2025年中考数学冲刺专题提升导与练《专题六 三角形与特殊三角形综合》

中考冲刺专题提升导与练 专题六 三角形与特殊三角形综合 【考点探究】 命题角度一　三角形及特殊三角形性质及判定热门命题点 1. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5，13，30，则正方形C的面积为(　 　) A．12 B．18 C．10 D．20 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若BD＝4 cm，DE＝5 cm，则△ABC的周长为(　 　) A．28 cm B．18 cm C．24 cm D．29.5 cm 　 3．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E.若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为(　 　) A．100° B．105° C．110° D．120° 　　 4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则EF的最小值为(　 　) A．3 B． C． D． 命题角度二　特殊直角三角形与等腰三角形热门命题点 5．一副三角板摆放成如下图所示，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝39°，则∠CDF的度数为(　 　) A．34° B．29° C．24° D．19° 6．如图，△ABC的三条高线相交于点G，CH是角平分线，已知∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，则图中的等腰三角形的个数为(　 　) A．5 B．6 C．7 D．8 7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为.如图，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝________． 8．如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连结BD并延长交AC于点G.若AE＝ED＝2.则(1)∠FDB的度数是_________；(2)DG的长是__________． 命题角度三　三角形综合相关热门命题点 9．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　 　) A．15° B．20° C．25° D．30° 10．把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°.其中正确的是(　 　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，若DE＝2，则FG＝_________． 　 12．如图，这是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连结AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＋＝__________． 【跟踪训练】 13．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形(　 　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连结AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连结AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F.若AB＝6，AC＝8，则DF的长为(　 　) A． B．4 C． D．5 　 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，∠B＝60°，∠C＝45°，则AC的长为_________． 　 16．如图，正五边形ABCDE的对角线恰好围成“正五角星”(即阴影部分)，AC，AD分别与BE交于点F，G，其中△AFG是黄金三角形(底边与腰的比为的等腰三角形).若AB＝2，则FG的长为________． 　 17．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，下列结论：①PE＝PF；②点P在∠COD的平分线上；③∠APB＝90°－∠O，其中正确的有________．(填所给正确结论的序号) 18．(15分)2024·苏州模拟如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连结DE. 　　 (1)求证：DE平分∠ADC. (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 19．如图1，在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b＋1，0)，且a，b满足a2－12a＋＋36＝0， (1)求A，B两点的坐标． (2)如图2，点C在线段BO上(C不与端点B，O重合)，点D在线段AO上(D不与端点A，O重合)，连结CD，过D作CD的垂线交AB于P，若BC＝2DO，设点C的横坐标为t，求点P的横坐标．(用含t的代数式表示) (3)如图3，在(2)的条件下，连结BD，N是BO的中点，NM⊥BO，交BD于点M，连结AM，若BD＝PB，求AM的长． 20．如图1，将Rt△ABC(∠A＝90°)纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E′处，展开后如图2，BD，PF，DF，DP为图1折叠过程中产生的折痕． (1)求证：DP∥BC. (2)若DE′落在DM的右侧，求∠C的范围． (3)是否存在∠C，使得DE′与∠MDC的平分线重合，若存在，请求出∠C的大小；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 命题角度一　三角形及特殊三角形性质及判定热门命题点 1. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5，13，30，则正方形C的面积为(　A　) A．12 B．18 C．10 D．20 第1题图 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若BD＝4 cm，DE＝5 cm，则△ABC的周长为(　A　) A．28 cm B．18 cm C．24 cm D．29.5 cm 　 第2题图 3．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E.若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为(　A　) A．100° B．105° C．110° D．120° 　 第3题图 　 4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则EF的最小值为(　C　) A．3 B． C． D． 第4题图 【解析】如图，连结BP，取BP的中点G，连结EG，FG， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠BEP＝∠BFP＝90°， ∴EG＝GF＝BG＝BP， ∴∠BEG＝∠EBG， ∠BFG＝∠FBG， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠EBG＋∠BFG＋∠FBG＝2(∠EBG＋∠FBG)＝2∠ABC＝2×45°＝90°， ∴△EGF为等腰直角三角形， ∴EF＝＝＝BP， ∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小． ∵∠C＝60°， ∴＝sin C＝sin 60°， ∴BP＝BC·sin 60°＝6×＝3， ∴BP的最小值为3， 此时，EF的最小值为×3＝. 命题角度二　特殊直角三角形与等腰三角形热门命题点 5．一副三角板摆放成如下图所示，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝39°，则∠CDF的度数为(　C　) A．34° B．29° C．24° D．19° 6．如图，△ABC的三条高线相交于点G，CH是角平分线，已知∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，则图中的等腰三角形的个数为(　D　) A．5 B．6 C．7 D．8 7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为.如图，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝__6－2__． 8．如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连结BD并延长交AC于点G.若AE＝ED＝2.则(1)∠FDB的度数是__30°__；(2)DG的长是____． 　　　　 第8题答图 【解析】∵△ABE≌△BCF≌△CAD(已知)， ∴AD＝BE＝CF，AE＝BF＝DC. ∵AE＝ED＝2，∴AD＝BE＝4. ∵△DEF为等边三角形， ∴EF＝DF＝DE＝2，∠EFD＝∠EDF＝60°， ∴BF＝DF＝DC＝2， ∴∠FDB＝∠FBD＝∠EFD＝30°， ∠ADB＝∠EDF＋∠FDB＝90°. 如图，过点C作CH⊥BG的延长线于点H， ∵∠CDH＝30°，∴CH＝CD×sin 30°＝2×＝1， DH＝CD×cos 30°＝2×＝. ∵∠ADG＝∠CHG，∠AGD＝∠CGH， ∴△ADG∽△CHG， ∴＝＝，∴DG＝DH＝. 命题角度三　三角形综合相关热门命题点 9．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　A　) A．15° B．20° C．25° D．30° 10．把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°.其中正确的是(　D　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，若DE＝2，则FG＝__2__． 　 12．如图，这是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连结AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＋＝__3__． 【解析】∵题图中AF＝a，DF＝b， ∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF－DE＝b－a. ∵△ADE与△BEH的面积相等， ∴DE·AF＝EH·BH， ∴a2＝(b－a)b，∴a2＝b2－ab， ∴b2－a2＝ab，∴(b2－a2)2＝a2b2， ∴b4＋a4＝3a2b2，∴＋＝3. 【跟踪训练】 13．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形(　D　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连结AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连结AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F.若AB＝6，AC＝8，则DF的长为(　C　) A． B．4 C． D．5 　 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，∠B＝60°，∠C＝45°，则AC的长为__5__． 　 16．如图，正五边形ABCDE的对角线恰好围成“正五角星”(即阴影部分)，AC，AD分别与BE交于点F，G，其中△AFG是黄金三角形(底边与腰的比为的等腰三角形).若AB＝2，则FG的长为__3－__． 　 【解析】在正五边形ABCDE中， ∠BAE＝∠ABC＝＝108°，AB＝AE＝BC＝2， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠FAB＝36°， ∴BF＝AF，∠AFG＝∠AGF＝72°， ∴AF＝AG.同理可得，GE＝AG， 设AF＝x，则AF＝AG＝BF＝GE＝x， FG＝x，∴BE＝BF＋FG＋GE＝x. ∵∠ABE＝∠ABE，∠BAF＝∠AEB， ∴△ABF∽△EBA，∴＝， ∴AB2＝BF·BE，∴22＝x2， ∴x＝－1或x＝－(－1)(不合题意，舍去)， ∴FG＝×(－1)＝3－. 17．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，下列结论：①PE＝PF；②点P在∠COD的平分线上；③∠APB＝90°－∠O，其中正确的有__①②__．(填所给正确结论的序号) 18．(15分)2024·苏州模拟如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连结DE. 　　 (1)求证：DE平分∠ADC. 证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图．∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°－50°＝40°.∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°－100°－40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即AC为∠DAF的平分线． 又EF⊥AB，EG⊥AD，∴EF＝EG. ∵BE是∠ABC的平分线，∴EF＝EH， ∴EG＝EH，∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC. 第18题答图 (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 解：设EG＝x，由(1)得EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD·EG＋CD·EH＝15， 即4x＋8x＝30，解得x＝2.5，∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABE＝AB·EF＝×7×2.5＝. 19．如图1，在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b＋1，0)，且a，b满足a2－12a＋＋36＝0， 　　　　 第19题答图 (1)求A，B两点的坐标． 解：∵a2－12a＋＋36＝0， 即(a－6)2＋＝0， a－6＝0，b－5＝0， ∴a＝6，b＝5，∴A(0，6)，B(6，0). (2)如图2，点C在线段BO上(C不与端点B，O重合)，点D在线段AO上(D不与端点A，O重合)，连结CD，过D作CD的垂线交AB于P，若BC＝2DO，设点C的横坐标为t，求点P的横坐标．(用含t的代数式表示) 解：如图，过点P作PE⊥OA于点E， ∵点C的横坐标为t，BC＝2DO，∴DO＝. ∵PD⊥DC，∴∠PDC＝90°， ∴∠PED＝∠PDC＝∠DOC＝90°， ∴∠PDE＝∠DCO， ∴△PED∽△DOC，∴＝. 设PE＝x，则AE＝x，DE＝， ∴＝，∴2x(t＋6)＝－t2＋36. ∵t≠－6，∴x＝，即点P的横坐标为. (3)如图3，在(2)的条件下，连结BD，N是BO的中点，NM⊥BO，交BD于点M，连结AM，若BD＝PB，求AM的长． 解：∵A(0，6)，B(6，0)， ∴设直线AB的解析式为y＝kx＋m， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋6. 由(2)可得P(，)，∵D(0，)，B(6，0)， ∴PB2＝(－6)2＋()2， BD2＝62＋()2.∵PB＝BD， ∴(－6)2＋()2＝62＋()2， ∴t2＋36t－108＝0，解得t＝－18＋12(负值舍去). ∵N是BO的中点，NM⊥BO，∴M是BD的中点． ∵D(0，12－6)，B(6，0)，∴M(3，6－3)， ∴AM2＝32＋(3)2＝36，∴AM＝6. 20．如图1，将Rt△ABC(∠A＝90°)纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E′处，展开后如图2，BD，PF，DF，DP为图1折叠过程中产生的折痕． (1)求证：DP∥BC. 证明：由第二次翻折可得EF垂直平分BD，由第一次翻折可得EF＝EP， ∴PF与BD垂直且互相平分， ∴四边形PBFD是菱形，∴DP∥BC. (2)若DE′落在DM的右侧，求∠C的范围． 解：设∠ABD＝α，∵四边形PBFD是菱形，∴PB∥DF， ∴∠BDF＝α，∠ADP＝∠FDM＝∠C＝90°－2α， 当DE′落在DM的右侧时，α＞90°－2α， ∴α＞30°，∴90°－2α＜30°，∴0°＜∠C＜30°. (3)是否存在∠C，使得DE′与∠MDC的平分线重合，若存在，请求出∠C的大小；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： 若存在∠C，使得DE′与∠MDC的平分线重合， 设∠ABD＝α，∠ADP＝∠FDM＝∠C＝90°－2α，∠MDC＝2α， ∴90°－2α＋α＝α，∴α＝45°，∴∠C＝0°， ∴不存在∠C使得DE′与∠MDC的平分线重合． 学科网（北京）股份有限公司 $$