精品解析：广西壮族自治区贺州市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季学期学业水平过程性检测八年级试卷 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将符合题意的序号填在题中的括号内．） 1. 设，，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 9. 某校图书馆原有藏书册，经过两次扩增后，现在藏书量达到册，设每次平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示0的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 14. 因式分解：____________． 15. 已知是钝角三角形，且三边长分别为，，，则的面积是____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 三、解答题：（共7小题，满分72分．解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在2025年春晚机器人精彩表演引发人工智能热潮后，某学校对学生进行“对人工智能的了解程度”抽样调查，分为“不了解”、“比较了解”、“了解”、“非常了解”四个等级．每个被调查的学生必须选择并且只能在这四个等级中选择一项，将收集的数据整理并绘制如下两幅统计图，完成下列问题： （1）这次调查共抽取了____________名学生，____________． （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图，“比较了解”所对应的圆心角度数是多少度？ （4）若该校共有学生2000名，请你估计该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有多少人？ 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）在（）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值． 21. 【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 （1）如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． （2）一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 22. 山东潍坊风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，计划第一次购进熊猫和金鱼两种风筝共300个，熊猫风筝进价为20元，售价定为23元，金鱼风筝的进价为30元，售价定为36元． （1）若王大伯将这批风筝全部售完，要求总获利不低于1500元，求王大伯最多购进熊猫风筝多少个？ （2）王大伯第二次购进熊猫风筝的进价不变．由于销量火爆，王大伯决定购进熊猫风筝的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加个，售价比第一次提高m元，最终这批熊猫风筝全部销售完后获利1000元，求m的值． 23. 【综合与探究】 【问题背景】 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________． 【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的． 【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． ①若平面上的点、，则____________； ②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期学业水平过程性检测八年级试卷 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将符合题意的序号填在题中的括号内．） 1. 设，，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，根据得，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义成为解题的关键． 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 故选：C． 4. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程可以得解． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能进行加减运算，故该选项不符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项符合题意． 故选D． 7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系． 先求出该一元二次方程根的判别式，再由时，一元二次方程有两个不等实数根；时，一元二次方程有两个相等实数根；时，一元二次方程无实数根即可得解． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ， 该方程有两个实数根． 故选：． 9. 某校图书馆原有藏书册，经过两次扩增后，现在藏书量达到册，设每次平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据图书馆原有藏书册，每次平均增长率为，则两次增长后藏书量达到，因为现在藏书量达到册，所以可得方程． 【详解】解：设每次平均增长率为， 图书馆原有藏书册， 第一次增长后藏书量达到册， 第二次增长后藏书量达到册， 两次增长后藏书量达到册， ． 故选：B． 10. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示0的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求得，求得点D表示的数为即可． 【详解】解：∵有一个含有角的直角三角板， ∴， ∴， ∴点D表示的数为． 故选：C． 11. 如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识解决问题是关键． 如图：过点D作于点H．利用角平分线的性质定理判断出即可． 【详解】解：如图：过点D作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴． ∴点D到的距离是3． 故选：B． 12. 如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．将实际问题构造出直角三角形解决问题成为解题的关键． 如图：过点C作交于点E，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点C作交于点E，则， 由题意可知：， 所以． 在中，， 由勾股定理得：， ∴学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】由题意得：解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 14. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知是钝角三角形，且三边长分别为，，，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积的求法，求出一边上的高，是解答本题的关键． 如图，作 ，设 ，根据勾股定理得 ，求出，然后求 ，根据三角形的面积计算公式，求出即可； 【详解】解：如图， 作 ，设 ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出点的坐标，进而找到点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点的坐标． 【详解】解：由已知得，点坐标为，且点在直线上，可知点坐标为， 由题意可知，故点坐标为， 同理可求的点坐标为， 故点坐标为， 按照这种方法逐个求解便可发现规律，点坐标为， 故点的坐标为即． 故答案为：． 三、解答题：（共7小题，满分72分．解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的减法运算和解一元二次方程． （1）先将括号里的二次根式化简，再将括号里的二次根式合并即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ，，， ， 代入求根公式，得， ，． 18. 在2025年春晚机器人精彩表演引发人工智能热潮后，某学校对学生进行“对人工智能的了解程度”抽样调查，分为“不了解”、“比较了解”、“了解”、“非常了解”四个等级．每个被调查的学生必须选择并且只能在这四个等级中选择一项，将收集的数据整理并绘制如下两幅统计图，完成下列问题： （1）这次调查共抽取了____________名学生，____________． （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图，“比较了解”所对应的圆心角度数是多少度？ （4）若该校共有学生2000名，请你估计该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有多少人？ 【答案】（1）50，10． （2） 故补全条形统计图如下： （3） （4）800人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用“非常了解”的人数除以其所占的百分比即可求得抽取的学生，然后求出“不了解”所占的百分比即可解答； （2）用抽取的学生数减去其他三个等级求得“了解”的人数，然后补全条形统计图即可； （3）用乘以其所占的百分比即可解答； （4）用学生数乘以“了解”等级所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：这次调查共抽取了，“不了解”所占的百分比为，即． 故答案为：50，10． 【小问2详解】 解：“了解”等级的人数为： 【小问3详解】 解：“比较了解”所对应的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有人． 答：该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有800人. 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值和二次根式的非负性成为解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得：，，， ∴ ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）在（）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值． 【答案】（1）且； （2）． 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （）根据（）中的取值范围确定的值，代入一元二次方程方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案； 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴的取值范围为：且； 【小问2详解】 解：∵， ∴的最大正整数值为， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式． 21. 【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 （1）如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． （2）一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】（1） ∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即， ∴． （2）这个零件符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：这个零件符合要求，理由如下： 在中，根据勾股定理，可得： ， 在中， ∴． ∴是直角三角形，是直角．且 ∴这个零件符合要求． 22. 山东潍坊风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，计划第一次购进熊猫和金鱼两种风筝共300个，熊猫风筝进价为20元，售价定为23元，金鱼风筝的进价为30元，售价定为36元． （1）若王大伯将这批风筝全部售完，要求总获利不低于1500元，求王大伯最多购进熊猫风筝多少个？ （2）王大伯第二次购进熊猫风筝的进价不变．由于销量火爆，王大伯决定购进熊猫风筝的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加个，售价比第一次提高m元，最终这批熊猫风筝全部销售完后获利1000元，求m的值． 【答案】（1）王大伯最多购进熊猫风筝100个 （2）m的值为2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用． （1）设王大伯购进熊猫风筝x个，则购进金鱼风筝个，根据总获利不低于1500元，列出不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据最终这批熊猫风筝全部销售完后获利1000元，列出关于m的一元二次方程，解方程，再取符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：设王大伯购进熊猫风筝x个，则购进金鱼风筝个， 由题意得：， 解得， 所以x的最大值为100， 答：王大伯最多购进熊猫风筝100个； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解方程，得，， 不合题意， 所以， 答：m的值为2． 23. 【综合与探究】 【问题背景】 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________． 【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的． 【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． ①若平面上的点、，则____________； ②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形） 【答案】（1）； （2）如图，由图可得：， 由三角形的三边关系可知：， ∴； （3）①， 最小值为，如图： 【解析】 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）构造三边分别为的三角形，利用三边关系即可得出结果； （3）①根据平面直角坐标系中两点间距离公式进行求解即可； ②将转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：的面积为； （2）略 （3）①∵平面上的点、， ∴； ②的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值， 如图，作关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长度， ∵，， ∴； ∴的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，以及利用坐标与图形，掌握数形结合的思想，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $