精品解析：甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024—2025学年高一下学期 数学期中考试试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列复数中与复数相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知向量、满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列结论中正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得 C. 在中，若，则与的面积之比为 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面四个命题中正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若，则是纯虚数 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为.若，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知是关于的方程的一个根，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第四象限. 16. （1）若，求的值. （2）已知，求的值. 17. 已知向量，函数. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值. 18. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题： （1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一下学期 数学期中考试试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列复数中与复数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再结合选项判断. 【详解】对于CD，，CD不是 对于A，，A不是， 对于B，，B是. 故选：B 2. 已知复数，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 3. 若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可. 【详解】对于①，，①不是； 对于②，由，得和不共线，②是； 对于③，由，得和不共线，③是； 对于④，，④不是， 因此可以作为一组基底向量的为②③. 故选：B 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系，得到，进而得，利用正切的和角公式得到，再利用的范围，即可求解. 【详解】因为，，则， 所以，又，所以， 又，，，所以， 则，所以， 故选：A. 5. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据已知条件恒成立，将函数表达式代入，通过三角函数公式展开并整理，得到一个关于与的等式.因为该等式恒成立，所以与的系数都为，由此可求出的值.再将代入函数，化简后根据正弦函数性质求最大值. 解法二：利用已知条件，取特殊值，代入得到关于的方程，解出.然后将代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值. 【详解】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立， 整理，得恒成立，所以，从而， 故当，，即时，取得最大值. 解法二：由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，取得最大值. 故选：D. 6. 已知向量、满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出、的值，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量、满足，，， 所以，， ， 所以，. 故选：A. 7. 如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解. 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 8. 下列结论中正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得 C. 在中，若，则与的面积之比为 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律判断A；利用共线定理判断B；利用共线定理构造，求出面积比判断C；利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示求出范围判断D. 【详解】对于A，若 ，则，则或，A错误； 对于B，当时，不存在实数，使得，B错误； 对于C，令 由， 得，则为的重心，， ，同理， 则，C正确； 对于D，，当与共线时，，得， 由与的夹角为锐角，得， 且与不共线，则且，D错误. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用和差角公式、二倍角公式、辅助角公式逐项求解. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 下面四个命题中正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若，则是纯虚数 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用复数乘法及模的意义判断CD. 【详解】对于A，取，，而，，A错误； 对于B，设，，由，得， 则，是纯虚数，B正确； 对于C，取， ， 同理，即，而，C错误； 对于D，，得，复数在复平面内对应点的轨迹是原点为圆心，3为半径的圆，D正确. 故选：BD 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理求. 【详解】已知，，，代入正弦定理可得. 因为，所以，则. 又因为，大边对大角，所以，，所以. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦及齐次式法求解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知是关于的方程的一个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解. 【详解】依题意，是关于的方程的另一个根， 因此，解得， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第四象限. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义，得，即可求解. 【小问1详解】 因为为实数，则，解得或. 【小问2详解】 因为为纯虚数，则，解得. 【小问3详解】 因为复数在复平面内对应的点为， 所以，由，得到或， 由，得到，所以 16. （1）若，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）把给定两个等式两边平方，再逆用和角的余弦公式计算得解. （2）利用同角公式，差角的余弦公式求解. 【详解】（1）由，得， 则，即， 所以. （2）由，得，又， 则， 所以 . 17. 已知向量，函数. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示、二倍角及辅助角公式求出，再利用正弦函数的单调性求解. （2）由（1）的信息求得，再利用差角的正弦求解. 【小问1详解】 依题意， ， 由，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，解得， 由，得，于是， 所以 . 18. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2） 因为为中点，所以， 则. 根据向量数量积的分配律可得： 已知，，， 则，. 代入可得. 因为，所以，即. （3）为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）先将用和表示出来，再利用向量的模长公式以及向量的数量积公式（为与的夹角）进行计算. （2）要证明，只需证明，先将用和表示出来，再结合已知条件计算数量积. （3）设，将用、和表示出来，再与已知的对比，求出的值，从而确定点的位置. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为，则. 那么，展开可得： 已知，，，根据向量数量积公式，，. 代入可得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 因为，所以. 又因为，，所以. 已知， 则可得，解第一个方程，得. 所以，即点为线段的中点. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题： （1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）过作于，结合正三角形性质求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，再利用基本不等式求出最小值． 【小问1详解】 由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图，    过作于，则，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． 【小问2详解】 （i）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：， 整理得，则 ． （ii）由（i）知，点在内部，且，    设，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得，即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $