精品解析：福建省三明市、南平市等六地六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2024-2025学年第二学期三明市、南平市六地六校联考 期中考试协作卷 高二年级数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 友情提示：1.本试卷共6页. 2.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上. 3.答题要求见答题卷上的“注意事项”. 学校 班级 姓名 座号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则= A. 2 B. －2 C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 5. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（　　） A. 528 B. 1020 C. 1038 D. 1040 7. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分. 9. 福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A. 若展馆需要种花卉，有种安排方法 B. 若“绿水晶”去展馆，有种安排方法 C. 若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法 D. 若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列如下表： _____________ 13. 甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为_____________ 14. 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 16. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 17. 有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数. （1）其中甲一定要站在最左边； （2）其中甲不在最左边，乙不在最右边； （3）其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻； 18. 体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望. 19. 已知函数，e是自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期三明市、南平市六地六校联考 期中考试协作卷 高二年级数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 友情提示：1.本试卷共6页. 2.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上. 3.答题要求见答题卷上的“注意事项”. 学校 班级 姓名 座号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，则，又， 所以， 故选：B. 2. 设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则= A. 2 B. －2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据除法求导运算，求得曲线的导函数，进而得到直线的斜率．由两条直线平行，可得两条直线斜率相等，因而求得a的值． 【详解】对曲线求导，可得 ，在点P处切线的斜率为 直线方程可化为y＝ ax＋1 若与直线平行，则两条直线的斜率相等 所以 所以选D 【点睛】本题考查了曲线求导的基本运算，求过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题． 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 5. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案； 方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率. 【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种）， 至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种）， 所以至少有1名男医生参加的概率为. 方法二：抽调3人全部为女医生的概率为， 则至少有1名男医生参加的概率为. 故选：C． 6. 杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（　　） A. 528 B. 1020 C. 1038 D. 1040 【答案】D 【解析】 【详解】第一行数字之和为 第二行数字之和为 第三行数字之和为 第四行数字之和为 … 第行数字之和为 ∴ 故选D 7. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 8. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分. 9. 福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A. 若展馆需要种花卉，有种安排方法 B. 若“绿水晶”去展馆，有种安排方法 C. 若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法 D. 若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，从种精品花卉中安排种花卉给展馆即可；对于B，若“绿水晶”去 展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于D，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，根据排列组合计算即可. 【详解】对于选项A，若展馆需要种花卉，种精品花卉选种安排在展馆即可，有种安排方法，所以选项A正确； 对于选项B，若“绿水晶”去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，展馆至少有一种， 则有种安排方法，所以选项B正确； 对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可， 则展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项C错误； 对于选项D，若种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，有种安排方法， 将种兰花安排在两个展馆，每种兰花都有种安排方法，则种兰花共有种安排方法， 则有种安排方法，所以选项D错误. 故选：AB. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据相互独立事件的定义判断B，根据条件概率公式判断C，根据全概率公式判断D. 【详解】对于A：从甲罐取出一个球，取出球的颜色可能是红球、白球、黑球， 显然不可能同时是两个颜色，所以，，是两两互斥的事件，故A正确； 对于B：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：因为， 所以 ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列如下表： _____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用期望和方差计算公式，求得，再利用方差的性质，即可求解. 【详解】因为， 则，所以， 故答案为：. 13. 甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件求解. 【详解】甲队获胜的事件是比赛两局获胜和比赛三局获胜的事件和，它们互斥， 所以甲队获胜的概率为. 故答案为： 14. 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______． 【答案】13 【解析】 【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到，利用二项式定理解决余数问题. 【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分， 第三小题可能得0分，2分或3分， 如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：， 当第三题得2分时，有可能总得分为：， 当第三题得3分时，有可能总得分为：， 所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为： ，即， 则 ， . 故答案为：13. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）1024 （2）180 【解析】 【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和； （2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案. 【小问1详解】 前三项的二项式系数和为， 解得或-11（舍去）， 中，展开式中所有二项式系数的和为； 【小问2详解】 的展开式通项公式为， 令得，故. 16. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【小问1详解】 由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； 【小问2详解】 因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 17. 有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数. （1）其中甲一定要站在最左边； （2）其中甲不在最左边，乙不在最右边； （3）其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻； 【答案】（1）24 （2）78 （3）24 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先安排法即可求解， （2）根据间接法，先任意排，在排除不符合要求的即可， （3）根据相邻捆绑和不相邻插空法即可求解. 【小问1详解】 甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有种方法， 【小问2详解】 其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边有， 5个人全排列有，甲在最左边且乙在最右边时有 所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有； 【小问3详解】 将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列，此时形成3个空， 将女生甲乙安排在这3个空中，有，两个男生解绑，有， 所以总的排法为 18. 体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下表所示： 0 30 60 【解析】 【分析】（1）求出甲同学在3次投篮中，投中2次或3次的概率，得到答案； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，得到数学期望. 【小问1详解】 记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. 【小问2详解】 若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 30 60 故. 19. 已知函数，e是自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】（1）时，的增区间是，当时，的减区间是，增区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分和分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【小问1详解】 ，， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； 【小问2详解】 方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， ， 当时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时， 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，， 如图，函数的图象， 与有2个交点，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $