第四章 §4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅰ卷 2022·全国新Ⅱ卷 该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考。 【知识梳理】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2.辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 【名师点拨】 1.两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， tan2α＝. 3.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　) 【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 【解析】(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z). 2.sincos的值为(　　) A.0 B.－ C.2 D. 【答案】B 【解析】sincos＝2 ＝2sin＝2sin＝－. 3.若2cos α－sin α＝0，则tan等于(　　) A.－ B. C.－3 D.3 【答案】B 【解析】因为2cos α－sin α＝0， 则sin α＝2cos α，故tan α＝2， 因此，tan. 4.若tan α＝tan(α＋β)＝则tan β＝　　　　　　.  【答案】 【解析】tan β＝tan[(α＋β)－α]＝. 【名师点拨】 1.熟记两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). (4)tan αtan β＝1－－1. 2.谨防两个易误点 (1)运用公式时要注意公式成立的条件； (2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一. 【必练核心题型】 题型一　两角和与差的三角函数公式 【典例】1.若＝3，则tan等于(　　) A.－3 B.－ C. D.3 【答案】C 【解析】由题意，得＝3，所以tan α＝－ 则tan. 【典例】2.若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】D 【解析】因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)， 所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)， 即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α， 所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α， 即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α， 所以tan α＝ ＝＝－. 【解题技巧】 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 【变式训练】 变式1.已知sin(α－β)＝cos αsin β＝则sin(α＋β)等于(　　) A. B. C.－ D.－ 【答案】A 【解析】因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ 而cos αsin β＝ 因此sin αcos β＝ 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝. 变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 【答案】A 【解析】由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m. ① 由tan αtan β＝2得＝2， ② 由①②得 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m. 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】C 【解析】f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝sin φ＝cos φ＝ ∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z， ∴cos＝cos ＝cos＝cos cos φ＋sin sin φ ＝－××. 【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　　　　.  【答案】 【解析】因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝ 故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°， 所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30° ＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30° ＝2tan 30°＝. 【解题技巧】 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)对asin x＋bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值. 【变式训练】 变式1.若sin α＋cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝　　　　　　.  【答案】 【解析】因为sin α＋cos α＝2sin＝1， 所以sin 又α∈(0，π)，所以α＋∈ 所以α＋所以α＝. 变式2.若α＋β＝－则(1＋tan α)(1＋tan β)＝　　　　　　.  【答案】2 【解析】tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. 题型三　角的变换问题 【典例】1.已知sinα∈则cos α等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由α∈得α＋∈ 则cos＝－＝－ cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－××. 【典例】2.已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为α∈β∈sin(α＋β)＝>0，cos β＝所以α＋β∈ 则sin β＝ cos(α＋β)＝－＝－ 所以sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝××. 【解题技巧】 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等. 【变式训练】 变式1.已知α，β∈若sincos则sin(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得α＋∈β－∈ 所以cos＝－sin＝－ 所以sin(α－β)＝－sin＝－××. 变式2.已知θ∈且sin则tan θ等于(　　) A.7 B. C. D. 【答案】A 【解析】因为θ∈所以θ＋∈ 又sin 所以cos＝－则tan＝－ 所以tan θ＝tan ＝＝7. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于(　　) A. B. C.－ D.－ 【答案】D 【解析】原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－. 2.已知α为锐角，且sin＝sin则tan α等于(　　) A. B.2＋ C. D. 【答案】B 【解析】因为sin＝sin所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋. 3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于(　　) A.－m) B.m＋ C.(m＋) D.m＋ 【答案】C 【解析】因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝ 所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝(sin 18°＋cos 18°)＝(m＋). 4.已知sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝则cos(α－β)的值等于(　　) A.－ B.－ C.－ D. 【答案】C 【解析】sin α＋sin β＝⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ① cos α＋cos β＝⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝ ② ①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝⇒cos(α－β)＝×＝－. 5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 【答案】B 【解析】由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5， 且tan(α＋β)tan(α－β)＝6， 则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝1. 6.定义运算＝ad－bc，若cos α＝0<β<α<则β等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得， sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝. ∵0<β<α<∴0<α－β< ∴cos(α－β)＝. 又∵cos α＝∴sin α＝ sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×× ∴β＝. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列等式成立的有(　　) A.tan 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 【答案】BC 【解析】对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－故A错误； 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确； 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确； 对于Dsin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝故D错误. 8.下列结论正确的是(　　) A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ) B.sin x＋cos x＝sin C.f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2 D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 【答案】AD 【解析】对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正确； 对于Bsin x＋cos x＝2 ＝2sin故B错误； 对于C，f(x)＝sin ＋cos sin所以f(x)的最大值为故C错误； 对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知sinα∈则cos 的值为　　　　.  【答案】－ 【解析】由已知得cos α＝sin α＝－ 所以coscos α＋sin α＝－. 10.在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan Atan B＝则C＝　　　　　　.  【答案】120° 【解析】由题意可知tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)， 所以tan(A＋B)＝ ＝ 因为0°<A＋B<180°，所以A＋B＝60°， 故C＝180°－(A＋B)＝120°. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知sin(α－β)＝sin(α＋β)＝. (1)证明：tan α＋5tan β＝0；(6分) (2)计算的值.(7分) (1)证明　方法一　由条件sin(α－β)＝ sin(α＋β)＝ 得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)， 即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β， 整理得sin αcos β＝－5cos αsin β， 也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. 方法二　由条件sin(α－β)＝sin(α＋β)＝ 即sin αcos β－cos αsin β＝ sin αcos β＋cos αsin β＝ 得sin αcos β＝cos αsin β＝－ 从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. (2)【解析】由于tan(α－β)＝⇒tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， 所以 ＝ ＝ ＝－. 12.(15分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝点B的横坐标是－. (1)求cos(α－β)的值；(7分) (2)求2α－β的值.(8分) 【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1， 点A(cos α，sin α)，则有 S△OAM＝|OA|·|OM|·sin α＝ 解得sin α＝ 又α为锐角，则cos α＝ 因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－ 则cos β＝－sin β＝ 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝××＝－. (2)由(1)知sin α＝cos α＝sin β＝cos β＝－ 则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝××＝－ 从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)] ＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β) ＝××＝－ 因为α为锐角，sin α＝> 则有α∈即2α∈ 又β∈因此2α－β∈ 所以2α－β＝－. 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.(2024·吕梁模拟)的值为(　　) A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】＝4. 14.已知sin＝sin β，sin α＋cos α＝sin β＋cos β＝则cos(α－β)＝　　　　　　.  【答案】 【解析】因为sin＝sin β， 所以cos α＝sin β， 所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝ 所以 两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋ 所以cos(α－β)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅰ卷 2022·全国新Ⅱ卷 该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考。 【知识梳理】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2.辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 【名师点拨】 1.两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， tan2α＝. 3.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　) 2.sincos的值为(　　) A.0 B.－ C.2 D. 3.若2cos α－sin α＝0，则tan等于(　　) A.－ B. C.－3 D.3 4.若tan α＝tan(α＋β)＝则tan β＝　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). (4)tan αtan β＝1－－1. 2.谨防两个易误点 (1)运用公式时要注意公式成立的条件； (2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一. 【必练核心题型】 题型一　两角和与差的三角函数公式 【典例】1.若＝3，则tan等于(　　) A.－3 B.－ C. D.3 【典例】2.若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【变式训练】 变式1.已知sin(α－β)＝cos αsin β＝则sin(α＋β)等于(　　) A. B. C.－ D.－ 变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　　　　.  【变式训练】 变式1.若sin α＋cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝　　　　　　.  变式2.若α＋β＝－则(1＋tan α)(1＋tan β)＝　　　　　　.  题型三　角的变换问题 【典例】1.已知sinα∈则cos α等于(　　) A. B. C. D. 【典例】2.已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.已知α，β∈若sincos则sin(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 变式2.已知θ∈且sin则tan θ等于(　　) A.7 B. C. D. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于(　　) A. B. C.－ D.－ 2.已知α为锐角，且sin＝sin则tan α等于(　　) A. B.2＋ C. D. 3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于(　　) A.－m) B.m＋ C.(m＋) D.m＋ 4.已知sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝则cos(α－β)的值等于(　　) A.－ B.－ C.－ D. 【答案】C 【解析】sin α＋sin β＝⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ① cos α＋cos β＝⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝ ② ①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝⇒cos(α－β)＝×＝－. 5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 6.定义运算＝ad－bc，若cos α＝0<β<α<则β等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列等式成立的有(　　) A.tan 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 8.下列结论正确的是(　　) A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ) B.sin x＋cos x＝sin C.f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2 D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知sinα∈则cos 的值为　　　　.  10.在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan Atan B＝则C＝　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知sin(α－β)＝sin(α＋β)＝. (1)证明：tan α＋5tan β＝0；(6分) (2)计算的值.(7分) 12.(15分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝点B的横坐标是－. (1)求cos(α－β)的值；(7分) (2)求2α－β的值.(8分) 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.(2024·吕梁模拟)的值为(　　) A. B. C.2 D.4 14.已知sin＝sin β，sin α＋cos α＝sin β＋cos β＝则cos(α－β)＝　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$