精品解析：山西省太原市2024-2025学年下学期期中测试七年级数学试卷

2024~2025学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00-9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 检测一把圆珠笔芯质量，从中随机抽出的一支不合格 B. 将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C. 小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 5. 如图1，小夏用积木搭了一个跷跷板，将其抽象为如图2的图形．若，则与一定满足的关系为（ ） A. 互余 B. 互补 C. 互为对顶角 D. 相等 6. 年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．若，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，分别被直线，所截，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，4个长为、宽为的小长方形围成了一个大正方形，利用图中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 25 D. 36 10. 关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ） A. 一种彩票中奖概率是，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B. 做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C. 掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D. 射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算的结果是_________ 12. 善思小组做抛掷一个瓶盖的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 盖口朝下次数 10 28 150 248 480 960 1600 盖口朝下频率 0.2 0.28 0.3 0.31 0.32 0.32 0.32 由此，可估计任意抛掷一次这种瓶盖，盖口朝下的概率约为________（结果精确到0.1）． 13. 若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为__________度． 14. 如图1，一张透明的正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是______． 15. 如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 17. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 18. 如图1一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界处时，重转一次）．小晋和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）若小晋转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； （2）若小阳转动转盘，小晋猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数不大于6．为了尽可能获胜，小晋应该选择第_____种猜数方式．（填序号即可） 19. 下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： （1）小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） （2）按小思的方法，运算的结果为_________． 20. 如图，边上有两点，，过点，分别作于点，作于点．若，求的度数． 21. 如图1是由两个圆柱形铁块组成的毛坯，要将其熔铸成如图2所示的圆柱形零件．求可以熔铸成这种圆柱形零件的个数．（损耗不计） 22. 阅读与思考 下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“智慧优数” 概念理解： 如果一个正整数能表示为另外两个不相邻的正整数，的平方差，即，其中，则称这个正整数是一个“智慧优数”例如，，16就是一个“智慧优数”我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即． 特例构造： 根据定义，可从不相邻的两个正整数入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下： 当时，的值依次可取3，4，5，6，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，的值依次可取4，5，6，7，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”． 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数，构造出的“智慧优数”与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下： 情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” …… 所以，当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中，可得出下列结论： A．一定是奇数 B．与均为奇数 C．一定是与差的奇数倍…… 任务： （1）请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”； （2）请将“规律剖析”中情况一说理过程补充完整； （3）“规律剖析”中情况二所得结论，所有正确的结论为_______（填结论的序号）； （4）按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为_________． 23. 综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00-9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等．由此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角的比较与运算，熟练掌握对顶角和邻补角的定义是解题的关键，根据对顶角的定义及，可得，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解： ∵，且，为对顶角， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 检测一把圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B. 将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C. 小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，分别分析得出答案． 【详解】A．检测一把圆珠笔芯的质量，随机抽出一支，有可能合格，也有可能不合格 ，结果具有不确定性，属于随机事件，不是必然事件，故本选项不符合题意； B．由于花生油的密度比水小，根据物理原理，将一滴花生油滴入水中，油必然会浮在水面上，这是一定会发生的，属于必然事件，故本选项符合题意； C．小明投篮训练中，投出一球是否投中篮框受到多种因素影响，比如投篮的力度、角度、当时的状态等，投中与否是不确定的，属于随机事件，故本选项不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，骰子有1、2、3、4、5、6、这6种点数情况，掷出的点数为1只是其中一种可能，具有随机性，属于随机事件． 故选：B． 5. 如图1，小夏用积木搭了一个跷跷板，将其抽象为如图2的图形．若，则与一定满足的关系为（ ） A. 互余 B. 互补 C. 互为对顶角 D. 相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是余角和补角，解题的关键是掌握两个角的和等于．根据，从而可知，从而可知互余． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角． 故选：A． 6. 年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．若，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，由于，可得，再利用科学记数法的表示方法表示即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，直线，分别被直线，所截，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据平行线的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，是对角相等，均不能判定两直线平行， ∴A、B项错误； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），此项正确； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）；此项错误； 故选：C． 8. 如图，4个长为、宽为的小长方形围成了一个大正方形，利用图中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握平方公式是解题的关键． 整体看是一个边长为的正方形，中间的空白是一个边长为的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可， 【详解】解：∵阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积， 即：； ∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成， 即：， 验证的等式是：， 故选：D． 9. 若，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 25 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算法则，解题关键是熟练运用幂的乘方运算法则； 利用幂的乘方法则将和转化为已知的和的平方，再代入数值计算即可． 【详解】， ， ， ． 故选：D． 10. 关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ） A. 一种彩票中奖概率是，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B. 做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C. 掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D. 射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是掌握概率的意义． 【详解】A．一种彩票中奖概率是，买100张这种彩票，只是说中奖的可能性较大，但不是一定会有5张中奖．因为每次购买彩票都是独立的随机事件，有可能买100张中奖张数不是5张，甚至可能一张都不中奖，该选项错误，故不符合题意； B．做抛图钉的试验5次，3次钉尖着地，只是这5次试验中钉尖着地的频率，而概率是在大量重复试验下，某一事件发生的稳定值，仅5次试验次数太少，不能据此确定钉尖着地的概率，该选项错误，故不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，无论之前掷的结果如何，每次掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是，因为硬币质地均匀，这两种结果出现的可能性是相等的，该选项正确，故符合题意； D．射击试验中，“中靶”与“脱靶”概率不一定都是．概率大小取决于射击者的技术水平、射击环境等多种因素，不是简单的两种结果就各占，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算的结果是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：． 故答案为∶ ． 12. 善思小组做抛掷一个瓶盖的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 盖口朝下次数 10 28 150 248 480 960 1600 盖口朝下频率 0.2 0.28 0.3 0.31 0.32 0.32 0.32 由此，可估计任意抛掷一次这种瓶盖，盖口朝下的概率约为________（结果精确到0.1）． 【答案】0.3 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】解：由此，可估计任意抛掷一次这种瓶盖，盖口朝下的概率约为0.3． 故答案为：0.3． 13. 若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据题意列出方程是解题的关键．题中的等量关系为：这个角的补角它的余角． 【详解】解：设这个角为度，则：． 解得：． 故这个角的度数为45度． 故答案为：45 14. 如图1，一张透明正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是______． 【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了图形的折叠变换及其性质，平行线的判定，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，平行线的判定是解决问题的关键． 由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合，则，第二次折叠时，图4中的与重合，则，由此得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：如图所示：   由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， 第二次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 15. 如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，根据题意得到，根据求出即可． 【详解】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即 正方形①和正方形②面积的和为33， 故答案为：33． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先算同底数幂的乘法和积的乘方，再算同底数幂的除法； （2）根据多形式与单项式的除法法则计算即可； （3）先根据多形式与多项式的乘法法则和单形式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项； （4）根据平方差公式计算即可． 小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 . 17. 如图，点为边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，用尺规作图作出，根据同位角相等两直线平行，可得. 【详解】解：如图，即为所求． 18. 如图1一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界处时，重转一次）．小晋和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）若小晋转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； （2）若小阳转动转盘，小晋猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数不大于6．为了尽可能获胜，小晋应该选择第_____种猜数方式．（填序号即可） 【答案】（1） （2）② 【解析】 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率的计算方法求解即可． （2）分别求出“是3的倍数”或“不大于6”情况下获胜的概率即可． 【小问1详解】 解：共有10种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有5种，因此“是奇数”的概率是． 【小问2详解】 解：共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的倍数”的有3种， 因此“是3的倍数”的概率是； 共有10种等可能出现的结果数，其中 “不大于6”的有6种， 因此“不大于6”的概率是， 因此小晋应该选择第②种方式． 故答案为：②． 19. 下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： （1）小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） （2）按小思的方法，运算的结果为_________． 【答案】（1）（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟记公式是解题的关键． （1）利用积的乘方法则，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为，第②步出现的错误具体是的结果应为，的结果应为， 故答案为：（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）； 【小问2详解】 按小思的方法，原式 ， 故答案为：． 20. 如图，的边上有两点，，过点，分别作于点，作于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据，证明，然后根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】解：因为于点，于点， 所以，． 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 21. 如图1是由两个圆柱形铁块组成的毛坯，要将其熔铸成如图2所示的圆柱形零件．求可以熔铸成这种圆柱形零件的个数．（损耗不计） 【答案】可以熔铸成圆柱形零件个 【解析】 【分析】本题考查了多项式与单项式除法的应用，用原几何体的体积除以熔铸后圆柱的体积即可求解． 【详解】解： （个） 答：可以熔铸成圆柱形零件个 22. 阅读与思考 下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“智慧优数” 概念理解： 如果一个正整数能表示为另外两个不相邻的正整数，的平方差，即，其中，则称这个正整数是一个“智慧优数”例如，，16就是一个“智慧优数”我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即． 特例构造： 根据定义，可从不相邻的两个正整数入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下： 当时，的值依次可取3，4，5，6，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，的值依次可取4，5，6，7，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”． 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数，构造出的“智慧优数”与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下： 情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” …… 所以，当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中，可得出下列结论： A．一定是奇数 B．与均为奇数 C．一定是与差的奇数倍…… 任务： （1）请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”； （2）请将“规律剖析”中情况一的说理过程补充完整； （3）“规律剖析”中情况二所得的结论，所有正确的结论为_______（填结论的序号）； （4）按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为_________． 【答案】（1）8或12或15 （2）详见解析 （3）A，C （4）20 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用． （1）根据根据“特例构造”中的思路求解即可； （2）把分解因式即可； （3）将变形为即可求解； （4）在（1）的基础上继续求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴ 一个小于16的“智慧优数”可以是8或12或15； 【小问2详解】 情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” ∴当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 【小问3详解】 情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中， 设（为正整数），则， 则“智慧优数” ， ∵，都是奇数， ∴是奇数， ∴一定是奇数，一定是与差的奇数倍． 故选AC； 【小问4详解】 ∵，，，，， ∴按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为20． 故答案为：20． 23. 综合与实践 如图，已知钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$