第四章 §4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 辅助角公式的应用 2024·全国甲卷 2022·北京卷 2021·全国乙卷 结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。 考点2 三角函数的伸缩平移变换 2023·全国甲卷 2022·天津卷 2022·浙江卷 2022·全国甲卷 2021·全国乙卷 【知识梳理】 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 【名师点拨】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π B.2 C.2－ D.2，4π，－ 3.将函数f(x)＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝　　　　　　.  4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记下列常用结论 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. (2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值. (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.谨防两个易误点 (1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度. (2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系. 【必练核心题型】 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 【典例】1.(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【典例】2.(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 【变式训练】 变式1.(多选)要得到y＝sin x的图象，可以将函数y＝sin的图象上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍 C.横坐标缩短到原来的再把所得各点向右平移个单位长度 D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度 变式2.将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【典例】1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)＝3sin＋1 B.f(x)＝2sin＋2 C.f(x)＝2sin＋2 D.f(x)＝2sin＋2 【典例】(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝则f(π)＝　　　　.  【变式训练】 变式1.(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 变式2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则f(x)＝　　　　　　　　.  题型三　三角函数图象、性质的综合应用 【典例】1.如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. 【典例】2.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】 变式1.已知函数f(x)＝cosx∈若方程f(x)＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 变式2.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为　　　　　　　　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.用“五点法”作y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为(　　) A.(0，1)(π，－1)(2π，1) B.(0，1)(π，－3)(2π，1) C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1) D.(0，1) 2.将函数f(x)＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是(　　) A. B.π C.2π D.4π 3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·广州模拟)如图，直线y＝1与函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC＝π，CD＝2π，则f(x)等于(　　) A.2sin B.2sin C.sin D.sin 6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　) A.－ B.－1 C.－2 D.0 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(0)＝－1 B.函数f(x)的最小正周期是2π C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝　　　　.  10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM＝BP＝2 m，则点P距离地面的高度h为　　　　　　m.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分) (3)函数f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分) 12.(14分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，－2). (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6分) (2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)＝－求sin 2θ的值.(8分) 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y＝g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则(　　) A.ω＝2 B.g(x)的图象关于直线x＝－对称 C.g(x)的图象关于点对称 D.若f(π)＝－2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为 14.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 辅助角公式的应用 2024·全国甲卷 2022·北京卷 2021·全国乙卷 结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。 考点2 三角函数的伸缩平移变换 2023·全国甲卷 2022·天津卷 2022·浙江卷 2022·全国甲卷 2021·全国乙卷 【知识梳理】 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 【名师点拨】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 【解析】(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等. 2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π B.2 C.2－ D.2，4π，－ 【答案】C 【解析】由题意知A＝2，f＝ 初相为－. 3.将函数f(x)＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝　　　　　　.  【答案】3sin 【解析】g(x)＝f＝3sin ＝3sin. 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是　　　　　　.  【答案】(4，2) 【解析】由题图可知，A＝2， T＝2所以ω＝4，点(ω，A)的坐标是(4，2). 【名师点拨】 1.熟记下列常用结论 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. (2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值. (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.谨防两个易误点 (1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度. (2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系. 【必练核心题型】 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 【典例】1.(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【解析】正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误. 【典例】2.(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 【答案】D 【解析】将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y＝2sin的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝k∈Z，当k＝3时，m＝. 【解题技巧】 函数图象的平移变换解题策略 (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数. (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝coscos α＝sin将不同名函数转换成同名函数. (3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. 【变式训练】 变式1.(多选)要得到y＝sin x的图象，可以将函数y＝sin的图象上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍 C.横坐标缩短到原来的再把所得各点向右平移个单位长度 D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度 【答案】BD 【解析】要想得到y＝sin x的图象，y＝sin的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；将y＝sin的图象上所有点先向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin 2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，B正确；将y＝sin的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin的图象，再把所得各点向左平移个单位长度，得到y＝sin x的图象，D正确. 变式2.将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝. 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【典例】1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)＝3sin＋1 B.f(x)＝2sin＋2 C.f(x)＝2sin＋2 D.f(x)＝2sin＋2 【答案】D 【解析】根据题中图象知 所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π， 所以ω＝＝2， 又函数图象经过最高点 代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin＝1， 因为|φ|<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin＋2. 【典例】(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝则f(π)＝　　　　.  【答案】－ 【解析】设AB 由|AB|＝可得x2－x1＝ 由sin x＝可知， x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝ 即ω(x2－x1)＝所以ω＝4. 因为f(x)＝sin(4x＋φ)， 又f(x)过点所以＋φ＝2kπ，k∈Z， 即φ＝－＋2kπ，k∈Z. 取φ＝－所以f(x)＝sin 所以f(π)＝sin＝－. 【解题技巧】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 【变式训练】 变式1.(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 【答案】C 【解析】根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2T＝×解得ω＝2，再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝ 故y＝2sin. 变式2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则f(x)＝　　　　　　　　.  【答案】sin 【解析】由题知，函数f(x)的最小正周期T满足＝xM－xP＝－1＝解得T＝6， 所以ω＝ 由图象与x轴的交点M得×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 因为|φ|<所以φ＝ 即f(x)＝Asin 所以f(x)的图象与y轴的交点为N 因为NM⊥NP，所以··＝0， 解得A＝－(舍去)或A＝ 所以f(x)＝sin. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 【典例】1.如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. 【答案】C 【解析】设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h， 依题意，A＝20，h＝25，T＝10，所以ω＝ 又f(0)＝5，所以φ＝－. 所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t. 依题意25－20cos t≥35， 所以cos t≤－ 又0≤t≤10，解得≤t≤ 则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果. 【典例】2.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x， 所以f(x)＝－sin 2x， 而直线y＝x－显然过与(1，0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－2x＝2x＝ 即x＝－x＝x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f ＝－sin＝－1， y＝×＝－<－1； 当x＝时，f ＝－sin＝1， y＝×<1； 当x＝时，f ＝－sin＝1， y＝×>1. 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 【解题技巧】 (1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解. (2)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 【变式训练】 变式1.已知函数f(x)＝cosx∈若方程f(x)＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为x∈ 所以令t＝2x－则t∈ 方程f(x)＝m有两个不相等的实数根等价于函数y＝cos t的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝cos t的图象与直线y＝m的位置如图所示， 由图可得实数m的取值范围是≤m<1. 变式2.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为　　　　　　　　　　　.  【答案】y＝sin＋6(答案不唯一) 【解析】设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得A＝1，B＝6，T＝4， 因为T＝所以ω＝ 所以y＝sin＋6. 因为当x＝1时，y＝6， 所以6＝sin＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取φ＝－ 所以y＝sin＋6. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.用“五点法”作y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为(　　) A.(0，1)(π，－1)(2π，1) B.(0，1)(π，－3)(2π，1) C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1) D.(0，1) 【答案】B 【解析】∵y＝2cos x－1，∴最小正周期T＝2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0π2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)(π，－3)(2π，1)，故B正确. 2.将函数f(x)＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是(　　) A. B.π C.2π D.4π 【答案】B 【解析】方法1　由题意得g(x)＝cos＝cos所以T＝＝π. 方法2　原函数f(x)＝cos的最小正周期为将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为×2＝π. 3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】因为函数y＝sin x的最小正周期 T＝2π， 函数y＝2sin的最小正周期T1＝ 所以在[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 4.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合， 则f(m)＝sin＝g(0)＝1， 即2m＋＋2kπ，k∈Z， 解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为. 5.(2025·广州模拟)如图，直线y＝1与函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC＝π，CD＝2π，则f(x)等于(　　) A.2sin B.2sin C.sin D.sin 【答案】A 【解析】方法1　因为BC＝π，CD＝2π， 所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝ 即最小正周期T＝3π， 所以ω＝ 又因为点在f(x)的图象上， 所以Asin＝0， 即sin＝0， 结合图象可知φ－＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<所以φ＝. 易知点C的横坐标为－ 则C 所以Asin＝1，则A＝2， 所以f(x)＝2sin. 方法2　因为BC＝π，CD＝2π，所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝即最小正周期T＝3π，所以ω＝排除B，D； 当x＝0时，代入f(x)＝2sin可得f(0)＝>1，满足题意，代入f(x)＝sin可得f(0)＝×＝1，不符合题意，故A正确，C错误. 6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　) A.－ B.－1 C.－2 D.0 【答案】B 【解析】∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，∴A＝2， 又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为 ∴∴ω＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ). 又f(x)的图象关于点对称， ∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|<∴φ＝ ∴f(x)＝2sin 又x∈∴2x＋∈ ∴f(x)＝2sin的值域为[－1，2]. ∴f(x)在区间上的最小值为－1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【答案】ACD 【解析】A中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，A正确； B中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，B不正确； C中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，C正确； D中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，D正确. 8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(0)＝－1 B.函数f(x)的最小正周期是2π C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象可得A＝2×解得ω＝2， 又f ＝－2，可得2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|≤解得φ＝－ 所以f(x)＝2sin可得f(0)＝2sin＝－1，故A正确； 可得f(x)的最小正周期为＝π，故B不正确； 令x＝则f ＝2sin＝2，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y＝2sin的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝　　　　.  【答案】 【解析】将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象， 因为函数g(x)是奇函数， 所以g(0)＝sin＝0， 则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝k∈Z， 因为0<φ<所以φ＝. 10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM＝BP＝2 m，则点P距离地面的高度h为　　　　　　m.  【答案】20 【解析】以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示， 设点B的方程为y＝Asin(ωt＋φ)＋k， 依题意得解得 又因为T＝12＝ 所以ω＝此时y＝40sin＋42， 又当t＝0时，y＝2， 所以40sin φ＋42＝2，sin φ＝－1，φ＝－ 所以y＝40sin＋42＝－40cos t＋42， 所以当t＝10时，y＝－40cos＋42＝22， 所以点P距离地面的高度h＝22－2＝20(m). 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分) (3)函数f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分) 【解析】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋k∈Z， 即φ＝2kπ＋k∈Z， 因为－<φ<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin. (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象如图所示， (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 12.(14分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，－2). (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6分) (2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)＝－求sin 2θ的值.(8分) 【解析】(1)由已知可得A＝2， 由f(1)＝2sin＝－2， 可得sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 因为0≤φ<π，则φ＝ 故f(x)＝2sin g(x)＝－f(x)＝－2sin. (2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得函数h(x)的图象，则 h(x)＝2sin＝2cos 2x， 因为h(θ)＝2cos 2θ＝－则cos 2θ＝－ 因为0<θ<则0<2θ<π， 故sin 2θ＝. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y＝g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则(　　) A.ω＝2 B.g(x)的图象关于直线x＝－对称 C.g(x)的图象关于点对称 D.若f(π)＝－2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为 【答案】BCD 【解析】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝当k＝1时，φ＝ 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝Asin的图象， 由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T＝4π＝解得ω＝1，故A错误； 所以函数f(x)＝Asin(x＋φ)＝Acos x或f(x)＝－Acos x， g(x)＝Asin＝Acos或g(x)＝－Acos 当x＝－时，g＝±A，故B正确； 当x＝时，g＝0，故函数g(x)的图象关于点对称，故C正确； 当f(π)＝－2时，A＝－2或A＝2， 故f(x)＝2cos x， 故g(x)＝2cos当x∈[0，π]时x＋∈函数在该区间上单调递减，故函数的最大值为g(0)＝2× 故g(x)在[0，π]上的最大值为故D正确. 14.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　　　　　.  【答案】 【解析】因为点M，N关于点C对称， 所以xC＝× 函数f(x)的最小正周期T满足解得T＝π， 即＝π，所以ω＝2.由图象可得f(x)的最大值点为 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 结合0<φ<π，取k＝0得φ＝ 则f(x)＝sin. 因此可得OM＝f(0)＝sin 所以圆C的半径r＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$