云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高二下学期第二次月考（5月期中）数学试题

楚雄州春季学期高二年级第二次月考卷 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册一选择性必修第三册第六章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 架 合题目要求的。 1上，李明同学在填写高考志愿表时，了解到A,B两所大学分别有7,8个自己感兴趣的专业，若他 只能从这些专业中选择1个，则不同的选择种数为 A.15 B.28 C.30 D.56 2.已知集合A=(xx2-x-6<0),B=(-2,-1,0,1,3,5),则A∩B= A.{-1,0,1,2,3} B.-2,-1,0,1,3y C.{-2,-1,0,1》 D.(-1,0,1} 3.过点P(4,3)且与直线4x十5y十13=0垂直的直线1的方程是 A.4x+5y-31=0 B.4x-5y-1=0 C.5x-4y-8=0 D.5x+4y-32=0 4.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻， 则不同的坐法有 A.24种 B.48种 C.96种 D.144种 5.已知圆O:x2+y2-6x-4y十4=0与圆O2:x2+y2=4的交点为M,N,则直线MN的方 程为 A.3x+2y+4=0 B.3x+2y-4=0 C.3x+2y+2=0 D.3x+2y-2=0 6.已知cos(受+)-，则|p的最小值是 A晋 B受 c D 【高二年级第二次月考卷·数学第1页（共4页）】 25-T-725B 7.已知函数f(x)=lg(x2一ax斗2)在（一∞1]上单调递减；则实数a的取值范围为 A.[2,+o∞) B.[2,3) C(-∞，2] D.(2,3] 8.某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人 选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有 A270种 B.180种 C.150种 D.90种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知双曲线E若号-1，则 A.双曲线E的实轴长为8 B.双曲线E的虚轴长为3 C,双曲线E的离心率为号 D.双曲线E的渐近线的斜率为士号 10.下列关于（侵2z)”的二项展开式，说法正确的是 A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024 C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大 11.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如： a1.1 a1,2 a1.3 a2.1 Q2.2 Q2.3 a2.n a3.1 a3.2 a3.3 a3.n a.1 an.2 an.3 an.n 该数阵第一列的n个数从上到下构成以d为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构 成以d为公比的等比数列（其中d>0).已知a.1=1,a5r=a1.4十1，记这n2个数的和为S,则 下列说法正确的有 A.d=2 B.a5,7=512 C.a=(2i-1)X21 D.S=n2(2m-1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若(x-2)5=a0十a1x十a2x2+a3x3十a4x十a5x5,则a0十a1十a2十a3十a4十as= 13.曲线)-在点1，f1)处的切线方程为 14,已知函数f(x)=x3-mx十6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 【高二年级第二次月考卷·数学第2页（共4页）】 25-T-725B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,A=号，a=7,b=2, (1)求sinB; (2)求△ABC的面积 16.(本小题满分15.分) 已知四棱锥M-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，MD⊥底面ABCD,且 MD=DC=AD=2AB=2,P是MC的中点. (1)证明：BP∥平面MAD; (2)求直线MB与平面DBP所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知等差数列{an}满足a3>a1,a1十a3=10,a1,a2一1，ag成等比数列. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若6，=，求数列{6}的前n项和T 【高二年级第二次月考卷·数学第3页（共4页）】 25-T-725B 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E若+芳=1(。>6>0)的离心率为号，点A1,号)在椭圆E上 (1)求椭圆E的方程； (2②)已知椭圆E的右顶点为B,过B作直线L与椭圆E交于另一点C,且BC-21ABl, 求直线l的方程， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-ax一l,g(x)=ln(x十2)-x一1(e为自然对数的底数，a∈R),函数 f(x)的极值点为0. (1)求a的值； (2)证明：对Vx∈（一2，十c∞），f(x)>g(x)； (3)已知数列{an}的前n项和Sn=ln(n十1)(n∈N),证明：a1十(a2)2平(aa)3+…十 (a)<号 【高二年级第二次月考卷·数学第4页（共4页）】 25-T-725B楚雄州春季学期高二年级第二次月考卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A不同的选择种数为7十8=15.故选A. 2.D由x2-x-6<0,得-2<x<3,所以A=(-2,3),所以A∩B={一1,0,1).故选D 3.C设直线l的方程是5.x-4y十C=0,因为直线l过点P(4,3),所以5×4一4×3+C=0,解得C=-8,所以 直线l的方程是5x一4y一8=0.故选C 4.D先把3名女生捆绑到一起，有A3=6种排法，再把她们与另外3名男生排列，有A=24种排法，则不同 的坐法有6×24=144种坐法.故选D, 5.B将圆O与圆O2的方程相减，得-6x一4y十8=0，所以直线MN的方程为3x十2y-4=0.故选B 6.A由cos(受+)=是，可得受十p=土号+2kx(k∈Z),即p=土子-受+2kx(k∈Z),所以当p=-晋 时，|p有最小值.故选A 7.B因为y=lgt在(0，+∞)上单调递增，f(x)在（一∞，1]上单调递减，所以t=x2一ax+2在（一∞，1]上 单调递减，且在(-∞，1门上，1=x2-ax+2>0恒成立，所以受≥1，且12-a+2>0,所以2≤a<3,即实数a 的取值范围为[2,3).故选B. 8C先将5名学生分成三组，每组人数有11,3或22,1两种情况，则不同的分组方法有C发C+CC A 再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有A种，由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择 方法有（色C+CC)AN=150种故选C 9AD由双曲线E若-亏-1，得a2=16,分=9，c-a+=16+9=25,即a=4,b=3,=5,所以双曲线E 的实轴长为2a=8,虚轴长为2b=6,离心率。=合=号，渐近线的斜率为士号=土号，故A正确，B错误，C 错误，D正确.故选AD. 10.BD由题意可知，展开式共有11项，故A错误；展开式的二项式系数之和为20=1024，故B正确：展开式 的通项为T+1=C(）°(-2x)r=(-2C20,令2r-10=0,得r=5,所以展开式的常数项为 T5+1=(一2)5C=一8064，故C错误；当r=5时，二项式系数C最大，所以展开式的第6项的二项式系 数最大，故D正确.故选BD. 11.ACD因为a1.1=1,a5.1=a1.4+1,所以1十4d=dP+1,解得d=2(d=0,d=-2舍去)，故A正确；a5.7= a5.1·2=9×26=576,故B错误；a=[1+2(i-1)]×2-1=(2i-1)X2-1,故C正确；S= (a.taa+aa++au)+(a1+aa+aa+…+a)++(a+aa+a+…十a)=二号+ 31-22+51-22+…+2-)9-2)=1+20-1)”.(2-1)=(2"-1),故D正确.故 1-2 1-2 1-2 2 选ACD. 【高二年级第二次月考卷·数学参考答案第1页（共4页）】 25-T-725B 12.-1在(x-2)5=ao十a1x十a2x2+a3x3十a4x+a5x3中，令x=1,得ao十a1+a2十a3+a4十a5=-1 1&5x-y2=0因为)=号-=2平2所以了x)=2而f=子，f1)=号因此曲线 x+2 y==号在点1,1D)处的切线方程为y一号-号（x一1D,即5x一9y-2=0, 14.(-∞，9]f广(x)=3x2-m十，因为函数f(x)在定义域(0，十∞)内单调递增，所以∫(x)≥0在 (0,十o∞)上恒成立，即m≤<32+在0，十∞)上恒成立，令g(x)=3x+三(x∈0，+o》,则g(r= 6-是=6卫，令g(x)=0,得x=1,当x∈0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈ (1,十∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)m=g(1)=9,所以m≤9，即实数m的取值范围 为(-∞，9]. =6 15.解：1由正弦定理，得品B 所以sinB=sinA 2X 2 …40404000400044…4**444*444444”6分 a 7 (2)由余弦定理，得a2=+c2-2 bccos A, 所以(7)2=2+2-2X2×c×cos号， 所以c2-2c一3=0，解得c=3,或c=-1(舍). 9分 Sa=csnA=×2X3x号-3y 2 故△ABC的面积为3 13分 16.1)证明：取MD的中点为Q,连接PQ,AQ,因为P,Q分别是MC,MD的中点，所以PQ∥DC,PQ=合DC,又 AB∥DC,AB=号DC,所以PQ∥AB,PQ=AB,所以四边形ABPQ是平行四边形，所以BP∥AQ,4分 又BP丈平面MAD,AQC平面MAD,所以BP∥平面MAD.…7分 (2)解：因为∠ADC=90°，MD⊥底面ABCD,所以DA,DC,DM两两互相垂直，以 D为坐标原点，以DA,D心，D份别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标 系如图所示，则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,1,0),M(0,0,2), P(0,1,1),则Mi=(2,1,-2),D2=(2,1,0),DP=(0,1,1),…9分 (m,DB=0, 设平面DBP的一个法向量为m=(x,y,z),所以 m·D=0, 即 A 2x+y=0, 令x=1,则m=(1,一2,2).… …12分 y十z=0, 设直线MB与平面DBP所成角为0，则m9:m.=号=合：即直线MB与平面DBP所成」 【高二年级第二次月考卷·数学参考答案第2页（共4页）】 25-T-725B 角的正弦值为号 15分 17.解：(1)设{am)的公差为d,因为ag一a1=2d>0,所以d>0, 1分 因为a1十a3=10,a1,a2一1，a3成等比数列， 2a+2d=10, 所以 3分 (a+d-1)2=a1(a1+2d), a1=8, 解得 舍去)或 a1=2, 5分 d=-3 d=3, 所以am=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3-1. 7分 (2)由1)得a,=3m-1,所以6.=321 8分 所以T=号+是+是++g+3,0 号=景+++++，@ 9分 ①-@得号红=号+（侵+量++品） =号+2(1-）=-名-知 62…3,… 13分 所以工=子- 15分 18,解：(1由题可知=，其中心=a-,所以6=a, 2分 又点A(1,号)在椭圆E上，所以号+忌=1，即2+是=1，解得a2=4,=1,… 4分 所以椭圆E的方程为号+y=1.… …6分 (2由椭圆E的方程号+y=1,得B(2.0),所以1AB=√1-22+（慢-0）=号。 设C(为)，其中m∈[-2,2)为∈[-1,1门，因为1BC1=291AB1=1,所以(-2)2+6=1， …9分 又点C()在椭圆E:苦+y=1上，所以乎+6=1， (xo-2)2+36=1, 联立 要+=1， 得3号-16十16=0，解得x=号或x=4(舍)，…12分 当=号时=±号，即c(告，)或c(告，-)， 15分 所以当C的坐标为（售，号）时，直线1的方程为5x+2y-25=0:当C的坐标为（停，-）时，直线1 的方程为/5x-2y-2√5=0.…17分 【高二年级第二次月考卷·数学参考答案第3页（共4页）】 25-T-725B 19.(1)解：由f(x)=e-ax-1,得f(x)=e-a,… …1分 因为函数f(x)的极值点为0，所以f(0)=e°一a=0,解得a=1.… 3分 若a=1,f(x)=e一1，当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以 0是函数f(x)的极值点. 综上所述，a=1.… 4分 (若没有验证0是函数f(x)的极值点得3分) (2)证明：方法一：由(1)知f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，所以当x∈ （一2，十o∞)时，f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0时等号成立.…6分 由8)=hx+2》-1,得g)一中一1=令gx)=0,得x=-1, 当-2<x<一1时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x>一1时，g(x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)的极大值为g(一1)=0，也是g(x)的最大值，即g(x)≤g(一1)=0，当且仅当x=一1时等号 成立 …8分 所以f(x)≥0≥g(x),且等号不能同时成立，故f(x)>g(x).…10分 方法二：令h(x)=f(x)-g(x)=e-x-1-[ln(x十2)-x-1]=e-n(x+2),x∈(-2，十o∞)，则 （x)=e-+20… …5分 因为，-千2在x∈(-2，+∞)上单调递增k(-1)=e1-1=是-1<0，k(0)=e-是=合>0， 所以3xo∈(-1,0)，使得h'(x)=0.… …7分 当-2<x<xo时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>xo时，h'(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)的极小值 为h(x0),也是h(x)的最小值。… …8分 由(x,)=0,得e0=十2lh(+2)=-,且∈(-1,0， 所以aa)=e0-h(+2)-十2+-十2++2)-22√十2m+2)-2=0,当且仅 当xo=一1时等号成立，但x∈（一1,0），所以等号不成立，即h(x)>0. 所以h(x)≥h(x0)>0,即f(x)>g(x).…10分 (3)证明：当>2时，a,=S,-S。-1=h(n+1)-lnn=lh+1 11分 当n=1时，a1=S=n2,满足上式， 所以an=n叶(n∈N)。 12分 由(2)知对x∈(-2，十o∞)，f(x)>g(x),即e>ln（x+2),…13分 取x=-1+,n∈N,则ln(-1++2）<e+片，所以(h”)）”<e,即(a)"<et 15分 所以a+a)2+a)++a.)<1+e1+e2++e=-<号 …17分 【高二年级第二次月考卷·数学参考答案第4页（共4页）】 25-T-725B