内蒙古自治区赤峰市多校联考2025届高三下学期5·20模拟考试数学试题

高三数学考试参考答案 1.C将x=y代入x=y3,得y=y3,解得y=士1或0，所以A∩B={(-1,一1)，(0,0)， (1,1). 2.D由e一√1+受-5，得m=8,故该双曲线的焦距为2v2+8-2D。 A由余弦定理可得cosB=2+c2-6a 3a(c-b)1 2ac 2ac 则a+c=号6，因为6十e 3a,所以a=b=3c,所以△ABC是等腰三角形. 4.A(5-x)展开式中的常数项为C(5)(-x)=-250, 5.A设函数f(x)=x1nx,则'(.x)=2.xlnx十x,则'(1)=1，所以曲线y=xlnx在点 (1,0)处的切线方程为y=x一1，故曲线y=x1nx在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角 形的面积为2×1X1- 6.A当x≤0时，f(x)=(.x+2)2-1,f(0)=3. 作出f(x)的大致图象，如图所示，由g(x)=0,得f(x)=a,则一1<a≤3. 7.C设点P到平面ABC的距离为h.因为B正=2EP,所以B配=号B驴，所以点E到平面 AC的距商为号.因为前=沉所以励-号C.所以是畏-台则Sw 寻5放Va=Vem=(停)V= 8.B由题意可知，P的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称.当x≥0，y≥0时，1|PF1I|十 1,0x≤1， 1lPF2|=x+1+|x-1|+2y=x+1+|x-1|+2y=4,即y= 画出 2-x,1<x≤2. 此函数的图象，并结合对称性可得点P的轨迹是如图所示的六边形 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 H 由图可知，PQ的最小值为图中点A(1,)到直线1的距离AH=1+2-51_25 √5 9ABD因为a,的公差d-号2，所以a,=a:-d=1.A正确易得点F的坐标为1， 0),C错误.PF|=a。十1，因为{am}是等差数列，所以数列{PFI}是等差数列，且P,F +1P,F1十+1PF=50X1+50X49×2+50X1=250,B.D均正确. 2 10.Bcgx)=2sim(8x-平+）=2sim(8x+),依题意可得fx)=2sim(4r+)f(a 一希)=2sin4,A错误.fx)的最小正周期为纤-受B正确.由/(-一)=0，得f)的 图象关于点（一袋0）对称.C正确由x[一牙无]，得4红+登∈[一是]，则f)在 [一牙，]上的最大值为2sim号-，D错误. 1.ACD因为41,2)=2+号1.d1.3)=号+号号所以e1,2)=:1.8)=1.A正确 因为d(m,n)=d(n,m),所以e(m,n)=e(n,m),B错误.由题意，当m,n,p∈N且1<m <n<p时d0mm)2引=2日）)<品≤1.同理得dm,p)=2品方)<品≤ mn 1dm,p）=2日b)<号<1.所以dm,p）=dmm)+d,p.且cm,p）=dm,p e(m,n)=d(m,n),e(n,p)=d(n,p),所以e(m,p)=e(m,n)十e(n,p)恒成立，C正确. 设a,b,c是集合N”中三个互不相等的元素，不妨假设1≤a<b<c. 因为e(a,b)≤1，e(b,c)≤1，e(c,a)≤1，所以e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)≤3， 当a=1时da,6)=2日若)=2-君>1.dae)=2-2>1.d6.c)=2合2） <1,则e(a,b)=e(c,a)=1,e(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)<3. 当a>1时，d(a,b)<1,d(a,c)<1,d(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)<3,所以集合 N'中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)十e(b,c)十e(c,a)=3,D正确. 12.√14因为x的实部为(x+1)(x-1)-(yi)2=x2+y2-1=13,所以x2+y2=14,故x的 最大值为√14. 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 13.243设这个正方体的内切球的半径为R,由4πR=12π，得R=√3，则这个正方体的棱长 为2√3，故这个正方体的体积为(23)3=243. 将这组数据按照从小到大的顺序排列为1,1,2,3,3,4,4,5,6，则这组数据的中位数为 3.若删除的数字是4或5或6，所得一组新数据的中位数也是3：若刷除的数字是1或2或 3,所得一组新数据的中位数是3.5.故所求概率为g 15.（1)证明：依题意可得a的公比为。=瓦，h.的公比为号-之，…2分 b红2 所以a,-66-2×号》'（或） 6分 则anbn=2,故ab为定值.…7分 (2)解：(an-bn)2=2-4+4 , …9分 …10分 11 =22+1 22#+ 4 1-2 -4n+4× -=2+1-4n十2- 2m· …13分 16.解：(1)根据全概率公式可得，p1=0.4×0.3十0.4×0.2十0.2×0.5=0.3，…2分 p2=0.3p十0.2X0.7+0.5(0.3-p)=0.29-0.2p,…4分 p3=0.4p十0.4X0.7十0.2(0.3-p)=0.34十0.2p.…6分 因为0<p<0.3,所以0.29-0.2p<0.29<0.3<0.34<0.34+0.2p,故p3>p1>p2. … …8分 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3，…9分 P(X=0)=(1-0.4)×(1一0.2)×(1-0.7)=0.144，…10分 P(X=1)=0.4×(1-0.2)×(1-0.7)+0.2×(1-0.4)×(1-0.7)+0.7×(1-0.4)×(1 0.2)=0.468,…11分 P(X=2)=0.4×0.2×(1-0.7)+0.4×0.7×(1-0.2)+0.2×0.7×(1-0.4)=0.332, …12分 P(X=3)=0.4×0.2×0.7=0.056,… 13分 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.144 0.468 0.332 0.056 040040440e00e040ee40年0044…40044…t0040.40040404004044004040040e40040e40040000040040e404年00e0444400t40t 14分 故E(X)=1×0.468十2×0.332+3×0.056=1.3.…15分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 17.(1)解：因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=√2，所以AB⊥AE,且BE=2,·1分 因为四边形BCDE为正方形，所以AA,=BC=BE=2.…2分 在直五棱柱ABCDE-A,B,C1D1E:中，AA,⊥底面ABCDE, 所以该五棱柱的体积V-(号×，2×，反+2×2)×2=10， …3分 (2)证明：在直五棱柱ABCDE-A,B,C,D,E,中，BB1⊥底面ABCDE, 则BB1⊥AB.…4分 因为∠ABD=∠ABE+∠EBD=牙X2=,所以AB1BD,…5分 因为BB1∩BD=B,所以AB⊥平面BDD1B1,· 6分 又ABC平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面BDD1B1,… …7分 (3)解：易证EB,ED,EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图 E 所示的空间直角坐标系，…8分 则B(2,0,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),E1(0,0,2),A1(1,-1,2), …9分 BA=(-1,-1,2),A1E=(-1,1,0),B1D=(-2,2,-2).… …10分 设平面A1BE1的法向量为m=(x,y,之)，则m·BA=m·A,E,=0, 即一x一y十2之=一x十y=0,…11分 取x=1,得m=(1,1,1).… …12分 em.a1-惯g2-分 1-21 故直线B,D与平面A,BE:所成角的正弦值为3· 15分 18.(1)解：当a=0时，f(x)=x3e,则f(x)=(x3十3.x2)e.…1分 当x<-3时，f'(x)<0,当x≥-3时，f'(x)>0,…3分 故f(x)的单调递减区间为（一o∞，一3），单调递增区间为[一3，十∞).…5分 (2)证明：若不等式f(x)<e对x∈(0，+∞)恒成立，则x3-a.x<e对x∈(0，十∞)恒成 立，即a>C对x(0,十oo)恒成立.…7分 设g(x)=C(r>0,则g'x)=2x-x1DC …8分 因为{x|2x3<(x-1)e,x>0}={xx>n},且{x2.x3>(x-1)e,x>0}={x|0<x< m},所以当0<x<m时，g’'(x)>0,g(x)单调递增，当x>m时，g'(x)<0,g(x)单调 递减，…… …9分 所以g()m=g(m）=m3-e …10分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 故m-€，即am十e0m,,】分 ③谨绸：要证h2<书e>-1D.只带证十2h+2TS十e e+l (江>1），…12分 即证[ln(x十2)]3er+2》≤(.x十1)2e+l(x>-1).…14分 由(1)知f(.x)=x3e在[-3，+oo)上单调递增，且当x>-1时，ln(x十2)>0，x十1>0， 所以只需证ln(x十2)x十1(x>一1).…15分 设hr)=x十1-1nx十2)(ax>-1),则'(r)=士号>0，h(x)为增函数. x+2 …16分 1n(x+2)]3(.x+1) 所以h(x)>h(一1)=0，则ln(x十2)<x十1(x>一1)得证，从而 x+2(z >-1)得证 …17分 Wa2-b=1, 19.(1)解：依题意可得 1149 …2分 a 62=1, 解得a2=4,b2=3. 放C的方程为号+苦1 …4分 (2)(i)证明：依题意可设直线1的方程为x=my+1(m≠0)，M(x1,y1),N(x2,y2), P(x2,-y2). …5分 x=my+1, 联立x 得(3m2十4)y2十6my-9=0,…6分 +3 =1. 9 由韦达定理得y1十y:= 6m 3m2+4'y1y2= 3m2+4' …7分 则直线PM的方程为y一y=士兰（一， 8分 x1一x2 即y=兴，y+y=当十2(x-y十) x1一x2x1一x2 yi+y …9分 xy1+x1y2_(my2+1)y1+(my1+1)y:_2my1y2+y1+y yi+ye y1+y2 y1+y2 -18 一6m 3m2+432+4 =4. 11分 -6m 3m2+4 则直线PM的方程为y=1兰(x一4)，故直线PM过定点(4,0).…12分 x1-x2 (i)解：MQ1IHQ1=M夜·H戒=M夜·(N-Ni)L. 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 因为NH⊥MH,所以MQ.Vi=O, 所以MQ1|HQ1=M反·N反=|(4-x1)(4-x2)+y1y2…14分 =1(my1-3)(my-3)+y1y2 =|(m2+1)y1y2-3n(y1+y2)+9 -ow+++9 21 3m2+4, …16分 当m=0时，MQIIHQ取得最小值，但此时1的斜率不存在，故MQ1IHQ不存在最 小值.…17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 鼠 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 地 1.已知集合A={(x,y)川x=y,B={(x,y)川x=y3),则A∩B中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 如 部 2若双通线 -少=1的离心率为5，则该双曲线的焦距为 m 长 A.22 B.2/5 C.10 D.2√/10 4 R 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b十c= ,oasB-行，则△ABC的形状是 斯 A.等腰三角形 B钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定的 辐 4(停-) 展开式中的常数项为 微 菌 A.-250 B.-1250 C.250 D.1250 5.曲线y=x1nx在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A号 B.1 c x2+4x十3，x≤0， 6.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点，则a的取值就 1+logix,x>0. 围为 A.(-1,3] B.[0,3] C.(-1,0] D.(3,+o∞)U{-1} 紧 T,在体积为9的三棱锥P-ABC中，B币=2D心，B克=2E,则三棱锥A-BDE的体积为 A.6 B.5 C.4 D.3 【高三数学第1页（共4页）】 8.出租车几何，又称曼哈顿距离(Manhattan Distance)),最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基 在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点A(x1,y1),B(x2, y2),则A,B两点之间的曼哈顿距离为|川AB|川=|x1一x2|十|y1一y2.已知点F:(一1,0)， F2(1,0),动点P满足|川PF1I川+1川PF2|=4,Q是直线l:x+2y-5=0上的动点，则|PQ 的最小值为 得 号 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P.(n∈N")在C上，其横坐标为am,若{am}是等差数 列，且a2=3,a5=9,则 A.a=1 B.数列{IP,F}是等差数列 C点F的坐标为(2,0) D.|P1F1+|P2F|++|P0F1=2550 10.将函数g(x)=sim(8x-T)+3cos(8x一不)图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到函数f(x)的图象，则 Af(x-8)为偶函数 &f(x)的最小正周期为受 Cf(x)的图象关于点（一80）对称 Dfx)在[一舜}上的最大值为2 m,m<n, 11.定义min{m,n}= 对于集合N”中的任意两个元素m,n,定义d(m,n) n,n≤m. 是+n,em,m）=in(dm,m,1.若em,m)eea,m),则称em,n具有 mn 对称性.下列判慨正确的是 A.e(1,2)=e(1,3) B.若d(m,n)≥1，则e(m,n)不具有对称性 C.对于任意m,n,p∈N"且1<m<n<p,e(m,p)=e(m,n)十e(n,p)恒成立 D.集合N"中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)十e(b,c)十e(c,a)=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数之=(x+1+yi)(x一1一yi)(x,y∈R)的实部为13，则x的最大值为▲ 13.若一个正方体内切球的表面积为12π，则这个正方体的体积为_▲ 14.小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3,1,5,2,3,4,1,4,6.若从这组数据中随机删 除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知{an},{bn}均为等比数列，且a1=b1=√2，a2=2b2=2. (1)证明：anbn为定值. (2)求数列{(an一bn)2)的前n项和S. 16.(15分) 甲、乙、丙三人各自计划去呼和浩特市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天 到达呼和浩特市，他们在哪一天到达呼和浩特市相互独立，且他们各自在5月13日到5月 15日到达呼和浩特市的概率如下表所示(p>0,q>0,p十q=0.3): 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 P甲 0.4 0.4 0.2 Pu 0.3 0.2 0.5 P因 ǎ 0.7 q (1)若甲、乙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为1，乙、丙两人在同一天到达呼和浩特 市的概率为p2,甲、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为p3,比较p1,p2,ps的 大小： (2)设甲、乙、丙三人中在5月14日当天到达呼和浩特市的人数为X,求X的分布列与 期望. 17.(15分) 如图，在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，四边形BCDE为正方形，△ABE为等腰直角 三角形，AB=AE=√2，AA1=BC (1)求该五棱柱的体积 D (2)证明：平面ABC1⊥平面BDD1B1, (3)求直线B1D与平面A1BE1所成角的正弦值， 【高三数学第3页（共4页）】 8.(17分) 已知函数f(x)=(x3-ax)c. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间. (2)已知集合{x|2x3<(x-1)e,x>0}=(x|x>m),且{zx|2x3>(x-1)e2,x>0}= {x|0<x<m}.若不等式f(x)<e2对x∈(0，十∞)恒成立，证明：am十e">m3. （3i证明，nc+2<+'(e>-1D. e+l x十2 学 .(17分) $ 已知椭圆C十1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且C过点A(1,多)y 8 (1)求C的方程， (2)过点F的直线1（斜率存在且不为O)与C交于M,N两点，N关于x轴的对称点为P. (1)证明：直线PM过定点. (i)记直线PM过的定点为Q,过点N作直线PM的垂线，垂足为H,试问|MQ|IHQ 幅 是否存在最小值？若存在，求最小值：若不存在，请说明理由 够 【高三数学第4页（共4页）】