2025年中考数学冲刺专题提升导与练《专题七 相似三角形综合》

中考冲刺专题提升导与练 专题七 相似三角形综合 【考点探究】 命题角度一　相似三角形的性质相关热门命题点 1．将一个三角形的各边扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的(　 　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 2. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于点F.若EF∶FB＝1∶3，则的值为(　 　) A． B． C． D．以上选项都不对 第2题图 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC＋CD的最大值为(　 　) A． B． C． D． 　 第3题图 命题角度二　相似三角形的判定相关热门命题点 4．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，不能使△DAC∽△DCB的是(　 　) A．∠ACB＝90° B．sin A＝ C．＝ D．CD2＝AD·BD 　 第4题图 5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　 　) 　　　　　　 　　　　A.　　　　　　 　　B.　　　　　　　　C　　　　　　　D． 6．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝3 cm，AC＝6 cm，动点D从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2 cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是(　 　) A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．1.5 s 或2.4 s 第6题图　　 7．如图，AB，CD相交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝____________时，△AOC与△BOD相似． 第7题图　 命题角度三　相似三角形的性质与判定综合热门命题点 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，若BD＝3CD，S△BCE∶S△ACD＝9∶4，则AE∶CE的值是(　 　) A．4∶5 B．5∶4 C．7∶9 D．9∶7 　 第8题图 9．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上(点E不与A，C重合)，且∠AED＝∠B. 　 第9题图 (1)求证：AD·AB＝AE·AC. (2)若AE＝EC＝2AD，求的值． (3)若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围． 10．如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. 第10题图 (1)求证：AD2＝DE·DC. (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD. 命题角度四 相似三角形的应用相关热门命题点 11．《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再立一根标杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为(　 　) A．5尺 B．15尺 C．30尺 D．45尺 12．凸透镜成像的原理如右图所示，AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3∶2，则物体被缩小到原来的(　 　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 13．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是(　 　) A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则的值是(　 　) A． B． C． D． 第14题图 15．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1 m，射灯A与皮影人相距2 m．若保持皮影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影人靠近至G的距离AG为_______________． 第15题图 　16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1 cm/s，连结PQ.设运动的时间为t(s)，其中0＜t＜4.当t＝_____________时，△APQ与△ABC相似． 　　　　 第16题图 17．(1)在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G. 求证：＝＝. 提示：连结ED. 请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． 结论应用： (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，D，E分别是边AB，BC的中点，CD，AE相交于点G.若GD＝，则BC＝____________． (3)如图3，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，CD，AE相交于点G.过点G作GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△AFG的面积是____________． 18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE·BE. 第18题图 (1)求证：①∠EAD＝∠ABE.②BE＝EC. (2)若BD∶CD＝4∶3，CE＝8，求线段AE的长． 19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE·AB，连结DE. (1)求证：△ABD∽△ADE. (2)若∠BAC＝α，求∠EDC.(结果用α表示) (3)若AB＝5，AD＝4，DE＝2，求EC的长． 【参考答案】 命题角度一　相似三角形的性质相关热门命题点 1．将一个三角形的各边扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的(　B　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 2. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于点F.若EF∶FB＝1∶3，则的值为(　B　) A． B． C． D．以上选项都不对 第2题图 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC＋CD的最大值为(　D　) A． B． C． D． 　 第3题图 命题角度二　相似三角形的判定相关热门命题点 4．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，不能使△DAC∽△DCB的是(　C　) A．∠ACB＝90° B．sin A＝ C．＝ D．CD2＝AD·BD 　 第4题图 5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　D　) 　　　　　　 　　　　A.　　　　　　 　　B.　　　　　　　　C　　　　　　　D． 6．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝3 cm，AC＝6 cm，动点D从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2 cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是(　D　) A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．1.5 s 或2.4 s 第6题图　　 7．如图，AB，CD相交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝__54或__时，△AOC与△BOD相似． 第7题图　 命题角度三　相似三角形的性质与判定综合热门命题点 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，若BD＝3CD，S△BCE∶S△ACD＝9∶4，则AE∶CE的值是(　C　) A．4∶5 B．5∶4 C．7∶9 D．9∶7 　 第8题图 9．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上(点E不与A，C重合)，且∠AED＝∠B. 　 第9题图 (1)求证：AD·AB＝AE·AC. 证明：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴AD∶AC＝AE∶AB， 即AD·AB＝AE·AC. (2)若AE＝EC＝2AD，求的值． 解：∵AE＝EC＝2AD，∴设AD＝k， 则AE＝EC＝2k，∴AC＝AE＋EC＝4k. 由(1)可知AD·AB＝AE·AC， ∴k·AB＝2k·4k，∴AB＝8k， ∴＝＝. (3)若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围． 解：由(1)可知AD·AB＝AE·AC， ∵AB＝6，AC＝4，∴6AD＝4AE，∴AD＝AE， ∵点E在AC边上，AC＝4，∴0＜AE＜4， ∴0＜AE＜，即0＜AD＜. 10．如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. 第10题图 第10题答图 (1)求证：AD2＝DE·DC. 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∵AE⊥BD， ∴∠DAE＋∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAE. ∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD， ∴＝，∴AD2＝DE·BA. ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD. 解：连结AC，交BD于点O，如图． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE＋∠AED＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC. ∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD＝BD. ∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE. ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE. 在△ODA和△FEC中， ∵ ∴△ODA≌△FEC(AAS)，∴CE＝AD. 命题角度四 相似三角形的应用相关热门命题点 11．《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再立一根标杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为(　D　) A．5尺 B．15尺 C．30尺 D．45尺 12．凸透镜成像的原理如右图所示，AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3∶2，则物体被缩小到原来的(　D　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 13．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　) A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则的值是(　A　) A． B． C． D． 第14题图 　 第14题答图 【解析】如图所示，延长DE，CB交于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠H，且AE＝BE，∠AED＝∠BEH， ∴△ADE≌△BHE(AAS)，∴AD＝BH. ∵F是BC的中点，∴BF＝BC， ∴HF＝BH＋BF＝BC＝AD. ∵AD∥HF，∴△ADG∽△FHG， ∴＝＝＝. 15．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1 m，射灯A与皮影人相距2 m．若保持皮影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影人靠近至G的距离AG为____m__． 【解析】由题意得，BC∥DE，AC＝2 m，CE＝1 m，EF＝2DE，∴△ABC∽△ADE， ∴＝＝＝，∴＝. ∵BC∥DE，∴△BCG∽△FEG， ∴＝＝，∴CG＝CE＝ m， ∴AG＝AC－CG＝ m． 第15题图 　16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1 cm/s，连结PQ.设运动的时间为t(s)，其中0＜t＜4.当t＝__或__时，△APQ与△ABC相似． 　　　　 第16题图 【解析】由勾股定理得， AB＝＝＝5(cm)， 由题意得，AQ＝t cm，AP＝(5－t) cm， ∵∠PAQ＝∠BAC， 当△APQ∽△ABC时，AQ∶AC＝AP∶AB 即t∶4＝(5－t)∶5，∴t＝. 当△APQ∽△ACB时，AQ∶AB＝AP∶AC， 即t∶5＝(5－t)∶4，∴t＝， ∴当t为或时，△APQ与△ABC相似． 17．(1)在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G. 求证：＝＝. 提示：连结ED. 请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． 结论应用： 证明：如图1， ∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， ∴△DEG∽△ACG， ∴＝＝＝2， ∴＝＝3， ∴＝＝. (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，D，E分别是边AB，BC的中点，CD，AE相交于点G.若GD＝，则BC＝__8__． 解：如图2，连结ED， ∵在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， ∴△GED∽△GAC， ∴＝＝.∵GD＝，∴GC＝， ∴CD＝GC＋GD＝5. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，D是AB的中点，则AB＝2CD＝10， ∴BC＝＝8.故答案为8. (3)如图3，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，CD，AE相交于点G.过点G作GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△AFG的面积是__2__． 解：如图3，连结ED， ∵在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， ∴△GED∽△GAC， ∴＝＝，∴＝. ∵GF∥BC，∴△AFG∽△ABE， ∴＝()2＝. ∵E是BC的中点，△ABC的面积是9， ∴S△ABE＝S△ABC＝， ∴S△AFG＝×＝2.故答案为2. 18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE·BE. 第18题图 第18题答图 (1)求证：①∠EAD＝∠ABE.②BE＝EC. 证明：①∵AE2＝OE·BE，∴＝. ∵∠AEO＝∠BEA，∴△AEO∽△BEA， ∴∠EAD＝∠ABE. ②∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB. ∵∠ABD＝∠ABE＋∠CBE，∠ADB＝∠EAD＋∠C， 由①知∠EAD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝EC. (2)若BD∶CD＝4∶3，CE＝8，求线段AE的长． 解：过点A作AF⊥BD于点F，交BE于点G，连结GD，如图， ∵AB＝AD，AF⊥BD，∴BF＝FD， 即AF为BD的垂直平分线，∴GB＝GD， ∴∠GBC＝∠GDB， 由(1)②知∠CBE＝∠C， ∴∠GDB＝∠C，∴GD∥EC， ∴△BGD∽△BEC，∴＝. ∵BD∶CD＝4∶3，∴＝， ∴＝，∴GD＝. ∵BD∶CD＝4∶3，BF＝FD， ∴FD∶DC＝2∶3，∴＝. ∵GD∥EC，∴△FGD∽△FAC， ∴＝，∴＝，∴AC＝. ∴AE＝AC－EC＝－8＝. 19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE·AB，连结DE. (1)求证：△ABD∽△ADE. 证明：∵AD2＝AE·AB，∴＝. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE. (2)若∠BAC＝α，求∠EDC.(结果用α表示) 解：∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB＝∠AED， ∴∠EDC＝∠AED－∠C＝∠ADB－∠C＝∠DAC＝∠BAC.∵∠BAC＝α，∴∠EDC＝α. (3)若AB＝5，AD＝4，DE＝2，求EC的长． 解：∵AD2＝AE·AB，AB＝5，AD＝4，DE＝2， ∴AE＝＝＝.设EC＝x，则AC＝x＋， ∵∠EDC＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△EDC∽△DAC， ∴＝＝＝＝， ∴DC2＝EC·AC＝x(x＋)， DC＝AC＝(x＋)， ∴[(x＋)]2＝x(x＋)， 解得x1＝，x2＝－(不符合题意，舍去)， ∴EC的长是. 学科网（北京）股份有限公司 $$