精品解析：黑龙江省大庆市第一中学2024-2025学年下学期九年级数学期中考试试卷

2024-2025学年初三下学期期中考试 数学试卷 答题时间：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 2. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的计算，掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，代入计算即可求解． 【详解】解：已知是成比例线段， ∴， 其中，，， ∴， 解得，， 故选：B ． 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B 4. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】小强和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下： 小强 小华 石头 剪刀 布 石头 （石头,石头） （石头,剪刀） （石头,布） 剪刀 （剪刀,石头） （剪刀,剪刀） （剪刀,布） 布 （布,石头） （布,剪刀） （布,布） ∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）． ∴小明和小颖平局的概率为：． 故选B． 考点：概率公式. 5. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解体的关键． 根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长. 详解：∵，， ∴∠ABO=∠CDO, ∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD， ∴ ∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m， ∴. 故选C. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键． 7. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系，列出方程．设的长为，则，根据面积为列出方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 故选：． 8. 已知a，b，c为的三边，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 或 C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1． 【详解】解：∵， ∴2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b）， ∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c）， ∵a、b、c为△ABC的三边， ∴a+b+c≠0， ∴k＝1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的综合运用，解题关键是根据比例式得出含k的方程，再根据再根据a、b、c为△ABC的三边求解． 9. 如图，中，，，垂足为D，平分，分别交于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．过点F作于点G，设，根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据角平分线的性质可得，再由，即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即． 故选：A 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ） A. 14 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长． 方法二：设AB交CR于点M，先证得，可得、，进而可求得PC＝5，CQ＝10，设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长． 【详解】方法一： 解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J， ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°， ∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上， ∵DE∥AI∥BH， ∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH， ∴△ECP∽△HCQ， ∴， ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10， ∵EC:CH＝1:2， ∴AC:BC＝1:2， 设AC＝a，则BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB， ∴CQ∥AB， ∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形ABQC为平行四边形， ∴AB＝CQ＝10， ∵， ∴， ∴（舍负） ∴，， ∵， ∴， ∵JR＝AF＝AB＝10， ∴CR＝CJ＋JR＝14， 故选：A． 方法二： ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形 ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10 设，则 在Rt△ABC中，∠ACB＝90° 由勾股定理得 由等面积法得 设与交于点J ∵四边形ABGF是正方形 PQ⊥CR，CR⊥AB，∠ACB＝90° ∴CQAB，ACBQ，四边形AMRF是矩形 ∴四边形ABQC为平行四边形， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 12. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【详解】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 13. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概念，画树状图，求得有4种等可能的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩（）的有2种， ∴P（该小孩为女孩）． 故答案为：． 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD ∵ ∴△ABD和△BCD等高，高均为AE ∴ ∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 17. 某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___． 【答案】 【解析】 【分析】增长率问题，一般公式化为：增长后的量=增长前的量×（1＋增长率），如果设平均月增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程： 【详解】解：如果设平均月增长率为x，可得： ． 故答案为： 18. 如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值__________． 【答案】±3 或﹣5 【解析】 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【详解】当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2-9=0， 解得k=±3， 当原方程是一元二次方程时， △=b2-4ac=0， 即：4（k+1）2-4（k2-9）=0 解得：k=-5． 故答案为±3或-5． 【点睛】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 19. 如图，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点F，连接与分别交于点E，O，连接，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由折叠的性质以及为上的中线得到为的中位线，则，，然后由，的性质即可求解． 【详解】解：∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 20. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由配方法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 22. 已知：三个顶点的坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在如图网格中画出． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再收尾顺次连接即可得； （2）根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点． 23. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当x12﹣x22=0时，求m的值． 【答案】（1）m≤；（2）m＝． 【解析】 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值． 【详解】解：（1）由题意有∆=（2m-1）2-4m2≥0， 解得m≤， 即实数m的取值范围是m≤； （2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2， 由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0， 若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝， ∵＞， ∴m＝不合题意，舍去， 若x1-x2=0，即x1=x2， ∴∆=0，由（1）知m＝， 故当x12-x22=0时，m＝． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式正确计算是本题的解题关键． 24. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． （1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； （2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 【答案】（1） （2）两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种， ∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种， ∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 25. 矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． 【答案】 （1）证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ； （2）2； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接．证明，即可求解； （3）以A为旋转中心，绕A点旋转到，设，则，连接，延长交于点M，连接，证明，可得四边形是正方形，再证明，由（2）得，过点P作交于K，进而证明四边形是矩形，则有，即可求出BC的长． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接． ∵， ∴， ， ∵平分， ∴ ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：以A为旋转中心，绕A点旋转到， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， 连接，延长交于点M，连接， ∵， ， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵ ， 过点P作交于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． 26. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 27. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】（1） 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年初三下学期期中考试 数学试卷 答题时间：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A. B. 1 C. D. 0 6. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 7. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c为的三边，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 或 C. D. 1或 9. 如图，中，，，垂足为D，平分，分别交于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ） A. 14 B. 15 C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 12. 若，则的值是_____． 13. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________． 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 17. 某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___． 18. 如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值__________． 19. 如图，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点F，连接与分别交于点E，O，连接，，，则________． 20. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 已知：三个顶点的坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在如图网格中画出． 23. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当x12﹣x22=0时，求m的值． 24. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． （1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； （2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 25. 矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． 26. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 27. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $