第3章 空间向量及其应用（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

第3章 空间向量及其应用 复习要点 1.掌握空间向量的线性运算、模、平行和数量积，会求两个向量的夹角。 2.理解向量共面的充要条件和空间向量基本定理，会用基底表示向量。 3.会在空间直角坐标系中做坐标运算，会用方向向量和法向量判定位置关系。 4.会求线线角、线面角、锐（或直）二面角，以及点到平面的距离。 复习重难点 重点：空间向量的运算与基本定理；坐标表示；方向向量和法向量。 难点：用向量证明平行与垂直；空间角与点面距离。 知识点 空间向量及其线性运算 空间中可以平移到同一平面上的一组向量叫作____________。任意两个向量都共面。 设 。 的充要条件是存在实数 ，使____________。三点共线用这条判定。 注意：两个向量相等，要长度相等并且____________。只说模相等不能推出相等。 要点速测 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）下列关于空间向量说法正确的是（     ） A．空间向量就是空间中的有向线段 B．若向量，模相等，则 C．零向量方向不确定，模长为0 D．平行向量一定在同一条直线上 2．（26-27高二上·广东惠州·期中）在正方体中，运算的结果为（    ） A． B． C． D． 知识点 数量积与夹角 。 的充要条件是数量积为____________。 两个非零向量的夹角 满足____________。 要点归纳：求 时，先把平方展开成数量积，再开方。 要点速测 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 知识点 共面与空间向量基本定理 设 。 与它们共面的充要条件是存在唯一的 ，使____________。 三个不共面的向量构成空间的一组____________，任一空间向量写成它们的线性组合时，系数____________。 注意：点 在平面 上时，，并且____________。 要点速测 5．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 知识点 空间向量的坐标表示 建立空间直角坐标系后， 就是 ____________。 。垂直 数量积为 ；平行 对应坐标____________。 要点归纳：两点 、 的距离是 。 要点速测 7．（26-27高二上·河南·开学考试）已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 知识点 方向向量、法向量与位置关系 直线的____________是与这条直线平行的任何非零向量。平面的____________是垂直于这个平面的任何非零向量。 平面外直线与平面平行 方向向量____________法向量。面面平行 法向量____________。线面垂直 方向向量是法向量。面面垂直 法向量____________。 注意：只由方向向量与法向量垂直，还不能断定直线与平面平行，直线可能在平面内。 要点速测 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列三个命题中，错误命题的个数是（    ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则 ； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则 . A．0 B．1 C．2 D．3 10．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 知识点 空间角与点面距离 线线角 。线面角 。锐（或直）二面角 。 点 到平面的距离 ，其中 在平面上。 要点归纳：线面距离、面面距离都化成____________。公式里的绝对值保证角取 。 要点速测 11．（26-27高二上·上海崇明·期中）已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型1 线性运算与化简 ▌例1 （25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 解题要点 线性运算与化简 先选定一组基底，把所求向量写成线性组合。 相等、负向量、平行都按定义判断，不要只看模。 ▌迁移练1-1 （24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，AC与BD相交于O，G为的中点，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) ▌迁移练1-2 （24-25高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 题型2 数量积与夹角 ▌例2 （25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 解题要点 数量积与夹角 把向量写成基底的线性组合，再代入已知的模和夹角。 求模先算平方展开，求夹角先算数量积。 ▌迁移练2-1 （25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. ▌迁移练2-2 （25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 题型3 用基底表示与共面 ▌例3 （25-26高二上·四川德阳·期中）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.    (1)以为一组基底表示向量； (2)若，求. 解题要点 用基底表示与共面 三个不共面向量作基底，分解唯一。 四点共面时，把一条向量写成另外两条的线性组合，比较系数。 ▌迁移练3-1 （26-27高二上·河南郑州·阶段检测）如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且 ，记，，． (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求． ▌迁移练3-2 （24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型4 坐标运算 ▌例4 （26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 解题要点 坐标运算 先写出各向量的坐标，再用对应坐标相乘求和。 求夹角用数量积除以模的积；求垂直令数量积为 。 ▌迁移练4-1 （26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． ▌迁移练4-2 （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 题型5 用向量判定位置关系 ▌例5 （25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 解题要点 用向量判定位置关系 平行看方向向量或法向量是否平行，垂直看数量积是否为 。 线面平行要先确认直线不在平面内。 ▌迁移练5-1 （25-26高二上·四川成都·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______. ▌迁移练5-2 （24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 难点一 建系与基底的选取 难点1：正交基底与斜基底 有现成的两两垂直棱时，沿这三条棱建系，坐标运算最省。 没有直角时，仍可用三个不共面向量作基底，用数量积计算，不要强行建直角坐标系。 难点2：点在平面上 写成 后，三个系数的和必须是 。 难点精练 1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 2．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（1）设，，已知向量，，，且，，求实数的值； （2）已知向量，，求在上的投影向量的坐标； （3）已知向量，，，若，，，四点共面，求实数的值． 难点二 锐二面角公式中的绝对值 难点1：公式给出的是锐角或直角 里的绝对值，是因为法向量的指向可以反过来。 题干指定某个可能是钝角的二面角时，要先看两个法向量是否指向这个二面角的内部，不能直接套绝对值公式。 难点精练 3．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 4．（25-26高二上·上海·期末）两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 基础达标 1．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 4．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）已知m、n是空间中两条不同的直线，、是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）． A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 6．（25-26高二上·上海·期中）下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____． 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 9．（25-26高二上·山东日照·阶段检测）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 10．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 11．（25-26高二上·广西崇左·期末）在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 12．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. (1)用，，表示和； (2)求. 13．（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 2．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．平面 D．的面积与的面积相等 二、填空题 3．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．    4．（25-26高二上·北京·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题 5．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 7．如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用 复习要点 1.掌握空间向量的线性运算、模、平行和数量积，会求两个向量的夹角。 2.理解向量共面的充要条件和空间向量基本定理，会用基底表示向量。 3.会在空间直角坐标系中做坐标运算，会用方向向量和法向量判定位置关系。 4.会求线线角、线面角、锐（或直）二面角，以及点到平面的距离。 复习重难点 重点：空间向量的运算与基本定理；坐标表示；方向向量和法向量。 难点：用向量证明平行与垂直；空间角与点面距离。 知识点 空间向量及其线性运算 空间中可以平移到同一平面上的一组向量叫作共面向量。任意两个向量都共面。 设 。 的充要条件是存在实数 ，使。三点共线用这条判定。 注意：两个向量相等，要长度相等并且方向相同。只说模相等不能推出相等。 要点速测 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）下列关于空间向量说法正确的是（     ） A．空间向量就是空间中的有向线段 B．若向量，模相等，则 C．零向量方向不确定，模长为0 D．平行向量一定在同一条直线上 【答案】C 【详解】选项A、空间向量是既有大小又有方向的量，而有向线段是表示向量的一种直观方式，不能说空间向量一定就是空间中的一条有向线段，因为向量可以自由平移，而有向线段是固定在空间中的，选项A错误； 选项B、若向量，模相等，只能说明长度相等，方向不一定相同，不能推出，选项B错误； 选项C、零向量方向不确定，模长为0，符合零向量的性质，选项C正确； 选项D、平行向量的方向相同或相反，可以平行于同一直线，不一定在同一直线上，选项D错误． 2．（26-27高二上·广东惠州·期中）在正方体中，运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在正方体中，， ， 所以. 知识点 数量积与夹角 。 的充要条件是数量积为。 两个非零向量的夹角 满足。 要点归纳：求 时，先把平方展开成数量积，再开方。 要点速测 3．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 【答案】①② 【详解】由，知． 又，，所以由，整理得 因为三棱柱是直三棱柱，平面，又，所以、、两两垂直． 由投影向量公式，分别判断： ①因为，所以沿的投影向量为，①正确． ②因为，，所以沿的投影向量为，②正确． ③因为，所以两向量的夹角为锐角，③错误． 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 【答案】8 【详解】由题意，得，，，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值是8. 知识点 共面与空间向量基本定理 设 。 与它们共面的充要条件是存在唯一的 ，使。 三个不共面的向量构成空间的一组基底，任一空间向量写成它们的线性组合时，系数唯一。 注意：点 在平面 上时，，并且。 要点速测 5．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（   ） A． B．6 C． D．1 【答案】A 【详解】因为P，A，B，C四点共面， 所以有，解得. 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 【答案】A 【详解】选项A： 若向量共线，当它们方向相反且时，才有； 如果两向量同向共线，等式变为，显然不满足原式， 因此只是反向共线且模长满足条件的充分条件，并非共线的充要条件，A错误； 选项B：根据向量的共线定理可知：若且，则存在唯一实数使得，B正确； 选项C： 空间四点共面的充要条件是：对任意点和不共线的三点A，B，C， 若，则， 因为，满足四点共面条件，C正确； 选项D：由空间向量共面的基本定理：若不共线，则与共面的充要条件是存在唯一有序实数对使得，D正确. 知识点 空间向量的坐标表示 建立空间直角坐标系后， 就是 。 。垂直 数量积为 ；平行 对应坐标成比例。 要点归纳：两点 、 的距离是 。 要点速测 7．（26-27高二上·河南·开学考试）已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由题意，得.将拆分为， 代入所求数量积，得. 由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0， 故. 又， 其中，且， 故，则， 当且仅当与同向时取等号，故最大值为. 8．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量与的夹角为钝角， 则，且与不反向， 即，解得，且， 所以结合各选项，的值可以是． 知识点 方向向量、法向量与位置关系 直线的方向向量是与这条直线平行的任何非零向量。平面的法向量是垂直于这个平面的任何非零向量。 平面外直线与平面平行 方向向量垂直于法向量。面面平行 法向量平行。线面垂直 方向向量是法向量。面面垂直 法向量垂直。 注意：只由方向向量与法向量垂直，还不能断定直线与平面平行，直线可能在平面内。 要点速测 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列三个命题中，错误命题的个数是（    ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则 ； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则 . A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，若两条不同直线的方向向量分别是，则， 由方向向量的定义知①正确； 对于②，若是空间的一个基底，且， 则，即， 由空间向量共面定理知四点共面，故②正确； 对于③，若两个不同平面的法向量分别是，且， 易得不成立，所以不成立，故③错误. 故错误命题的个数是1. 故选：B. 10．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】B 【详解】如下图，取中点为，因，，则， 又平面，，则平面. 如下图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，从而. 对于①，，则， 则是的充要条件； 对于②，，则 ，结合，可得， 则 不是的充要条件； 对于③， ， 从而是的充要条件. 知识点 空间角与点面距离 线线角 。线面角 。锐（或直）二面角 。 点 到平面的距离 ，其中 在平面上。 要点归纳：线面距离、面面距离都化成点面距离。公式里的绝对值保证角取 。 要点速测 11．（26-27高二上·上海崇明·期中）已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 由是棱长均为的正三棱柱，是侧棱的中点， 故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 故点到平面的距离. 12．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 题型1 线性运算与化简 ▌例1 （25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 解题要点 线性运算与化简 先选定一组基底，把所求向量写成线性组合。 相等、负向量、平行都按定义判断，不要只看模。 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. ▌迁移练1-1 （24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，AC与BD相交于O，G为的中点，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. ▌迁移练1-2 （24-25高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 因为，所以， 则. 题型2 数量积与夹角 ▌例2 （25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 解题要点 数量积与夹角 把向量写成基底的线性组合，再代入已知的模和夹角。 求模先算平方展开，求夹角先算数量积。 【详解】（1）， 因为，，，， 所以； （2），所以， ， 所以. ▌迁移练2-1 （25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【详解】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. ▌迁移练2-2 （25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 题型3 用基底表示与共面 ▌例3 （25-26高二上·四川德阳·期中）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.    (1)以为一组基底表示向量； (2)若，求. 解题要点 用基底表示与共面 三个不共面向量作基底，分解唯一。 四点共面时，把一条向量写成另外两条的线性组合，比较系数。 【详解】（1）因为线段的中点，，则，， 则 ； （2）由题意得，，， 则 . ▌迁移练3-1 （26-27高二上·河南郑州·阶段检测）如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且 ，记，，． (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求． 【详解】（1）如图，连接，可得， ， ． （2）由题意，得，，， 由（1）得，，， 所以， ， 所以， 所以. ▌迁移练3-2 （24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 题型4 坐标运算 ▌例4 （26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 解题要点 坐标运算 先写出各向量的坐标，再用对应坐标相乘求和。 求夹角用数量积除以模的积；求垂直令数量积为 。 【详解】（1）∵，∴设与夹角为， 则，又， ∴. （2）∵，， 设与的夹角为， 由题意知为锐角，即， 即，解得， 当与同向时，，此时， 故实数的取值范围为. ▌迁移练4-1 （26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 【详解】（1）因为空间向量，，则， 故. （2）若，则，则， 故， 又因为，故， 即当时，与的夹角为. ▌迁移练4-2 （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【详解】（1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． （2）由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 题型5 用向量判定位置关系 ▌例5 （25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 解题要点 用向量判定位置关系 平行看方向向量或法向量是否平行，垂直看数量积是否为 。 线面平行要先确认直线不在平面内。 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． ▌迁移练5-1 （25-26高二上·四川成都·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______. 【答案】 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 当，可得，所以， 即，所以，解得. 故答案为：. ▌迁移练5-2 （24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设是的中点，所以. 设，， 因为，所以，所以， 设异面直线与所成角为， 因为异面直线成角的范围是， 则， 因为，所以，当且仅当时取等号， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值的最大值为. 故选：A. 难点一 建系与基底的选取 难点1：正交基底与斜基底 有现成的两两垂直棱时，沿这三条棱建系，坐标运算最省。 没有直角时，仍可用三个不共面向量作基底，用数量积计算，不要强行建直角坐标系。 难点2：点在平面上 写成 后，三个系数的和必须是 。 难点精练 1．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 【详解】（1）因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． （2）由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 2．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（1）设，，已知向量，，，且，，求实数的值； （2）已知向量，，求在上的投影向量的坐标； （3）已知向量，，，若，，，四点共面，求实数的值． 【详解】（1）向量，，，，， ，， 又，，，； （2）向量，， 则在上的投影向量为. （3） ，，，四点共面， ， ， 难点二 锐二面角公式中的绝对值 难点1：公式给出的是锐角或直角 里的绝对值，是因为法向量的指向可以反过来。 题干指定某个可能是钝角的二面角时，要先看两个法向量是否指向这个二面角的内部，不能直接套绝对值公式。 难点精练 3．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【详解】（1）因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成的角的大小为， 所以， 四棱锥的体积为； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设 ， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取 因为直线平面， 所以，即， ， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 4．（25-26高二上·上海·期末）两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系. ，， 设，. . ，. . 当时，有最大值，最大值为. 故答案为： 基础达标 1．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    2．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】依题意得， 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数使得， 即，所以，解得. 故选：D. 3．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 4．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）已知m、n是空间中两条不同的直线，、是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）． A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A，令，当，时，满足，而不平行，A错误； 对于B，设直线的方向向量分别为，由， 得分别为平面的法向量，又，则，因此，B正确； 对于C，由，得存在过直线的平面，则，而， 于是，又，因此，C错误； 对于D，由，得或，而，可得可能平行，也可能相交，D错误. 故选：B 5．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【详解】， ， 所以. 6．（25-26高二上·上海·期中）下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】①②④ 【详解】对于①，由于两直线不同，所以两直线平行时其对应方向向量也平行， 反之当两直线的方向向量平行时可知两直线也平行，即①正确； 对于②，由， 则有， 即，则，故、、三向量共面， 取中点，则有， 同理取中点，，所以为的重心，即②正确； 对于③，由， 由空间向量的共面定理可知，三个向量共面，故③错误； 对于④，由空间向量的共面定理可知，存在实数、， 使得，即， 所以存在不全为0的实数，使得，故④正确. 故答案为：①②④. 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____． 【答案】 【详解】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是，的中点，G是MN的中点.判断直线AG与平面是否相交？________（填“是”或“不是”）；若，则_______. 【答案】 是 【详解】以为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设， 则， 所以， 所以， 因为平面， 所以为平面的法向量， 因为， 所以与不垂直，即直线AG与直线不垂直， 所以直线AG与平面相交. 由题意 ， 所以，则. 故答案为：是； 9．（25-26高二上·山东日照·阶段检测）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ） ． （ⅱ）因为， 所以 ，所以． 10．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 11．（25-26高二上·广西崇左·期末）在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 【详解】（1）在正四面体中，， 所以. （2）依题意，，， 所以 . 12．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. (1)用，，表示和； (2)求. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在中，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形，故， 因为∥且，所以， 又为线段中点，所以， 在中，， 平行四边形中，； （2）因为，，， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 13．（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 2．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．平面 D．的面积与的面积相等 【答案】B 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，； A选项，，，因为动点E、F在上，所以， 因为与不平行，所以和不平行，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以， ，所以，则，所以B选项正确； C选项，，，设平面的法向量为， 则，即：，令，得，，即：， ，因为，所以与平面LMN不平行，所以C选项错误； D选项，不妨设动点在上，且，计算可得，则， ，， 所以点到距离为， 则， 所以是关于的函数，当两个动点E、F在线段上移动时， 若点确定，则点确定，但是无法保证两者到的距离相等，所以无法保证面积相等，所以D选项错误. 二、填空题 3．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．    【答案】 【详解】方法一：如图1，连接. 因为正四棱柱的底面边长为1，侧棱， 所以，所以. 由正四棱柱的结构知，即，四边形为矩形. 将平面沿展开至平面，点至点，如图2.    则的最小值即的长度. 在中，， 由余弦定理得. 故答案为：. 方法二：如下图，建立空间直角坐标系：      则， 因为为上的动点，由可知， 所以可设， 所以， 所以 ， 令，则即， 求最小值即求平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如下图，作点关于x轴的对称点，    则所求最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·北京·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，    则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题 5．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行六面体 中，，、 分别为棱 、 的中点， 为线段 上一点（包含端点），且满足 ． (1)若 、、 三点共线，求 ； (2)若 ，，，求棱 的长度． 【详解】（1）设，，，则不共面． 因为为的中点，所以． 因为为的中点， 所以． 所以． 因为，所以． 又， 所以． 所以． 因为、、三点共线，所以与共线， 即存在实数，使得． 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 所以， 解得， ， 故； （2）设，，即，． 由题意知， 所以，． 因为，所以， 即， 代入得，即①． 因为，所以， 即， 代入得，即②． ②①得，即，所以． 将代入①得， 整理得， 即． 解得或． 因为，所以或． 故棱的长度为或． 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1） 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. （2） 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面 的法向量 ， 则，即， 令 ，解得 ，，即平面 的一个法向量 ， 则点到侧面的距离为. （3） 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面 的一个法向量 ， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 7．如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 所以点到直线的距离为； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $