考前猜想02 函数的概念与基本初等函数五种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想02 函数的概念与基本初等函数五种考法 一、题型方法归纳 1.函数的概念 模型一：待定系数法求函数解析式 适用条件：已知函数解析式的类型 步骤如下： 第一步：先设出 第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式 第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数. 模型二：换元法求函数解析式 适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：令，解出且注意新元的取值范围 第二步：然后代入中即可求得 第三步：从而求得. 模型三：配凑法求函数解析式 适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：将等号右边先出现 第二步：将题干等号右边形式变形成的形式. 第三步：从而求得的解析式. 模型四：方程组法求函数解析式 适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式 步骤如下： 第一步：将原式抄写一遍，如 第二步：将交换，再写一遍. 第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式. 模型五：抽象函数求函数解析式 适用条件：已知：括号中既有又有时 步骤如下： 第一步：令或（令字母出现次数少的为） 第二步：代入出现或形式且求出 第三步：从而求得的解析式. 模型六：分段函数求函数解析式 适用条件：已知的解析式求的解析式. 步骤如下： 第一步：明确函数的奇偶性 第二步：，代入已知函数解析式 第三步：利用奇偶性从而求得的解析式. 2.指 对 幂 函 数 及 函 数 的 基 本 性 质 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3.函数图像的应用 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 判断单调性：可取特殊值判断单调性． （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 4.函数性质的综合应用 （1）单调性 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 复合函数的单调性 （2）奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 （3）周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） （4）对称性（和为常数有对称轴） （5）轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 （6）点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 （7）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （8）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 5.函数与方程 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点． （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 二、重难点例题及变式 类型一、函数的概念 例．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，函数的定义域为， 所以，即函数的定义域为， 所以在函数中有，解得， 所以的定义域为， 故选：A. （2）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，由可得，，故A错误； 对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【变式训练1】函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使得函数有意义，则，即，解得 所以函数的定义域为. 故选：B 【变式训练2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：C. 类型二、指 对 幂 函 数 及 函 数 的 基 本 性 质 例．（1）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【解析】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 （2）设，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 【变式训练1】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式训练2】设，，．则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. 类型三、函数图像的应用 例．（1）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B （2）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,，其定义域为，有， 则函数为奇函数，不符合题意，故A错误； 对于B，，其定义域为， 有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误； 对于C，，在区间上，，不符合题意，故C错误. 对于D，，则为偶函数， 且在区间上，，符合题意，故D正确. 故选：D. 【变式训练1】函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 且 . 所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误； 又， 而，即，所以，所以，故C错误. B符合函数的性质. 故选：B 【变式训练2】已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为， 所以，，， 而， 即，，所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为，所以，，， 显然，，所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为，所以，， 显然，，所以在上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为定义域为， 当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增； 当时，，在上单调递增且， 在上单调递减， 当时，当时，符合题意， 结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确. 故选：C. 类型四、函数性质的综合应用 例．（1）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. （2）（多选）已知函数的定义域为为奇函数，，则（  ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【解析】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：D. 【变式训练1】已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（  ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由已知为偶函数，所以，又， 所以，所以， 所以函数是周期为2的周期函数， 结合时，， 故， 故选：B. 【变式训练2】（多选）已知函数的定义域为，且，则（  ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【解析】令，则，即. A正确. 令，则. 令，则，则. 故. B正确. 是非奇非偶函数. C不正确. 是偶函数. D正确. 故选：ABD. 类型五、函数与方程 例．（1）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：5 （2）已知函数若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，即，所以. 由图像可得，设，. 则，.令,则 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增. 所以在时取得最小值， 可得. 故选：B 【变式训练1】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则，解得. 故选：D 【变式训练2】（多选）已知函数，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 三、考前突破练 1．若为偶函数，则（  ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B 2．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以； 又因为，则， 即，所以，即； 所以． 故选：A． 3．设函数，则使得成立的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 4．已知函数的定义域为R，且，则（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 5．已知函数，则图象为下图的函数可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数， 对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数此时函数为奇函数， 又由，当时，，此时函数在区间单调递增， 而图象中先增后减，所以C不符合题意. 故选：D. 6.设函数则满足的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 ， 设，显然定义域为，， 又， 所以为上的奇函数， 又， 所以在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故选：C． 7.（多选）已知函数的定义域为，且，时，，，则（  ） A． B．函数在区间单调递增 C．函数是奇函数 D．函数的一个解析式为 【答案】ABD 【解析】A项：因为， 当时，，令， 则，解得，A正确； B项：任取：， 则， 因为当时，， 所以，， 所以，即， 所以函数在区间单调递增，B正确； C项：令，则， 解得或，当，且时，令， 则， 若为奇函数，则，即， 解得，与题意矛盾； 当时不为奇函数． 综上所述，函数不是奇函数，C错误； D项：当， 则， ， 所以，易得在上单调递增， 所以时，，， 故函数的一个解析式为，D正确． 故选 :ABD 8．（多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（  ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【解析】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 9．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 【答案】答案不唯一 【解析】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数， 又因为在上是减函数且， 所以满足条件的一个函数可取， 故答案为：(答案不唯一) 10．已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，， 所以在上单调递增， 当时，，， 则当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则. 所以的大致图象如图所示. 令，则方程可转化为； 结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点， 当或时，函数与函数有两个交点， 当或时，函数与函数有一个交点； 若关于的方程有5个不同的实数根， 则方程有两个不相等的实根，且满足，或； 若可得，解得； 经检验当时，方程即为， 解得，符合题意； 若方程有两个不相等的实根需满足，, 故，即，解得 综上可知，实数的取值范围为或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前猜想02 函数的概念与基本初等函数五种考法 一、题型方法归纳 1.函数的概念 模型一：待定系数法求函数解析式 适用条件：已知函数解析式的类型 步骤如下： 第一步：先设出 第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式 第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数. 模型二：换元法求函数解析式 适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：令，解出且注意新元的取值范围 第二步：然后代入中即可求得 第三步：从而求得. 模型三：配凑法求函数解析式 适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：将等号右边先出现 第二步：将题干等号右边形式变形成的形式. 第三步：从而求得的解析式. 模型四：方程组法求函数解析式 适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式 步骤如下： 第一步：将原式抄写一遍，如 第二步：将交换，再写一遍. 第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式. 模型五：抽象函数求函数解析式 适用条件：已知：括号中既有又有时 步骤如下： 第一步：令或（令字母出现次数少的为） 第二步：代入出现或形式且求出 第三步：从而求得的解析式. 模型六：分段函数求函数解析式 适用条件：已知的解析式求的解析式. 步骤如下： 第一步：明确函数的奇偶性 第二步：，代入已知函数解析式 第三步：利用奇偶性从而求得的解析式. 2.指 对 幂 函 数 及 函 数 的 基 本 性 质 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3.函数图像的应用 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 判断单调性：可取特殊值判断单调性． （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 4.函数性质的综合应用 （1）单调性 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 复合函数的单调性 （2）奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 （3）周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） （4）对称性（和为常数有对称轴） （5）轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 （6）点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 （7）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （8）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 5.函数与方程 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点． （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 二、重难点例题及变式 类型一、函数的概念 例．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 类型二、指 对 幂 函 数 及 函 数 的 基 本 性 质 例．（1）已知函数是偶函数，则 . （2）设，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】设，，．则（  ） A． B． C． D． 类型三、函数图像的应用 例．（1）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（  ）    A． B． C． D． （2）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（  ） A． B． C． D． 类型四、函数性质的综合应用 例．（1）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（  ） A． B． C． D． （2）（多选）已知函数的定义域为为奇函数，，则（  ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【变式训练1】已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（  ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练2】（多选）已知函数的定义域为，且，则（  ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 类型五、函数与方程 例．（1）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． （2）已知函数若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知函数，且，则（  ） A． B． C． D． 三、考前突破练 1．若为偶函数，则（  ） A． B．0 C． D．1 2．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 3．设函数，则使得成立的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为R，且，则（  ） A． B． C．0 D．1 5．已知函数，则图象为下图的函数可能是（  ） A． B． C． D． 6.设函数则满足的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）已知函数的定义域为，且，时，，，则（  ） A． B．函数在区间单调递增 C．函数是奇函数 D．函数的一个解析式为 8．（多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（  ） A．2 B．8 C．16 D．32 9．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 10．已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$