精品解析：陕西省宝鸡市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测题 八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共计24分；每道题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案填在后面的括号内） 1. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 七点五折 D. 八折 7. 若关于不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，共24.0分） 9. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 10. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 11. “直角三角形只有两个锐角”的逆命题是一个_________命题（填“真”或假）． 12. 已知不等式 与不等式的解集相同，则_______． 13. 如图，在中，，将沿着的方向平移至，若四边形的面积为24，则平移的距离为 _____． 14. 在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为_____ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是_____． 16. 如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 18. 解不等式组： 19. 如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 20. 已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3x﹣ax=6的解，求a的值． 21. 某校组织若干名学生外出参观，住宿时发现，若每个房间住4人将有20人无法安排；若每个房间住8人，则有一个房间的人不空也不满．问这批学生有多少人？共有几个房间？ 22. 若不等式组的解集是，求、的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，2），C（－1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）； （3）△ABC的面积为　 ．（直接填结果） 24. 如图，中，，平分，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25 某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元． （1）求甲、乙两种商品每件进价各是多少元？ （2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？ 26. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测题 八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共计24分；每道题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案填在后面的括号内） 1. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 3. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 4. 如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题． 【详解】解： ，，， 要根据“”证明， 需添加条件为斜边相等，即， 故选：A． 5. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 七点五折 D. 八折 【答案】C 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，利用利润=售价-进价，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可进行解答． 【详解】解：设该商品打x折销售， ， 解得：， ∴最多可打七点五折， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 7. 若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组得到，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围，进而求解． 【详解】∵， 解得，， ∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5， ∴， 解得，， 故选A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组与一元一次不等式组的整数解，确定不等式组的整数解是解题的关键． 8. 如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用证明，8字型图，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； 故选D． 二、填空题（本题共8小题，共24.0分） 9. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 10. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质．根据三角形的内角和为，可得只能为顶角，从而可求出底角． 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：． 11. “直角三角形只有两个锐角”的逆命题是一个_________命题（填“真”或假）． 【答案】假 【解析】 【分析】逆命题就是原来的命题的题设和结论互换，写出“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题并用反例证明它是假命题． 【详解】解：“直角三角形只有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“只有两个锐角的三角形是直角三角形”假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但不是直角三角形．故是假命题． 故答案为假． 【点睛】本题考查写逆命题的能力以及判断真假命题的能力，本题可用反例证明是假命题． 12. 已知不等式 与不等式的解集相同，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据解不等式的方法，求出两个不等式的解集和，根据两个不等式的解集相同，可知，进而求出答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 两个不等式的解集相同， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 13. 如图，在中，，将沿着的方向平移至，若四边形的面积为24，则平移的距离为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由平移的性质可以证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积求出平移的距离即可． 【详解】∵将沿着的方向平移至， ∴， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积等于24，， ∴平移距离． 故答案为：4． 【点睛】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 14. 在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=-x+a的图象都在y=bx-4的图象下方，所以不等式-x+a＜bx-4的解集为x＞1； 【详解】解：当时，函数的图象都在的图象下方， 所以不等式的解集为； 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16. 如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为的长即可解答． 【详解】解：如图所示：连接． ∵，D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是先分别求出各个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和角平分线的尺规作图，到角两边的距离相等的点在该角的角平分线上，故点P在的角平分线，据此作的角平分线交于D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D，则点D即为所求． 20. 已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3x﹣ax=6的解，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出不等式的解，然后求出x的值，最后将x的值代入方程列出关于a的一元一次方程，从而得出a的值． 【详解】解：不等式5x﹣2＜6x+1解集为， 符合条件的正整数x=1， 再将x=1代入方程得，从而解得． 故答案为：. 【点睛】本题考查解不等式；解一元一次方程，解题的关键是理解一元一次不等式的最小正整数解. 21. 某校组织若干名学生外出参观，住宿时发现，若每个房间住4人将有20人无法安排；若每个房间住8人，则有一个房间的人不空也不满．问这批学生有多少人？共有几个房间？ 【答案】这批学生有44人，共有6房间． 【解析】 【详解】试题分析：设房间有x间，则学生有（4x+20）人，根据每个房间住8人，则有一间房的人不空也不满列出不等式组，解出不等式组的解集，再根据x为整数，求出x的值即可． 试题解析：解：设共有x个房间．依题意得 ， 解得5＜x＜7． ∵x为整数， ∴x=6，4x+20=44（人）． 答：这批学生有44人，共有6房间． 考点：一元一次不等式组的应用． 22. 若不等式组的解集是，求、的值． 【答案】的值为，的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法、二元一次方程组的解法，首先解一元一次不等式组可得：，根据一元一次不等式组的解集是，可得关于、的方程组，解方程组求出、的值即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ， 解方程组得：， 的值为，的值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，2），C（－1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）； （3）△ABC的面积为　 ．（直接填结果） 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3）4 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的概念即可作出图形，求出对应点坐标； （2）根据旋转作图的方法即可． （3）利用三角形所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】解:(1)如图所示, △A1B1C1为所求; (2)如图所示, △A2B2C2为所求; (3)S△ABC=3×3-×2×2-×1×3-×1×3=9-2-1.5-1.5=4 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 24. 如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定以及含的直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据角平分线性质求出，根据定理求出两个三角形全等即可； （2）求出，，根据勾股定理求得，然后根据含角的直角三角形性质求出即可． 【小问1详解】 解：平分，， ， 在和中， ； 【小问2详解】 ∵在中，，且平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 25. 某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ （2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？ 【答案】（1）甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元 （2）方案一：购进甲商品件，乙商品件；方案二：购进甲商品件，乙商品件；方案三：购进甲商品件，乙商品件 【解析】 【分析】（1）设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意，建立一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解即可求解． 【小问1详解】 解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得， 解得： 答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得， 解得： ∵为正整数，故 ∴有三种进货方案， 方案一：购进甲商品件，乙商品件； 方案二：购进甲商品件，乙商品件； 方案三：购进甲商品件，乙商品件； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式组是解题的关键． 26. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论； （2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论； ②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC=AC，EC=DC， ∴BC-EC=AC-DC， ∴BE=AD， ∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°， ∴BE⊥AD， 故答案为BE=AD，BE⊥AD； （2）（1）中结论仍然成立，理由： 由旋转知，∠BCE=∠ACD， ∵BC=AC，EC=DC， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠BHC=90°， ∴∠CAD+∠BHC=90°， ∵∠BHC=∠AHG， ∴∠CAD+∠AHG=90°， ∴∠AGH=90°， ∴BE⊥AD； （3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EM=CM=DE=10， 在Rt△AMC中，AC=26， 根据勾股定理得，， ∴AE=AM-EM=24-10=14； ②当点D在线段AD延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EN=CN=DE=10， 在Rt△ANC中，AC=26， 根据勾股定理得， ∴AE=AN+EN=24+10=34； 综上，AE的长为14或34， 故答案为14或34． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$