年初中学业水平联考试卷（二） 数学 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 2024年7月31日，在巴黎奥运会男子100米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以46秒40的成绩打破世界纪录夺得金牌，若将该记录用时记为．若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的表示和意义，熟练掌握不等式的表示和意义是解题的关键．由于记录用时记为，要打破该记录，即比赛用时要小于记录用时，即． 【详解】解： 记录用时为，  若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需． 故选：B． 2. 微电子制造技术的飞速发展令人瞩目，它使得电子元件的尺寸得以大幅度减小，进而推动了整个电子行业的进步．通过先进的制造技术，如光刻、蚀刻和沉积等，可以精确控制电子元件的尺寸和形状，从而制造出性能卓越的芯片在芯片上某种电子元件大约占平方毫米，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 平方毫米 B. 平方毫米 C. 平方毫米 D. 平方毫米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方． 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得选项A的图形． 故选：A． 5. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 三角形的外角大于它的一个内角 C. 三角形的中线是一条线段 D. 两边及其夹角分别相等的两三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的概念、全等三角形的判定定理判断． 【详解】A、等腰三角形是轴对称图形，是真命题， B、三角形的外角大于与它不相邻的一个内角，所以B是假命题， C、三角形的中线是一条线段，是真命题， D、两边及其夹角分别相等的两三角形全等，是真命题， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义、三角形外角的性质、三角形中线的性质及全等三角形的判定，轴对称图形是寻找对称轴，沿对称轴折叠，对称轴两旁的部分能够完全重合；三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，熟练掌握相关定义及定理是解题关键. 6. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和 之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解． 【详解】 ， ∴， ∴， ∴估计的值应在和之间． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键． 7. 近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数，再与原来的度数比较是解题的关键． 根据眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴400度近视眼镜，矫正治疗后所配镜片焦距调整为，可求出现在小明佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解． 【详解】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为， ∴，即矫正治疗后小明佩戴的眼镜度数是，小明原来佩戴400度， ∴，即下降了度． 故选：． 8. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 80和81 B. 81和80 C. 80和85 D. 85和80 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的数为众数，以及把数据排序（小到大或大到小）后，位于中间位置的数为中位数（当中间位置为两个数时，取它们的平均数），据此即可作答． 【详解】解：出现次数为2，是最多的，故众数是； 排序后：78，80，80，82，85，90． 位于中间位置为： ∴这组数据的众数和中位数分别为80和81． 故选：A 9. 如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理，根据圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可．熟练掌握并灵活运用弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则 ， 则 ∴ 同理得，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相反数的含义以及求法，绝对值的意义，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”． 先化简绝对值，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小明、小红二人准备在2025年春节贺岁档上映的《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》三部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比.画树状图，共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：把《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有种， ∴小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为 故答案为：． 13. 方程 的解是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． 14. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 15. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4， ∴菱形的面积为 故答案为：6 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用． 16. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 17. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______． 【答案】米## 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质； 过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案． 【详解】解：过O作，过A作于G， ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， ∴在中，米， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米， 故答案为：5米． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键． 20. 先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=2 【答案】化简结果： -1 【解析】 【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= = = 当x=2时，原式=﹣1． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，．根据调查结果，绘制了如下所示两幅尚不完整的统计图．回答下列问题： （1）这次被抽查的学生共有______人，扇形统计图中，“B”组所对应的圆心角的度数为______． （2）补全条形统计图； （3）若该校有1500名学生，估计寒假阅读的总时间不少于24小时的学生有多少名？ 【答案】（1）120， （2） 补全统计图如下：     （3）300人 【解析】 【分析】（1）用“A”组的人数除以对应百分比即可求出抽查的人数，再用乘以“B”组人数所占比例即可； （2）用抽查的总人数减去其余各组人数，得到“C”组人数，即可补全统计图； （3）用1500乘以样本中“C”“D”组人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：人， 这次被抽查的学生共有120人； ， ∴“B”组所对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 人 【小问3详解】 人， ∴估计1500名同学中有300人阅读时间不少于24小时． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是将统计图中的数据关联起来． 22. 如图，E、F是对角线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解答的关键． （1）连接交于O，利用平行四边形的性质得到，，证得即可证得结论； （2）由勾股定理求得，根据菱形的判定证得四边形是菱形，则有，由勾股定理得，进而求得，利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 则， 解得， ∴， ∴． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书每本书的价格是文学类图书每本书价格的倍．已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本． （1）学校购买文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是多少元？ （2）新学期，学校计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共1000册，且购进的科普类图书不少于文学类图书的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是20元，24元 （2）购买文学类图书600册，科普类图书400册花费最少，最少花费为21600元 【解析】 【分析】（1）首先设文学类图书的价格为a元，则科普类图书的价格为1．2a元，然后根据“用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本”列出方程，最后解方程即可得出答案； （2）设购进文学类图书x册，则购进科普类图书（1000﹣x）册，总费用为y元，根据题意得列出y与x之间的函数关系式，然后再根据“购进的科普类图书不少于文学类图书的”求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设文学类图书的价格为a元，则科普类图书的价格为元． 依题意得：， 解得：， 检验后知道是原方程的解， ∴， 答：文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是20元，24元． 【小问2详解】 解：设购进文学类图书x册，则购进科普类图书册，总费用为y元， 依题意得：， 整理得：， ∵购进的科普类图书不少于文学类图书的， ∴， 解得：， 对于，y随x的增大而减小， ∴当x取最大值时，y为最小， 又， ∴当时，y为最小，此时（元），（册） 答：购买文学类图书600册，科普类图书400册花费最少，最少花费为21600元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的应用，解答（1）的关键是准确地找出等量关系列出方程，特别需要的注意的是：解分式方程一定要验根，这也是解答此题的易错点；解答（2）的关键是理解一次函数的增减性，难点是依题意列出一次函数的解析式，并正确地求出自变量的取值范围． 24. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务（1）米；任务（2）满载时该船符合相关安全规定． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用任务． （1）由题意得，代入数据，计算即可求解； 任务（2）延长交水面l于点，作于点，先求得米，米，在中，求得的长，在中，求得和的长，据此求解即可判断． 【详解】解：任务（1） 由题意得， ∵，米， ∴米； 任务（2）满载时该船符合相关安全规定．理由如下： 延长交水面l于点，作于点， 则四边形是矩形， 由题意得米，米，， 在中，，， ∴米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴， ∴满载时该船符合相关安全规定． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案； （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点． 则DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+n， 将、代入则有：， 解得， ∴直线的表达式为， 当x=-1时，， 即K（-1，）， ∴． ∵． ∴ 设点，则F点坐标为（m，）， ∴． ∴， 当时，有最大值． （3）∵，，． ∴AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵过点作直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为． 设点的坐标为． ①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=t-4，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，t2=0（舍去）， 此时点的坐标为． ②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=4-t，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，<0（舍去）， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键． 26. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）1 （2） 证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3） 解：，证明如下： 如图，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【小问1详解】 解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $