河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期5月半月考文科数学试题

1 高一 5月半月考文科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C D C A B ACD BC 题号 11 答案 ABD 8.B 由 2AB AC  ， 2 3BC  ，则  222 3 1OA    ，所以  0,1A ，  3,0B  ，  3,0C ，设  ,0P x ，则  ,1PA x   ，  3 ,0PB x   ，则   2 2 3 33 3 2 4 PA PB x x x x x                    ，当 3 2 x   时，PA PB   取得最小值，此时 3 ,1 2 PA          ， 2 3 71 2 2 PA          .故选：B 11．ABD 【详解】由题意得   π π π3sin 2sin 3sin 2 sin cos cos sin 4 4 4 f x x x x x x                ，  2 12sin cos 5 sin cos 5sin 5 5 x x x x x           ，其中 1sin 5   ， 2cos 5   ， 故  f x 的最小正周期为 2π，值域为 5, 5  ，故 A，B正确；当  f x 取得最大值时，   π 2 π 2 x k k    Z ，  π 5cos cos 2 π sin 2 5 x k k            Z  ，  π 2 5sin sin + 2kπ cos 2 5 x k         Z  ，故 C 错误，D正确，故选：ABD 12． 1 13, , 3 3              , 13． 30 3 【详解】设塔高为 h， 在Rt ACD△ 中， 45DAC  ，则 AC CD h  ， 2 在Rt BCD△ 中， 60DBC  ，则 tan 60 3 h BC    ，则 3 3 BC h ， 在 ABCV 中， 30ACB  ， 30AB  ，由余弦定理可得 2 2 2 2 cos30AB AC BC AC BC     ， 即 2 2 3 3 3900 2 3 3 2 h h h h            ，化简可得 2 900 3 h  ，解得 30 3h  .故答案为：30 3 14.． 2 19 【详解】已知在 ABCV 中， 3a  ， 60A  ，因为 3 3 2 sin sin 60 3 2 a A     ，所以 2 sin b B  ，可得 2sinb B ； 2 sin c C  ，可得 2sinc C . 因为三角形内角和为180，所以 180 180 60 120C A B B B           .则 3 2 3 2sin 2 2sin 6sin 4sinb c B C B C       .把代入上式得：6sin 4sin(120 )B B  . 3 1sin(120 ) sin120 cos cos120 sin cos sin 2 2 B B B B B       . 所以 3 16sin 4sin(120 ) 6sin 4( cos sin ) 2 2 B B B B B     6sin 2 3 cos 2sin 8sin 2 3 cosB B B B B     . 对于8sin 2 3 cosB B ，根据辅助角公式， 所以 2 28 (2 3) 64 12 76 2 19     ， 2 3 3tan 8 4    .则8sin 2 3 cos 2 19 sin( )B B B    .因为正 弦函数的值域是[ 1,1] ，所以 2 19 sin( )B  的最大值为 2 19 ，即 max(3 2 ) 2 19b c  .故答案为： 2 19 15.【小问 1 详解】 由题意得 sin cos tan 1 sin cos tan 1            2 1 13 2 51 3      ； 【小问 2 详解】  2 πsin 2cos π sin 2          2 2sin 2cos   2 2 2 2 sin 2cos sin cos        2 2 tan 2 tan 1      4 2 149 4 131 9      ． 16、【答案】（1）由于 6 2cos 26 2 a b a b          . 且0 π  ，所以 π 4   . （2）∵   22 3 2 3a a b a a b           22 3 3 6 0     ， 3 ∴  2 3a a b    . （3）  2 2 22 3 2 3 4 12 9a b a b a a b b              24 3 12 6 9 8 6       . 17.(1)  3π ππ , π Z 8 8       k k k (2)最小值为 2 ，此时 3π 8 x   . 【详解】（1）∵   2 π2sin cos 2sin 1 sin 2 cos 2 2 sin 2 4 f x x x x x x x           ， ∵ π π π2 π 2 2 π , Z 2 4 2 k x k k      ，则 3π ππ π , Z 8 8     k x k k ， ∴  f x 的单调递增区间为  3π ππ , π Z 8 8       k k k . （2）∵ π ,0 2 x      ，则 π 3π π2 , 4 4 4 x       ，∴ π 2sin 2 1, 4 2 x            ，即   2,1f x    ， 故当 π π2 4 2 x    ，即 3π 8 x   时，  f x 取到最小值 2 . 18.．(1) ABCV 为钝角三角形 (2) 4 3 2 3  【详解】（1）m n   ，故  (sin sin )( ) sin sin 0m n A B a b c C A         ， 由正弦定理得       0a b a b c c a     ，即 2 2 2a c b ac    ， 所以 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac        ，又  0, πB ，所以 2π 3 B  ，所以 ABCV 为钝角三角形； （2）由（1）知， 2 2 2a c b ac    又 2b  ，故 2 2 4a c ac    ， 即  2 4a c ac   ，由基本不等式得   2 4 a c ac   ，即     2 2 4 4 a c a c     ， 解得 4 3 3 a c  ，当且仅当 2 3 3 a c  时，等号成立，所以 4 3 2 3 a b c    ， ABCV 周长的最大值为 4 3 2 3  19.【详解】（1）依题意， π 3 MON  ，扇形半径即 60OM  米，则扇形 OMN 的面积为 2 1 π 60 600π 2 3    平 方米. （2）在Rt OBC 中， 60sinBC  ， 60cosOB  ，在Rt OADV 中， 60sinAD BC   ，则 3 60sin 33 ADOA    ，于是 60cos 20 3 sinAB OB OA      ，则矩形 ABCD面积 4 ( ) 60sin (60cos 20 3sin )S AB BC       21200 3( 3 sin cos sin )    3 11200 3( sin 2 cos 2 ) 2 1 2 2     π1200 3 sin(2 ) 600 3 6    ， π0 3   ， 所以 π π1200 3 sin(2 ) 600 3(0 ) 6 ) 3 (S        ；由 π0 3   ，得 π π 5π2 6 6 6    ，则当 π π2 6 2    时， 即 π 6   时， max( ) 600 3S   ，所以当 π 6   时，  S  取得最大值，最大值为600 3平方米. 1 新蔡一高 2024-2025 学年下学期 5 月半月考 高一文科数学试题 一、单选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知向量  1,4a ，  mb ,2 ,且  baa // 则 m ( ) A. 2 B. 2 1 C. 2 1  D.-2 2. 已知 1sin cos 8     ，  0, π  ，则 sin cos  （ ） A． 5 2 B． 5 2  C． 3 2 D． 3 2  3.在 ABC 中， 30 , 2B b  ， 2 2c  ，则角 A 的大小为（ ） A． 45  B．135  或 45  C．15  D．105  或15  4.设函数          3 sin xxf 在区间  ，0 恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（ ） A．     6 13 3 5 ， B．     6 19 3 5 ， C．      3 8 6 13 ， D．      6 19 6 13 ， 5.已知 2cos 462 1a   ， cos2025 cos2024 sin 2025 sin 2024b      ， 1 tan14 tan31 tan14 tan31c     ，则（ ） A．c a b  B．b a c  C．b c a  D． c b a  6.已知角 终边在第二象限，且 4tan 3    ，则 1 sin 2 2 2cos 2    的值为（ ） A．1 B． 7 5 C． 9 5 D． 13 5 7.如图，一个半径为 4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 2米．设筒 车上的某个盛水筒 P到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒 P刚浮出水面时开 始计算时间，则 d与时间 t（单位： s）之间的关系可以表示为（ ） A． π π4sin 2 20 6 d t       B． π π4sin 2 20 6 d t       C． π π4sin 2 10 6 d t       D． π π4sin 2 10 6 d t       8.在 ABC 中， 2AB AC  ， 2 3BC  ，点 P在线段 BC上.当 PA PB   取得最小值时，PA （ ） 2 A． 3 2 B． 7 2 C． 3 4 D． 7 4 二、多选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.函数  siny A ωx φ  ( 0A  ， 0  ，0 π  )在一个周期内的图像如 图所示，则（ ） A．该函数的解析式为 2 π2sin 3 3 y x      B．该函数图像的对称中心为 π ,0 3 k     ， Zk C．该函数的增区间是 5π π3 π ,3 π 4 4 k k     ， Zk D．把函数 π2sin 3 y x      的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 3 2 倍，纵坐标不变，可得到该函数图像 10．已知向量  1,2a   ，  4,2b    ，则（ ） A．    a b a b      B． a b a b      C．b a   在 a  上的投影向量是 a r D． a  在 a b   上的投影向量是  3, 4 11.已知函数   π3sin 2sin 4 f x x x       ，则（ ） A．  f x 的最小正周期为2π B．  f x 的值域为 5, 5   C．当  xf 取得最大值时， 5 5cos x D．当  xf 取得最大值时， 5 52sin x 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分． 12.已知向量  1,3a   ，  , 1b    ，若 a  与 b  的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 . 13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是 1998-2006 年重建 的，如图 1.某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为 45，在 B点 处测得仰角为60， A B、 两点间的距离为30米， 30ACB  ，如图 2，则塔的高度为 米. 14. 在 ABC 中， 3a  ， 60A  ，求3 2b c 的最大值 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 （13 分）. 已知 2tan 3   ． （1）求 sin cos sin cos       的值； （2）求  2 πsin 2cos π sin 2          的值． 16（15 分）. 已知向量a  ，b  满足 3a   ， 2 2b   ， 6a b    . （1）求向量 a  与b  的夹角 ； （2）求证：  2 3a a b    ； （3）求 2 3a b   . 17（15 分） .已知函数 2( ) 2sin cos 2sin 1f x x x x   . (1)求  f x 的单调递增区间； (2)求 ( )f x 在区间 , 0 2     上的最小值及此时 x的取值. 4 18（17 分） .在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，设向量 (sin sin , ), ( ,sin sin )m A B c n a b C A       ，且m n   ． (1)判断 ABC 的形状； (2)若 2b  ，求 ABC 周长的最大值． 19（17 分）.近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀 赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规 模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池 ABCD，矩形一边 AB在OM 上，点 C 在圆弧MN上，点 D在边ON上，且 π 3 MON  ， 60OM  米，设 COM   . (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形 ABCD的面积 ( )S  ；当 为何值时， ( )S  取得最大值，并求出这 个最大值.