第四章 §4.4　简单的三角恒等变换（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.4　简单的三角恒等变换 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 二倍角公式的应用 2024·上海卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·北京卷 2022·浙江卷 2021·北京卷 2021·全国乙卷 能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考。 【知识梳理】 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.  (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2.半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 3.积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 4.和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sincos； (2)sin θ－sin φ＝2cossin； (3)cos θ＋cos φ＝2coscos； (4)cos θ－cos φ＝－2sinsin. 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　 　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　 　) (3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. (　 　) (4)cos2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin2. (　 　) 【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.cos2－cos2等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为cos ＝sin＝sin 所以cos2－cos2＝cos2－sin2 ＝cos . 3.若α为第二象限角，sin α＝则sin 2α＝　　　　　　.  【答案】－ 【解析】因为α为第二象限角，sin α＝ 所以cos α＝－＝－＝－ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－. 4.已知tan 2α＝－α∈则tan α＝　　　　　　.  【答案】2 【解析】由tan 2α＝＝－ 得2tan2α－3tan α－2＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－(舍去). 【名师点拨】 1.熟记常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式) (2)1±sin α＝.(升幂公式) (3)sin2α＝cos2α＝ tan2α＝.(降幂公式) (4)半角正切公式的有理化 tan. (5)万能公式 sin α＝cos α＝ tan α＝. (6)三角平方差公式 sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β). 2.运用倍角公式时谨记四个注意点 (1)要注意公式成立的条件； (2)要注意和、差、倍角的相对性； (3)要注意升幂、降幂的灵活运用； (4)要注意“1”的各种变形. 【必练核心题型】 题型一　三角函数式的化简 【典例】1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】C 【解析】原式＝－sin2α ＝1－－sin2α ＝1－cos 2αcos －sin2α ＝1－. 【典例】2.化简：＝　　　　.  【答案】sin 4α 【解析】 ＝2cos2α(－cos 2α) ＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α ＝sin 2αcos 2α＝sin 4α. 【解题技巧】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 【变式训练】 变式1.化简的结果是(　　) A. B.tan 2α C. D.tan α 【答案】B 【解析】原式＝＝tan 2α. 变式2.若<α<2π，化简：＝　　　　　　.  【答案】－cos 【解析】因为<α<2π，所以<<π，所以cos α>0，cos <0. ＝ ＝ ＝＝－cos . 题型二　三角函数式的求值 命题点1　给角求值 【典例】1.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　　　　.  【答案】 【解析】 ＝ ＝ ＝. 命题点2　给值求值 【典例】2.已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】C 【解析】方法一　因为cos 所以sin＝sin ＝cos＝2cos2－1 ＝2×－1＝－. 方法二　(换元法) 令t＝＋α，则α＝t－cos t＝ 所以sin＝sin ＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－. 命题点3　给值求角 【典例】2.已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　　　　.  【答案】 【解析】因为sin α＝且α为锐角， 所以cos α＝ 因为cos β＝且β为锐角， 所以sin β＝ 则sin 2β＝2sin βcos β＝2×× cos 2β＝1－2sin2β＝1－2× 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×× 因为α∈β∈所以2β∈(0，π). 所以α＋2β∈故α＋2β＝. 【解题技巧】 (1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. (2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； ②若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好. 【变式训练】 变式1.(2025·成都模拟)已知α是第一象限角，满足cos＝－则cos 2α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】B 【解析】因为α是第一象限角，且cos＝－<0，则＋α为第二象限角， 所以sin 由题意可得， cos 2α＝cos ＝sin 2＝2sincos ＝－. 变式2.已知α为锐角，1＋则α＝　　　　　.  【答案】50° 【解析】因为1＋ ＝ ＝ 所以sin α＝sin 50°， 又因为α为锐角，所以α＝50°. 题型三　三角恒等变换的综合应用 【典例】1.已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值为　　　　　　.  【答案】－ 【解析】f(x)＝sin 2x－·sin 2x－cos 2x＝sin. 因为f  所以sin所以sin sin 2α＝sin＝cos 2 ＝1－2sin2＝1－2×＝－. 【解题技巧】 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. (2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 【变式训练】 变式1.已知f(x)＝sin xsin则f(x)的值域为　　　　　　.  【答案】 【解析】因为f(x)＝sin xsin ＝sin x ＝sin2x＋sin xcos x－ ＝×sin 2x－ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin 所以－≤f(x)≤. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·大连模拟)设θ∈若cos θ＝则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为θ∈cos θ＝ 所以sin θ＝ 则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××. 2.的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 【答案】B 【解析】原式＝＝2. 3.化简等于(　　) A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α 【答案】A 【解析】原式＝ ＝ ＝＝1. 4.已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【答案】B 【解析】∵cos 可得sin＝－cos ＝－cos＝1－2cos2 ＝1－2×. 5.若θ∈tan 2θ＝则cos θ等于(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】B 【解析】因为tan 2θ＝θ∈ 所以4sin θ－2sin2θ＝3－6sin2θ， 即4sin2θ＋4sin θ－3＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 又因为θ∈ 所以cos θ＝－＝－. 6.已知<θ<若a＝b＝cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 【答案】C 【解析】a＝＝sin θcos θ， b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ， c＝－cos θ＝＝sin θtan θ， 又<θ<则sin θ∈ 且tan θ>1>sin θ>>cos θ> 所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是(　　) A.2sin 15°cos 15° B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42° C.2cos215°－1 D. 【答案】ABD 【解析】根据题意，可得 sin＝sin＝sin . 因为2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝故A项正确； 因为cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝故B项正确； 因为2cos215°－1＝cos 30°＝故C项不正确； 因为＝tan 45°＝1，所以故D项正确. 8.已知函数f(x)＝sin2若a＝f(lg 5)，b＝f则(　　) A.a＋b＝0 B.a－b＝0 C.a＋b＝1 D.a－b＝sin(2lg 5) 【答案】CD 【解析】由题意可得f(x)＝sin2 ＝. 因为a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)， 所以a＋b＝＝1， a－b＝＝sin(2lg 5). 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知sin则sin 2α＝　　　　　.  【答案】 【解析】sin＝－sin 所以sin＝－ 所以sin 2α＝cos ＝cos 2＝1－2sin2 ＝1－2×. 10.已知α，β均为锐角，cos α＝sin β＝则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.  【答案】　 【解析】因为cos α＝ 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝ 所以sin α＝cos β＝ 因此sin 2α＝2sin αcos α＝ 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝××. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α< 又β为锐角，所以－<2α－β< 又sin(2α－β)＝所以2α－β＝. 四、解答题(共28分) 11.(13分)化简： (1)；(6分) (2).(7分) 【解析】 (1)原式＝ ＝· ＝·. (2)原式＝ ＝ ＝cos 2x. 12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD. (1)求扇形空地的面积；(4分) (2)求矩形场地CDEF的最大面积.(11分) 【解析】 (1)扇形空地面积S＝×6002× ＝120 000π(m2). (2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF， 设∠FOG＝α， 则EF＝2OFsin α， CF＝MN＝OM－ON＝OM－ ＝OFcos α－. 所以矩形面积S1＝EF·CF ＝2OFsin α· ＝6002× ＝6002× ＝360 000 ＝360 000. 所以当α＝30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，且最大值为120 000 m2. 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(　　) A.∈{x1，x2} B.x2＝2x1 C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝ 【答案】C 【解析】A，B选项，令f(x)＝0得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝cos(π＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝k1∈Z或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1时，解得x1＝x2＝A，B错误； C选项，cos x1＋cos x2＝cos＋cos＝2coscos ＝C正确； D选项，因为cos>0，cos<0，所以cos x1cos x2＝coscos<0，D错误. 14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝___(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　　　.  【答案】3sin α－4sin3α　 【解析】sin 3α＝sin(2α＋α) ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α ＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α ＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α ＝3sin α－4sin3α， 因为sin 72°＝sin 108°， 从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°， 即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)， 令cos 36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0， 解得x＝或x＝(舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.4　简单的三角恒等变换 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 二倍角公式的应用 2024·上海卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·北京卷 2022·浙江卷 2021·北京卷 2021·全国乙卷 能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考。 【知识梳理】 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.  (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2.半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 3.积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 4.和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sincos； (2)sin θ－sin φ＝2cossin； (3)cos θ＋cos φ＝2coscos； (4)cos θ－cos φ＝－2sinsin. 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　 　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　 　) (3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. (　 　) (4)cos2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin2. (　 　) 2.cos2－cos2等于(　　) A. B. C. D. 3.若α为第二象限角，sin α＝则sin 2α＝　　　　　　.  4.已知tan 2α＝－α∈则tan α＝　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式) (2)1±sin α＝.(升幂公式) (3)sin2α＝cos2α＝ tan2α＝.(降幂公式) (4)半角正切公式的有理化 tan. (5)万能公式 sin α＝cos α＝ tan α＝. (6)三角平方差公式 sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β). 2.运用倍角公式时谨记四个注意点 (1)要注意公式成立的条件； (2)要注意和、差、倍角的相对性； (3)要注意升幂、降幂的灵活运用； (4)要注意“1”的各种变形. 【必练核心题型】 题型一　三角函数式的化简 【典例】1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 【典例】2.化简：＝　　　　.  【变式训练】 变式1.化简的结果是(　　) A. B.tan 2α C. D.tan α 变式2.若<α<2π，化简：＝　　　　　　.  题型二　三角函数式的求值 命题点1　给角求值 【典例】1.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　　　　.  命题点2　给值求值 【典例】2.已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 命题点3　给值求角 【典例】2.已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　　　　.  【变式训练】 变式1.(2025·成都模拟)已知α是第一象限角，满足cos＝－则cos 2α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 变式2.已知α为锐角，1＋则α＝　　　　　.  题型三　三角恒等变换的综合应用 【典例】1.已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值为　　　　　　.  【变式训练】 变式1.已知f(x)＝sin xsin则f(x)的值域为　　　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·大连模拟)设θ∈若cos θ＝则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D. 2.的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 3.化简等于(　　) A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α 4.已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 5.若θ∈tan 2θ＝则cos θ等于(　　) A.－ B.－ C. D. 6.已知<θ<若a＝b＝cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是(　　) A.2sin 15°cos 15° B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42° C.2cos215°－1 D. 8.已知函数f(x)＝sin2若a＝f(lg 5)，b＝f则(　　) A.a＋b＝0 B.a－b＝0 C.a＋b＝1 D.a－b＝sin(2lg 5) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知sin则sin 2α＝　　　　　.  10.已知α，β均为锐角，cos α＝sin β＝则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)化简： (1)；(6分) (2).(7分) 12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD. (1)求扇形空地的面积；(4分) (2)求矩形场地CDEF的最大面积.(11分) 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(　　) A.∈{x1，x2} B.x2＝2x1 C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝ 14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝___(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$