精品解析：重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷

初2025届初三（下）学月调研数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；而无理数是无限不循环小数，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：，，3是有理数，是无理数． 故选：B． 2. 组成单词（头脑）的字母中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：观察后可知，是中心对称图形只有． 故选：A． 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（　　） A. 调查某班学生的中考体考成绩，采用抽样调查 B. 调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查 C. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用抽样调查 D. 调查某池塘现有鱼的数量，采用全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查． 【详解】解：A、调查某班学生的中考体考成绩，采用全面调查方式，本选项说法不合适，不符合题意； B、调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查，本选项说法合适，符合题意； C、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，本选项说法不合适，不符合题意； D、调查某池塘中现有鱼的数量，采用抽样调查方式，本选项说法不合适，不符合题意； 故选：B． 4. 若两个相似三角形的周长比为，则这两个相似三角形的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， 故选：C． 5. 已知，则实数m的范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据的近似值计算的值，即得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故选：A． 7. 如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可得前4个图形中棋子个数的规律，进而求解即可． 【详解】解：第①个图有个棋子， 第②个图有个棋子， 第③个图有个棋子， 第④个图有个棋子， ……， ∴第⑦个图形中棋子的个数为个棋子． 故选：C． 8. 如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积与等边三角形之间的关系是解题的关键．本题利用等于阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ， ， 在直角中，勾股定理可得：， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：D． 9. 如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则可得，，，过点作，延长交于点， 利用得到，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ， ， ，， 如图，过点作，延长交于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 已知整式C：，，其中为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式C共有8个； ②若，，则满足条件的整式C共有12个； ③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个． 其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式，新定义，利用分类讨论的思想逐一判断即可，解题关键是熟练掌握根据已知条件求出整式C的情况． 【详解】解：由题意可得， 当时，得，此时符合条件整式C为，有1个； 当时，得， ，且为整数， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，可得， 当，时，，此时整式C为， 当，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 当，时，，此时整式C为， 时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，得， 当，，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有1个， 所以符合条件的整式C为个，故①正确； 由题意可得， ， 的值为或或， 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，有2个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，此时，而已知，则有0个； 所以满足条件的整式C共有11个，故②错误； 时，无法被整除，不成立； 当时，被整除， 的最大值为2，且互不相等， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，与上面两种情况重复， 故时，满足条件的整式C有个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即，且互不相等， 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是两个数字，此时不满足的最大值为2的情况，即符合条件的整式C有0个； 当时，， 只能是两个数字，此时不满足的最大值为2的情况，即符合条件的整式C有0个； 故时，满足条件的整式C有4个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即，互不相等， 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 故时，满足条件的整式C有个， 所以符合条件的整式C有，故③错误， 则正确的个数有1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 劳动节期间，小红和小丽两人计划外出旅游，并从重庆、成都、武汉、长沙这四个城市中随机选择一个游玩，则她们恰好选择同一个城市的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好游玩同一城市的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设重庆、成都、武汉、长沙分别为1，2，3，4 画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的情况，他们选择同一个城市的情况有4种， 故他们选择同一个城市的概率是． 故答案为：． 13. 如图，点D、E分别是边、的中点，在的延长线上取一点F，使，且，已知，______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出是的中位线，得到，，求出，然后证明出，得到，即可求出． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 14. 赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 15. 如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则_______， ______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，切线性质定理，利用垂径定理逆定理可得，利用三角形面积法即可求得，再证明，利用相似三角形的性质即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， ， 如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，, ， ， ，， ， 故答案为：；． 16. 如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定；将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定．若，则_____．若（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有的和为_____． 【答案】 ①. ②. 18481 【解析】 【分析】根据题意求出，，即可求出的值，由题意可得，从而求出，，代入得出，整理得出，结合题意可得或，再分情况求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ， ，， ∴， ， ∵（，，x，y为整数）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，x，y为整数 ∴，， ∴或， 当，即时，此时， 当，即时，此时， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题8分，19--25题各10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、负整数幂、整式的乘法运算，本题属于基础题型． （1）先计算负整数幂，绝对值，算术平方根，再计算加减即可； （2）利用平方差公式及单项式乘以多项式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，求解其整数解，得到的值，根据，舍去的情况，再化简分式后代入，即可求解． 【详解】解：解不等式，可得：； 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为， ∵是不等式组的整数解， ∴的值可以取； 原式： ． ∵的值可以取； ∴当时，，舍去； 当时，原式：． 综上可得，原式的值为：． 19. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好， 理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好； （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值； （）根据平均数、众数、中位数判断即可； （）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可. 【小问1详解】 解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名， 又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85， ∴中位数， ∵九年级组成绩学生数有名， ∴九年级组成绩的人数占比为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名． 20. 在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【答案】（1） 如图所示，     （2），，，，⑤不成立 【解析】 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在下方时，不成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论： ⑤不成立． 证明如下：当点D在下方时，如图所示， 作交延长线于G，于F， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 21. “一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元． （1）请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？ （2）实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？ 【答案】（1）“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元 （2）实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，根据2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元，列方程即可解答； （2）设“牛肉霸王粽”降价元，根据“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元，可得“蛋黄板栗粽”的单价，利用450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，列分式方程即可解答． 【小问1详解】 解：设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元， 则可得， 解得， 元， 答：“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元； 【小问2详解】 解：设“牛肉霸王粽”降价元，则“牛肉霸王粽”的单价为元， “蛋黄板栗粽”的单价为元， 故可得， 化简得， 解得， 经检验，是原方程的解， 两款粽子的单价均不低于10元， ， 实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个， 答：实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个． 22. 如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2） 解：函数图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）或（误差不超过0.2即可） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想求得时x的取值范围是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）画出函数图象，结合函数图象写出函数的一条性质即可； （3）结合函数图象，写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， 点E是边的中点． ， 当点在上时，此时， 可得，则， ； 当点在上时，此时， 可得， ， 综上，； 的面积为， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：列方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 列方程， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 故答案为：或（误差不超过0.2即可）． 23. 五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） （1）求A与B之间的距离；（结果保留根号） （2）小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）爸爸不能比小嘉和妈妈先到达平台D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）如图，过作于，过作于，过作于，再利用，，，利用三角函数解答即可； （2）分别计算小嘉和妈妈步行的时间与爸爸步行的时间，再比较即可. 【小问1详解】 解：如图，过作于，过作于，过作于， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴小嘉和妈妈步行的时间为（分钟）， 在中，，， ∴， ∴爸爸步行的时间为（分钟）； ∴爸爸b不能比小嘉和妈妈先到达平台D. 24. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； （3）如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 【答案】（1） （2）；周长的最小值为 （3）或或， 抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点， ， 设新抛物线的解析式为， 把代入可得，解得， 新抛物线的解析式为， ， ，, ， 当点和点重合时，符合题意，此时； 如图，过点作交于点，以点为圆心长度为半径作圆，交新抛物线轴下方部分于点，此时，符合题意， 当点在轴左边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 为直径， ， , ， ，， ， ， 设，则，，，， 故可得方程， 整理得， ， 解得（正值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 当点在轴右边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 同理可得， ， 设，则，，，， 故可得方程， 解得（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 综上所示，的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，画出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据求得点，利用待定系数法即可解答； （2）利用相似三角形的判定和性质求得点的坐标，再根据将军饮马原理可得周长的最小值； （3）求得新抛物线解析式，利用定弦定角原理作圆，则可得圆与新抛物线在轴下方的点都符合题意，利用相似三角形的判定和性质逐一解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 把代入解析式可得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作，交于点，过点作，交于点， 当时，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， ， 轴，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在直线上， ， 解得， ； 如图，作点关于的对称点，连接，连接，延长交轴于点， ，轴， ， 点关于的对称点， ， ， ， 周长等于，当三点共线时，最短，即的长， 周长的最小值为， ， ， ， 即周长的最小值为； 【小问3详解】 略 25. 已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． （1）如图1，连接交于点，若，，求的长度； （2）如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； （3）如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在，中，分别求得，同理可得，则； （2）；延长到，使得，连接，证明，得出，，设，导角得出，进而证明，则，过点作，即可得证； （3）过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点，证明四边形是平行四边形，当最小时，则最小，则是等腰直角三角形，设，则，，进而求得，，根据题意得出在以为圆心，的长为半径的圆上运动，当最小时，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； 【小问2详解】 如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届初三（下）学月调研数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 3 2. 组成单词（头脑）的字母中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（　　） A. 调查某班学生的中考体考成绩，采用抽样调查 B. 调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查 C. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用抽样调查 D. 调查某池塘现有鱼的数量，采用全面调查 4. 若两个相似三角形的周长比为，则这两个相似三角形的相似比为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则实数m的范围为（　　） A. B. C. D. 6. 五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 8. 如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式C：，，其中为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式C共有8个； ②若，，则满足条件的整式C共有12个； ③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个． 其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 八边形的内角和为________度． 12. 劳动节期间，小红和小丽两人计划外出旅游，并从重庆、成都、武汉、长沙这四个城市中随机选择一个游玩，则她们恰好选择同一个城市的概率为______． 13. 如图，点D、E分别是边、的中点，在的延长线上取一点F，使，且，已知，______． 14. 赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 15. 如图，的三点A、B、C在上，与交于点E，且直线l与相切于点C．分别连接，延长交于点M，交直线l于点P，满足．若半径．则_______， ______． 16. 如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定；将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定．若，则_____．若（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有的和为_____． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题8分，19--25题各10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 19. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 20. 在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 21. “一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元． （1）请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？ （2）实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？ 22. 如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） （1）求A与B之间的距离；（结果保留根号） （2）小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 24. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； （3）如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 25. 已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． （1）如图1，连接交于点，若，，求的长度； （2）如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； （3）如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $