广东省深圳市2025年初中学业水平考试模拟卷(一) 数学试卷
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内容正文：
深圳市 2025年初中学业水平考试模拟卷（一） 数学试卷 第 1 页 共 8 页 2025.5
深圳市 2025年初中学业水平考试模拟卷（一）
数学试卷
说明：1. 答题前，请将姓名、考生号、考点、考场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签
字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。
2.全卷共 8 页。考试时间 90 分钟，满分 100 分。
3. 作答单项选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目答案标
号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择
题，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草
稿纸上，其答案一律无效。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
出题人：一路颗粒 审题人：一路颗粒 编题日期：2025.4.6 审题日期：2025.4.7
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.在12，|− 2|，(− 1)
3，0，5中，负数的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2.下列运算正确的是
A.(a+b)²=（a+b）（a-b） B. (− ��)5 ÷ ( − ��)2 =− �3�3
C. �5 + �5 = �10 D. (�3)3 = �6
3. 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 华 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： �2 =
(2−�)2+(3−�)2+(3−�)2+(4−�)2
� ，由公式提供的信息，则下列说法错误的是( )
A. 样本的平均数是 3.5 B.样本的众数是 3
C. 样本的中位数是 3 D. 样本的容量是 4
4.如图，已知∠1 = 28°，∠��� = 90°，点�、�、�在同一条直线上，
则∠2的度数为( )
A. 102° B. 118° C. 122° D. 62°
5.如图，在▵���中��平分∠���，按以下步骤作图：第一步分别以点�、�为圆心，以大于
1
2��的长为半径在��两侧作弧，交于两点�、�；第二步，连接��分别交��、��于点�、�；
第三步，连接��、��，若�� = 6，�� = 3，�� = 2，则��的长是( )
深圳市 2025年初中学业水平考试模拟卷（一） 数学试卷 第 2 页 共 8 页 2025.5
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
6.如图，在矩形����中，�� > ��，�� = 5��，��，��交于点�，∠��� = 2∠��� = 120∘，
则�� = ( )
A. 5�� B. 5 2�� C. 5 3�� D. 5 5��
7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1所示，点�是栏杆转动的支点，点�是栏
杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆���最多只能升起到如图 2所示的位置，其示意图如
图 3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中�� ⊥ ��，��//��，∠��� = 143∘，�� = �� = 1.2米，
那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据：sin37∘ ≈ 0.60，cos37∘ ≈ 0.80，
tan37∘ ≈ 0.75)
A. B. C. D.
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8.如图 1，�为矩形����边��上一点，点�从点�沿折线�� − �� − ��运动到点�时停止，
点�从点�沿��运动到点�时停止，它们运动的速度都是 1 ��/�.若�,�同时开始运动，设运
动时间为�(�)，����的面积为�(��2).已知�与�的函数图象如图 2，则下列结论错误的是
A. �� = 8�� B. 当� = 12�时，����是等腰三角形
C. 当 10 ≤ � ≤ 12时，� =− 310 �
2 + 6� D. sin∠��� = 35
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
9.定义运算“∗”，规定� ∗ � = ��2 + ��，其中�、�为常数，且 1 ∗ 2 = 5，2 ∗ 1 = 6，
则 3 ∗ 8 =____．
10.如图，是一个 3 × 3的正方形网格，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______．
11.如图，等边三角形���是由 9 个大小相等的等边三角形构成，随机地往
△ ���内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为 ．
12.如图，在�� △ ���中，∠��� = 90°，∠� = 60°，�� = 2，点�是��边上的
中点，以点�为圆心，��的长为半径作弧��.则图中阴影部分的面积为
__________．
13.如图，正方形����的边长为 2，点�与原点�重合，与反比例函数� = �� (� ≠ 0)的图象交
于�、�两点，若△���的面积为98，则�的值______．
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三、解答题：本题共 6小题，共 48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.（7 分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)的求根公式时，对
于�2 − 4�� > 0的情况，她是这样做的：
(1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当�2 − 4�� > 0时，方程��2 + �� + � =
0(� ≠ 0)的求根公式是______．
(2)用配方法解方程：�2 − 2� − 24 = 0．
15.(本小题 5分)
某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，
整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 成绩�/分 频数
�组 90 ≤ � < 100 �
�组 80 ≤ � < 90 12
�组 70 ≤ � < 80 8
�组 60 ≤ � < 70 6
(1)表中� =_____；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中“�”对应的圆心角度数；
(4)该大学共有 240人参加竞赛，若成绩在 70分以上(包括 70分)的为“优”等，根据抽样结果，
估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
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16.(本小题 7分)
临近六一，某商店分别用 300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软蛋玩具枪，每
个水弹玩具枪的进价比每个软蛋玩具枪的进价高 5元．
(1)求水弹玩具枪和软蛋玩具枪的进价分别是多少元？
(2)这批水弹玩具枪和软蛋玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软
蛋玩具枪，此时每张水弹玩具枪的进价上涨了�元，购进水弹玩具枪字的数量在第一次的基
础上减少了 8�张；软蛋玩具枪的进价不变，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少
了
15
2 �副，总花费 1100元，求�的值．
17.(本小题 8分)
如图，已知反比例函数�1 =
�1
�与一次函数�2 = �2� + �的图象交于点�(1,8)、�( − 4,�)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△ ���的面积；
(3)若�1 < �2，直接写出�的取值范围．
18. (本小题 8分)
如图，在△ ���中，∠��� = ∠���，以��为直径的⊙�交��于点�，点�在��的延长线上，
且∠��� = 2∠�．
(1)求证：直线��是⊙�的切线；(2)若�� = 12，���� = 34，求⊙�
的半径长及 tan∠���的值．
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19.(本小题 8分)
【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个
数学等式，例如由图 1可以得到(� + �)(� + �) = �2 + 2�� + �2，请解答下列问题：
(1)写出图 2中所表示的数学等式______；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：
已知� + � + � = 11，�� + �� + �� = 38，求�2 + �2 + �2的值；
(3)小明同学用图 3中�张边长为�的正方形，�张边长为�的正方形，�张宽、长分别为�、�
的长方形纸片拼出一个面积为(2� + �)(� + 2�)长方形，则� + � + � =______；
【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 4表示
的是一个边长为�的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图 4中图
形的变化关系，写出一个数学等式：______．
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20.(本小题 8分)
综合与实践
【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，
则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”.例如：如图 1，在△ ���和△ ���中，若
∠��� = ∠���，�△��� = �△���，则△ ���和△ ���关于点�成“友谊三角形”．
【特例初探】(1)数学社团的小智同学发现：如图 2，∠��� = ∠��� = 90°，�△��� = �△���，
连接��、��，可得到△ ���∽△ ���.理由如下：
∵ ∠��� = ∠���
∴ ∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���
即：①__________
∵ ∠��� = ∠��� = 90°
∴ �△��� =
1
2�� ⋅ ��
�△��� =
1
2�� ⋅ ��
∵ �△��� = �△���
∴
1
2�� ⋅ �� =
1
2�� ⋅ ��
∴ �� ⋅ �� = �� ⋅ ��
∴②__________
又∵ ∠��� = ∠���
∴△ ���∽△ ���．
根据小智的思路，请完成填空：① ，② ；
【变式归纳】(2)小慧思考：如果∠��� = ∠��� ≠ 90°，△���∽△ ���是否还成立？于是
她作了进一步探究：如图 3，在△ ���中，�� = �� = 5，�� = 6，�� ⊥ ��，△ ���和△ ���
关于点�成“友谊三角形”，连接��，请你完成以下问题：
①�� = ；
②试判断��与��的位置关系，并说明理由；
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【迁移应用】(3)如图 4，在△ ���中，∠� = 90°，点�是��边上一点，请你借助以上结论或
方法，用无刻度直尺和圆规在图 4中作△ ���，使△ ���和△ ���关于点�成“友谊三角形”，
且�� = 12��；【综合提升】
(4)如图 5，在平面直角坐标系中，已知�(0,3)、�(2,0).�是�轴上的一动点，以��为一边在��
的右侧构造矩形����，且矩形的面积始终是 6，连接��、��.�是线段��上一点，且满足
∠��� + ∠��� = ∠��� + 90°，连接��，则��·��的最小值为 ．
深圳市2025年初中学业水平考试模拟卷（一)
数学试卷参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】25
10.【答案】180
11.【答案】
12.【答案】号-V3
13.【答案】1
14.【答案】(1)四
=二2-4
2
(2)2-2=24,
÷2-2+1=24+1,即(-1)2=25，
则-1=±5，
41=6,2=-4.
15.【答案】解：(1)12÷30%-12-8-6=14人，
故答案为：14.
(2)补全频数分布直方图如图所示：
小欧数/人
6
2
0
60708090100成绩分
第1页，共8页
(3)360°×0=72
答：扇形统计图中“”对应的圆心角度数为72°：
(4)240×12+14+8=204人，
40
答：该校240人参加竞赛成绩达到“优”等的人数为204人，
16.【答案】解：(1)设一个水弹玩具枪进价为元，一个软蛋玩具枪的进价为(+5)元，
300=800
+5
解得=3，
经检验=3是方程的解且符合题意，
÷+5=8,
所以一个水弹玩具枪进价为5元，一个软蛋玩具枪的进价为8元，
答：一个水弹玩具枪进价为5元，一个软蛋玩具枪的进价为8元：
(2)第一次购进水弹玩具枪300÷3=100（张），
第一次购进软蛋玩具枪800÷8=100（副），
根据题意可得，(3+)(100-8)+8(100-艺)=1100，
解得=2，
答：的值为2.
17.【答案】解：(1)点(1,8)在反比例函数1=1上，
1=1×8=8,
41=8
“点（-4，)在反比例函数1=8上，
-4=8,
“=-2,
÷(-4,-2)
“点(1,8)、(-4，-2)在一次函数2=2+的图象上，
{+8-2
解得：(6。
÷2=2+6.
第2页，共8页
(2)设直线与轴交于点，如图，
由直线：2=2+6，
令=0，则=6，
·(0,6).
=6
过点作上轴于点，过点作。上轴于点，
(1,8),（-4,-2),
4=1,
=4.
。=。十
1
1
=2
×+2
=x6×1+4纱，
=15,
答：△
的面积是15.
(3)由图象可知，点右侧的部分和点与点之间的部分1<2，
当1<2时的取值范围为：-4<<0或>1.
18.【答案】(1)证明：如图，连接，
是⊙的直径，
=90°，即1，
E
∠=∠，
D
。平分上，即上=∠
A
B
0
∠=2∠，
第3页，共8页
“∠
=∠，
"
+∠=90°，
∠+∠=90°，
∠
=180°-90°=90°，即1，
”是⊙的半径，
÷是⊙的切线.
(2)解：过点作上，垂足为，
由(1)可得
==
=6,
tanz =tanz
3
=一
=8,
=√2+z=10,即⊙的半径为5.
tan==一
=10,
=√2+7=50
=碧-12=号
￥//，
一-=号=器
，
tan
=-=
19.【答案】解：(1)(++)2=2+2+2+2+2+2：
(2)×++=11,++=38,
4112=2+2+2+2×38,
÷2+2+2=121-76=45,
·2+2+2的值为45：
(3)9:
(4)3-=(-100+1).
第4页，共8页
20.【答案】解：(1)①2
=:②一=一
=∠
∠-∠=
-L
1
1
即：①∠=∠；
-2
￥∠=∠=90°
=
1
②一=一，，
、=2
又：∠
=∠
1
=2
4△
△
故答案为：①∠
=∠；②一=；
20票
过点作1于，过点作上于，如图：
A
G
B
D
图3
则∠=∠
=90°，
==5,
=6,1,
=
=3,4
=90°，
&=V7-7=V5-3=4,△=号·=×6x4=12,
·=12,
“=12x2=24
△和△
关于点成“友谊三角形”，
∠
=4=12,
又：∠=∠=90°.
△△
第5页，共8页
=治
=12,
故答案为：票
②
上，理由如下：
△
和△
关于点成“友谊三角形”，
∠
=∠
∠
-∠
=∠
-∠
,即上=∠，
=5,
=4,=5,
又：∠
=∠
△
∽△
.∠
=∠
∠
=90°，
∠
=90°，
(3)作法：①延长，在的延长线上截取=：②以为圆心，以的长为半径画弧交于；③
在的上方作∠，使∠=∠：④作的垂直平分线交于，⑤在射线上截取==
之，连接，则△
即为所求作的三角形，如图所示，
第6页，共8页
Q
E
M
图4
叶
(4)2v10-2:
如图5：
图5
0
C
B
∠
是△
的外角，
∠
=∠
+∠
"∠
=∠
+90°，
+∠
+∠
=∠
+90°，
∠+∠
=90°，
又：∠+∠
=90°，
∠
=∠，
又：∠=∠
A
∽△
4·=
·=2,
当取最小值时，·取最小值，
第7页，共8页
过点作轴的平行线，与矩形
的边交于点，如图：
C B
图6
则上
=180°-∠
=90°，
￥(0,3)、(2,0)，
=3,
=2,
矩形的面积始终是6，
4·=6,
=90°，∠=90°-∠=∠，
△∽△，
=·=号=2，故5长为定值2，取其中点为，则1,3)，连接、、，
在△中，∠=90°，为斜边的中点，
=1,
÷点在以为圆心1为半径的圆周上，
×≥-，
“当点运动到线段
上时，
取最小值，
的最小值为一
的值，
(13),(2,0)
·=√(1-2)2+32=V10,
=√10-1，
÷的最小值为√10-1，此时·=2=2(10-1)=2V10-2,
÷·的最小值为210-2.
故答案为：2√10-2.
第8页，共8页
深圳市2025年初中学业水平考试模拟卷（一）
数学试卷
说明：1. 答题前，请将姓名、考生号、考点、考场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。
2.全卷共8页。考试时间90分钟，满分100分。
3. 作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
出题人：一路颗粒 审题人：一路颗粒 编题日期：2025.4.6 审题日期：2025.4.7
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，，中，负数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列运算正确的是
A.(a+b)²=（a+b）（a-b） B.
C. D.
3.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是( )
A. 样本的平均数是 B.
C. 样本的中位数是 D.
4.如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；第二步，连接分别交于点、；第三步，连接，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，，， ， 交于点 ，，则
A. B. C. D.
7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图所示，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示栏杆宽度忽略不计，其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为 参考数据：，，
A. B. C. D.
8.如图，为矩形边上一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是若同时开始运动，设运动时间为，的面积为已知与的函数图象如图，则下列结论错误的是
A. B.
C. 当时， D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.定义运算“”，规定，其中、为常数，且，，则____．
10.如图，是一个的正方形网格，则______．
11.如图，等边三角形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为 ．
12.如图，在中，，，，点是边上的中点，以点为圆心，的长为半径作弧则图中阴影部分的面积为__________．
13.如图，正方形的边长为，点与原点重合，与反比例函数的图象交于、两点，若的面积为，则的值______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.（7分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______．
用配方法解方程：．
15.本小题分
某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别
成绩分
频数
组
组
组
组
表中_____；
补全频数分布直方图；
计算扇形统计图中“”对应的圆心角度数；
该大学共有人参加竞赛，若成绩在分以上包括分的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
16.本小题分
临近六一，某商店分别用元，元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软蛋玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软蛋玩具枪的进价高元．
求水弹玩具枪和软蛋玩具枪的进价分别是多少元？
这批水弹玩具枪和软蛋玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软蛋玩具枪，此时每张水弹玩具枪的进价上涨了元，购进水弹玩具枪字的数量在第一次的基础上减少了张；软蛋玩具枪的进价不变，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．
17.本小题分
如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
若，直接写出的取值范围．
18. 本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．
求证：直线是的切线；若，，求的半径长及的值．
19.本小题分
【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图可以得到，请解答下列问题：
写出图中所表示的数学等式______；
利用中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______；
【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个数学等式：______．
20.本小题分
综合与实践
【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”例如：如图，在和中，若，，则和关于点成“友谊三角形”．
【特例初探】数学社团的小智同学发现：如图，，，连接、，可得到∽理由如下：
即：__________
__________
又
∽．
根据小智的思路，请完成填空： ， ；
【变式归纳】小慧思考：如果，∽是否还成立？于是她作了进一步探究：如图，在中，，，，和关于点成“友谊三角形”，连接，请你完成以下问题：
；
试判断与的位置关系，并说明理由；
【迁移应用】如图，在中，，点是边上一点，请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图中作，使和关于点成“友谊三角形”，且；【综合提升】
如图，在平面直角坐标系中，已知、是轴上的一动点，以为一边在的右侧构造矩形，且矩形的面积始终是，连接、是线段上一点，且满足，连接，则的最小值为 ．
深圳市2025年初中学业水平考试模拟卷（一） 数学试卷 第 1 页 共 6 页 2025.5
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