山东师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月阶段性检测数学试题

机密★启用前 2025年4月山东师大附中高一阶段性检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2. 欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知平面向量，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4 5. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（ ） A. B. 8 C. 14 D. 6. 在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有个面 B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C. 若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面 D. 若平面内任意条直线和平面平行，则平面平面 10. 已知为虚数单位，则下列结论中不正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 若为复数，则为实数 D. 若为复数，则 11. 在正四棱柱中，，、分别为棱、的中点，点满足，，动点在矩形内部及其边界上运动，且满足，点在棱上，将绕边旋转一周得到几何体，则（ ） A. 以正四棱柱的上下底面的内切圆为底且与正四棱柱等高的圆柱的侧面积，与正四棱柱的外接球的表面积之比为 B. 动点的轨迹长度为 C. 存在，，使得平面 D. 当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______. 13. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则此三棱台的体积是______. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标． 16. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. （1）求四棱锥的体积； （2）判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 17. 在中，在边上，且平分，若，. （1）证明：； （2）求的面积； （3）求的长． 18. 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. （1）求证：平面； （2）已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. （1）求； （2）在中，若，是的中点，，设与相交于点.求的值； （3）若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值. 机密★启用前 2025年4月山东师大附中高一阶段性检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ##0.75 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）， 【16题答案】 【答案】（1） （2） 为直角三角形， 理由：由题意得，，， 从而，即，可得为直角三角形， 所以， 所以 ， 因此几何体的表面积为. 【17题答案】 【答案】（1） 证明：在中，在边上，且平分， 所以,，, 在中，， 在中，， 两式作比值可得，， 化简得. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） 因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一激学4月阶段检测效向细目及难度预估表 意目类 关健能 分 难度 号 型 必备知识 学科素养 力 值 知识板块 孩估 1 单选题 基本几何体 直观想象、 空间想象 5 立体几何 基础 概念 能力 2 单选题 复数运算、欧拉公式 数学运算 计算能力 5 复数 基础 单选题 正弦定理 逻辑推理、 逻辑推理 解三角形 基础 数学运算 能力 单选题 向量垂直 逻辑推理、 逻辑推理 5 平面向量 基础 数学运算 能力 5 单选题 斜二测画法 数学运算、 计算能力 5 立体几何 基础 逻辑推理 6 单选题 向量共线定理、基本 数学运算、 计算能力 平面向量 中等 不等式 逻辑推理 7 单选题 圆台的侧面积 直观想象、 逻辑推理 5 立体几何 中等 逻辑推理 能力 8 单选题 向量共线定理 数学运算、 计算能力 5 平面向量 中等 逻辑推理 9 多选题 几何体、平行 逻辑推理 逻辑推理 6 立体几何 基础 10 多选题 复数运算 数学运算、 计算能力 6 复数 中等 逻辑推理 11 多选题 体积、截面、平行 直观想象、 空间想象 6 立体几何 偏难 数学运算 能力 12 填空题 向量坐标运算 逻辑推理、 逻辑推理 5 平面向量 基础 数学运算 能力 13 填空题 三棱台 直观想象、 空间想象 3 立体几何 中等 数学运算 能力 14 填空题 正弦定理、综合 数学运算、 计算能力 解三角形 偏难 逻辑推理 15 解答题 复数、投影向量 数学运算、 计算能力 13 复数、平面 基础 逻辑推理 向量 16 解答题 棱柱体积、表面积 直观想象、 空间想象 15 立体几何 基础 数学运算 能力 17 解答题 正弦定理、余弦定理 逻辑推理、 逻辑推理 15 解三角形 中等 数学运算 能力 18 解答题 平行的综合 逻辑推理、 空间想象 17 立体几何 中等 数学运算 能力 19 解答题 平面向量应用、最值 数学运算、 逻辑推理 17 解三角形 较难 逻辑推理 能力