精品解析：广东省深圳市高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

深圳市高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题人：李浩宾、刘磊、何永丽 审题人：张延伟、王冠 本卷共计19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值性质化简集合B，进而求并集. 【详解】由题意可得：集合， 且集合，所以. 故选：A. 2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以的共轭复数是. 故选：D. 3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个白球，4个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为第1次摸到白球，事件为第2次摸到白球， 则， 所以. 故选：D. 4. 已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率即可求解. 【详解】由题意：. 所以在点处的切线斜率为， 又倾斜角的取值范围是， 所以切线的倾斜角为， 故选：C 5. 名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将4本书分成三组，再分配，即可得到结果. 【详解】将本不同的数学书选2本作为一组，其余2本书各作为一组，共有种情况， 再将分好的三组书分给3名同学，有种情况， 由分步乘法计数原理可得，总的分法有种情况. 故选：C 6. 等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析，及的关系，再应用等比数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列公差为，又因为，所以，所以， 所以，且都是奇数， 所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列， 所以数列的前50项和为的前50项和， 所以. 故选：B. 7. 定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为，，设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【详解】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得或，即的取值范围为. 故选：A. 8. 已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若点，则始终为钝角 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对和求导，根据导数几何意义，可求得切线方程，通过斜率和截距相等建立方程，可求得的关系，逐项代入化简，即可求得正确答案. 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为和（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列结论中正确的是（ ） A. 甲品牌手表的走时更稳定 B. 乙品牌手表的走时更稳定 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列求出即可. 【详解】， ； ， ， 因为，， 则甲品牌手表的走时更稳定，故AC正确；BD错误. 故选：AC 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为2 B. 三角形面积的最大值是1 C. 的取值范围为 D. 以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确；设，得到，可判定B错误；由，根据，可判定C正确；连接，取的中点，连接，根据椭圆的定义得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用给定不等式结合换元法判断A，结合赋值法与二项式定理判断B，利用赋值法结合裂项相消法求和判断C，利用赋值法结合放缩法与等比数列求和公式判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 则，故，故A正确， 对于B，由二项式定理得， 因为，令，所以， 得到，即，左右两侧取指数得， 当时，可化为，故B正确， 对于C，因为，令，所以， 即，则，而， 得到， 注意到，则，故C正确， 对于D，因为，令，所以， 则，故， 两边取指数得，即， 则，易得是首项为，公比为的等比数列， 则， 注意到， 得到，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数f(x)=cos2x，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后代入数值即可计算出结果. 【详解】则， 故答案为：. 13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为奇数，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为偶数，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】分别计算出从甲箱中摸到白球的概率和从乙箱中摸到白球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解. 【详解】从甲箱中摸白球：掷到点数为奇数的概率为，再从甲箱中摸到白球的概率为， 因此从甲箱中摸到白球的概率为； 从乙箱中摸白球：掷到点数为偶数的概率为，再从乙箱中摸到白球的概率为， 因此从乙箱中摸到白球的概率为， 所以摸到白球的概率为. 故答案为： 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 【详解】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析传到乙之前是从甲或丙传过去，所以需分析传到甲和丙的概率，从而得到递推关系式. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由题意得到，即可求解； （2）求导，确定函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ， 直线的斜率为， 依题意， 所以 ； 【小问2详解】 定义域为， 由得到： 当变化时，和的变化情况如下表: + 0 - 单调递增 单调递减 所以在时取得最大值， 即最大值为 16. 在的展开式中， （1）求该展开式中各二项式系数的和； （2）求该展开式中含的项； （3）求该展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和结论即可求解； （2）由通项公式即可求解； （3）由通项公式分奇偶逐个计算即可. 【小问1详解】 该展开式中各二项式系数的和为； 【小问2详解】 该展开式中通项为， 当时，， 故含的项是第四项 【小问3详解】 该展开式中通项为， 当为偶数时，项的系数才为正数； 当时， 项的系数分别是， ， ， ， ， 其中最大的是=1792， 所以该展开式中系数最大的项是 17. 在深高数学学科周活动中，解题闯关游戏有A，B，C三道数学题．张同学解对A题的概率为0.8，解对获得100积分；解对B题的概率为0.5，解对获得200积分；解对C题的概率为0.2，解对获得300积分．张同学是否解对A，B，C三道数学题相互独立． （1）解三道数学题，求张同学仅解对其中一道的概率； （2）若规定只有在解对当前数学题的情况下，才有资格解下一道．如果解题顺序由张同学自主选择．若张同学按A，B，C的顺序解题获得积分总数为，按照________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序解题获得积分总数为，请分别求，的分布列，并比较它们数学期望的大小． ①A，C，B ②B，A，C ③C，B，A 【答案】（1）0.42. （2）选①，的分布列为 X 0 100 400 600 P 0.2 0.64 0.08 0.08 ； 选②，的分布列为 X 0 200 300 600 P 0.5 0.1 0.32 0.08 故. 选③，的分布列为 X 0 300 500 600 P 0.8 0.1 0.02 0.08 . 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件，以及相互独立事件的概率公式即可求解， （2）利用相互独立事件的概率乘法公式，分别计算①②③中的概率，求解相应的分布列，即可根据期望的计算公式求解期望，比较大小即可作答. 【小问1详解】 记事件A，B，C为张同学解对A，B，C三道数学题，则A，B，C相互独立． 张同学仅解对其中一道的概率 所以，张同学仅解对其中一道的概率为0.42. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，100，300，600. ， ， ， ， 故的分布列为 X 0 100 300 600 P 0.2 0.4 0.32 0.08 期望为. 选①A，C，B的条件，则的分布列如下 的所有可能取值为0，100，400，600 ， ， ， ， 故的分布列为 X 0 100 400 600 P 0.2 0.64 0.08 0.08 期望为， 故 选②B，A，C，则的分布列如下 的所有可能取值为0，200，300，600 ， ， ， ， 故的分布列为 X 0 200 300 600 P 0.5 0.1 0.32 0.08 期望为， 故. 选③C，B，A，则的分布列如下 的所有可能取值为0， 300，500，600 ， ， ， ， 故的分布列为 X 0 300 500 600 P 0.8 0.1 0.02 0.08 期望为， 故. 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）根据条件可得， ， 数列是以为首项，1为公差为等差数列. （2） （3）存在, 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义即可证明； （2）由错位相减法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，计算即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列为以为首项，1为公差的等差数列， ， ， ①， ②， ①-②得：， . 【小问3详解】 ， 当时 ， 当时 ， 当时 ， 又，即 ， 当且仅当时，有. 19. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若函数只有一个零点，求的取值范围； （3）若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1）在和单调递减，在单调递增 （2）或 （3） 由题意及（1）（2）得， 在中，，， 令，解得：． ∴在上，， 单调递减； 在上，， 单调递增. 所以. 由（1）知，在单调递减，在单调递增，， 则直线与、最多有4个交点． 令， 当时， ，所以恒成立. 当时， 令，则， 令，则， ∴在上单调递增，， ∴在上单调递增，， ∴，即， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 所以恒成立. 当时，在上单调递增. 当x→1时，，， 则在有唯一的零点，即存在，使得， 直线与、恰有三个交点，分别记为，，， 不妨设， 由得，即， 要证，即证， 而，即． 由得，即， 又，，，而在单调， ∴， 又由得，即， 又，，而在单调， 所以． 由，得，得证. 【解析】 【分析】（1）将代入，求导即可得出单调性； （2）方法一：对函数求导得出的单调性，对与0的大小进行分类讨论，即可求出的取值范围； 方法二：将问题等价于在只有一个零点，求导得出单调性，对与0的大小进行分类讨论，即可求出的取值范围； （3）求解的单调性，得出直线与、最多有4个交点，构造函数讨论其单调性，得出零点个数和大小关系，进而证明从左至右的三个交点的横坐标成等比数列. 【小问1详解】 由题意， 在中， 若，，定义域为， ，令，解得， 当变化时，和的变化情况如下表: 1 - 不存在 - 0 + 单调递减 不存在 单调递减 e 单调递增 所以，在和单调递减，在单调递增 【小问2详解】 由题意及（1）得， 方法一： 在中，定义域为 ， 当时，解得：. - 不存在 - 0 + 单调递减 不存在 单调递减 单调递增 因此，在处取得极小值，为 （i）当时，由（1）知， 当时，，不存在零点； 当时，，不存在零点. （ii）当时， 当时，恒成立，不存在零点； 当）时，单调递减，至多存在一个零点. 当时，； 当时，又， 所以在上存在一个零点； 当时，又， 所以在上存在一个零点； （当时，，当时，） 所以，在上存在一个零点. （iii）当时， 当时，恒成立，不存在零点. 当时，若只有一个零点，则极小值 令， ∴函数在上单调递减， ，解得： 综上，的取值范围为或 方法二： 只有一个零点等价于在只有一个零点， 又， 则在上只有一个零点， ， （i）当时，恒成立，不存在零点. （ii）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增， 且， 令，所以在上存在一个零点； （iii）若， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值. 若只有一个零点，则， 又，则. 又在单调递减，解得 综上，的取值范围为或 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题人：李浩宾、刘磊、何永丽 审题人：张延伟、王冠 本卷共计19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个白球，4个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 7. 定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为，，设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若点，则始终为钝角 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为和（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列结论中正确的是（ ） A. 甲品牌手表的走时更稳定 B. 乙品牌手表的走时更稳定 C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的短轴长为2 B. 三角形面积的最大值是1 C. 的取值范围为 D. 以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 11. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数f(x)=cos2x，则________. 13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为奇数，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为偶数，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸到白球的概率是___________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求函数的最大值． 16. 在的展开式中， （1）求该展开式中各二项式系数的和； （2）求该展开式中含的项； （3）求该展开式中系数最大的项． 17. 在深高数学学科周活动中，解题闯关游戏有A，B，C三道数学题．张同学解对A题的概率为0.8，解对获得100积分；解对B题的概率为0.5，解对获得200积分；解对C题的概率为0.2，解对获得300积分．张同学是否解对A，B，C三道数学题相互独立． （1）解三道数学题，求张同学仅解对其中一道的概率； （2）若规定只有在解对当前数学题的情况下，才有资格解下一道．如果解题顺序由张同学自主选择．若张同学按A，B，C的顺序解题获得积分总数为，按照________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序解题获得积分总数为，请分别求，的分布列，并比较它们数学期望的大小． ①A，C，B ②B，A，C ③C，B，A 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若函数只有一个零点，求的取值范围； （3）若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $