精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

友好学校第七十九届期中联考 高一数学 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内． 2．选择题必须用铅笔填涂；非选择题必须用黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为实数，（为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 在，角，，所对边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. “景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（ ） A. 20（）m B. m C. m D. 10（）m 8. 如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上点，且，，则（ ） A. B. C. D. 5 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 11. 数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，则=______ 13. 已知向量，满足，，，则_____ 14. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为_____ 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数的值. 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； 17. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求四棱锥表面积． 18. 在中，角所对的边分别为．已知，． （1）求的值； （2）若，求的值． 19 梯形中，，，，． （1）求； （2）若的面积为8，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第七十九届期中联考 高一数学 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内． 2．选择题必须用铅笔填涂；非选择题必须用黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为实数，（为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的定义即可求得. 【详解】因，则由复数相等的定义可得：. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解即可. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，， 所以原图形面积为. 故选：B 4. 在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再由小边对小角得解. 【详解】因为，，， 根据正弦定理，则， 得， ， 所以或， 因为，所以， 所以. 故选：C 5. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 6. “景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，所求容积为（）. 故选：A 7. 如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（ ） A. 20（）m B. m C. m D. 10（）m 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解． 【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得. 故选：C． 8. 如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上的点，且，，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标运算解决即可. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，， 所以，，又，， 所以，， 则， ， 所以， 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B错误； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C正确； D选项，若复数是关于方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 故选：ACD 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球体积之比为，D正确. 故选：ACD. 11. 数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义和性质结合平面向量的数量积运算判断A，利用给定定义和性质结合平面向量的线性运算判断B，C，利用三角心的性质结合给定定义判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，即，故A正确， 对于B，由是的重心，设为的中点， 可得， 所以，故B错误， 对于C，过的外心分别作，的垂线， 垂足为，如图，连接， 因，，且在中， 所以是的中点，同理可得是的中点， 所以 ， ，故C正确， 对于D，因为是的重心，所以， 所以， ，而由欧拉线定理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，则=______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 13. 已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则以及可得. 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 14. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理可得，， 而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）先利用向量数量积的坐标运算及模的运算，再求向量夹角即可； （2）由向量与垂直等价于，再求解即可. 【详解】解：（1）， （2）， 又与垂直， 即， 故. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算及模的运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属中档题. 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算并结合纯虚数的定义解方程即可得出结果； （2）由共轭复数定义并计算出结果，再利用实数的虚部为0，解方程可求得. 【小问1详解】 易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； 【小问2详解】 由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 17. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求四棱锥的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求三棱锥体积； （2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成，分别求出面积即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 四棱锥表面由正方形和四个直角三角形所围成， ，，， 则与全等，与全等， 因为，，， 所以. 18. 在中，角所对的边分别为．已知，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理以及即可解出 【小问1详解】 由于，，则，， 利用正弦定理可化简为，则. 【小问2详解】 因为，由余弦定理得，， 即，解得或（舍）， 故. 19. 梯形中，，，，． （1）求； （2）若的面积为8，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求出结果； （2）由，进而可求，再利用的面积为8，求出，再根据余弦定理可求出结果. 【小问1详解】 ，，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． 【小问2详解】 ， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $