精品解析：福建省泉州市惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学 2025年春季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出即可. 【详解】因为 所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单. 2. 若圆锥的侧面积与过旋转轴的截面面积之比为，则圆锥母线与旋转轴的夹角大小为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用题干条件求得圆锥母线与高的关系，结合三角函数定义即可求得圆锥母线与旋转轴所成角的大小. 【详解】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与旋转轴所成角为，则， 所以圆锥母线与旋转轴所成角的大小为. 故选：B. 3. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐个检验即可得出答案. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位后得到函数， 所以，则，， ，，当时，，时，， 故选：A. 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 5. 若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 移项由切化弦化简，然后可得． 【详解】由题意 ， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角差的正弦公式与二倍角公式、诱导公式．在三角函数式中同时出现了正弦、余弦、正切时，可用切化弦方法变形后再化简． 6. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 7. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，可知O为的中点， 又因为O为的外接圆圆心，则， 且，即， 可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 则， 可知当时，取到最小值. 【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，. 8. 已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得外接圆半径，进而根据勾股定理可得四面体的高，即可根据球的性质，结合勾股定理求解半径得解. 【详解】由对称性，可知球心与正四面体重心重合， 由于球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，故每个面的交线为半径为3的圆． 设球心为,为的中心，则,故，故 设球心到任意面的距离为，则由等体积法可得, 故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为，则表面积为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由向量垂直数量积为0建立等式，解得的值；B选项，由向量平行坐标交叉相乘相等建立等式，求得的值；C选项，列出，由三角函数得到最大值点，即求得的值；D选项，将的值代入，由投影向量的公式即可求得结果. 【详解】对于A，若，则，则，解得，所以A正确； 对于B，若，则，所以，解得，所以B正确； 对于C，， 当，即时，取最大值，所以C错误； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的最小值为，则 B. 若），则使得成立 C. 若，都有成立，则 D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】，由，即可求解的值，即可判断选项；由，可得，结合，从而可得的取值范围，即可判断选项，求出的值域，将不等式恒成立转化为关于的不等式，求解即可判断选项；，其中，由已知可得，从而可求的取值范围，即可求得的范围，从而判断选项． 【详解】解：对于A，函数，其中， 因为函数的最小值为，所以，解得，故A错误； 对于B，若函数， 则， 因为，所以，，， ，，此时， 所以不存在使得成立，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，， ， 因为都有成立， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，其中， 因为函数在上存在最大值， 所以，即， 所以，， ，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 13. 已知平面向量满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据所给条件平方后可得，再求出，可知向量与夹角相等，即可求解. 【详解】由平方可得：，又， ，即， 由知，， 又，， 且为锐角， ， ， 解得， 故答案为： 14. 如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________． 【答案】##. 【解析】 【分析】在中设，运用余弦定理，表示出，利用正弦定理可得，进而用三角形面积公式表示出，利用三角函数的有界性可得结果. 【详解】在中，，为正三角形， 由余弦定理可知， 由正弦定理得：，， ， ，为锐角，∴， ， ∴当时，， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算：； （2）若复数，求； （3）如图正四棱台的上、下底面边长分别为和，高为，求它的体积 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）根据题意，结合复数的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据台体体积公式求体积. 【详解】（1） . （2）. （3）四棱台的体积 . 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）为边上一点，若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，先根据正弦定理把边化角，再根据三角形中，利用和角正弦公式展开，化简得到，再结合角的范围即可求出角；方法二，根据余弦定理把角化边，再次利用余弦定理即可求出的值，再结合角的范围，即可求出角； （2）方法一，在，中，根据正弦定理分别列出关系式，整理可得，在中，由余弦定理得到，再由三角形的面积公式求解即可；方法二，过作，垂足为，得到，通过和相似，得到，后同方法一；方法三，分别利用底高和，得到与的面积比，从而得到，后同方法一. 【小问1详解】 方法一：因为， 所以由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 由于，所以， 所以，因为，所以； 方法二：因为， 所以由余弦定理可得， 整理可得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 方法一：由（1）及题设知，，，. 在中，由正弦定理得，. 在中，由正弦定理得，. 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理可得，即 所以的面积； 方法二：如图所示，过作，垂足为. 在中，，所以. 由于，所以， 所以，即， 得，后同方法一； 方法三：由（1）及题设知，，. 因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于， 又因为与的面积之比还等于， 所以，，后同方法一. 17. 已知函数 （1）将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期； （2）若，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到， 由正弦型函数的周期性，即可得到结果； （2）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以函数的最小正周期为π. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以， 所以， 所以 . 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简条件即可求解角的大小； （2）在中，根据余弦定理解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； 【小问2详解】 在中，根据余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 依题意，，即， 化简得，则， 所以； 【小问3详解】 依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且，则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 19. 对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 （1）若判断与是否具有关系并说明理由； （2）若与具有关系求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系 （2） （3） ②不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 ① ②略 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学 2025年春季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 若圆锥的侧面积与过旋转轴的截面面积之比为，则圆锥母线与旋转轴的夹角大小为（   ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 5. 若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向 7. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的最小值为，则 B. 若），则使得成立 C. 若，都有成立，则 D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 13. 已知平面向量满足，则__________． 14. 如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算：； （2）若复数，求； （3）如图正四棱台的上、下底面边长分别为和，高为，求它的体积 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）为边上一点，若，且，求的面积. 17. 已知函数 （1）将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期； （2）若，求的值 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 19. 对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 （1）若判断与是否具有关系并说明理由； （2）若与具有关系求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $