甘肃省甘肃省兰州第一中学2023-2024学年下学期5月中考二模数学试卷

第 1页（共 8页） 5 月模拟考数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．﹣64的立方根是（ ） A．﹣4 B．4 C．±8 D．±2 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分 别为 v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程 s与所用时间 t的函数关系图象可能 是（ ） A． B． C． D． 4．2000年某区有 15000名学生参加高考，为调查他们的数学考试情况，评卷人抽取了 800名学生的数学 成绩进行统计，那么下列四个判断正确的是（ ） A．每一名学生的数学成绩是个体 B．15000名学生是总体 C．800名考生是总体的一个样本 D．上述调查是普查 5．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝ ∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列因式分解最后结果正确的是（ ） 第 2页（共 8页） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．﹣x2+6x﹣9＝（x﹣3）2 7．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点 A落在 A′处，BC为折痕，然后再把 BE折过去，使 之与 BA'重合，折痕为 BD，若∠ABC＝56°，则求∠E'BD的度数（ ） A．29° B．32° C．34° D．56° 8．已知点 P（x﹣1，﹣3）在第四象限，则 x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A． B． C． D． 9．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、 二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有 2 匹马、1头牛的总价超过 10000 钱，其超出的钱数相当于 2 1 匹马的价格.1匹马、2头牛的总价不足 10000钱，所差的钱数相当于 2 1 头牛 的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为 x钱，每头牛的价格为 y钱，则依据 条件可列方程组为（ ） A．         yyx xyx 2 1100002 2 1100002 B．         yyx xyx 2 1100002 2 1100002 C．         xyx yyx 2 1100002 2 1100002 D．         xyx yyx 2 1100002 2 1100002 10．如图是一台圆形扫地机器人示意图，其两侧安装可以转动的毛边刷，毛边刷伸出 5cm，扫地机器人可 以在矩形场地内任意移动，为了将场地边角清扫干净，则该扫地机器人的最大直径（结果取整数）是 （ ） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 第 3页（共 8页） 11．已知∠AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图： ①在 OA边上取一点 D，以 O为圆心，OD长为半径画MN ，交 OB于 点 C，连接 CD． ②以 D为圆心，DO长为半径画GH ，交 OB于点 E，连接 DE，此时有 ∠CDE＝30°．则∠AOB的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 12．已知代数式 A＝a+b+c，B＝a﹣b﹣c，其中 a＞b＞c＞0，在代数式 A中任取两项相减后再求差的绝对 值，同时在 B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为 A′、B'，这 样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式 A中选取+b、+c，在代数式 B中选取 a、﹣b，进行“换 差绝对运算”，得到 A′＝a+|a﹣（﹣b）|＝2a+b，B′＝|b﹣c|﹣c＝b﹣2c．下列说法正确的个数是（ ） ①存在某种“换差绝对运算”，使得 A＝A′，B＝B'；②存在某种“换差绝对运算”，使得 A'＝B'； ③在“换差绝对运算”中，B'有 9种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．若关于 x的一元二次方程 x2+4x+k＝0有实数根，则 k的取值范围是 ． 14．已知闭合电路的电压为定值，电流 I（单位：A）与电路的电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，根 据下表，则 a＝ ． 15．如图，⊙O的半径为 5，直径 AB⊥CD，以 B为圆心，BC长为半径作CED，则CED与CAD围成的 新月形 ACDE（阴影部分）的面积为 ． 16．如图，在正方形 ABCD中，AB＝6，点 E，F分别在边 CD，AD上，且 DE＝AF，连接 AE，BF交于 点 G，连接 CG并延长交 AD于点 H，则 DH的最小值为 . 三．解答题（共 12 小题，共 72 分） 17．（4分）计算：    2013 230tan321327   ． 第 4页（共 8页） 18．（4分）解不等式组：          1 3 22 1325 xx xx ． 19．（4分）解方程： 22 32 1    xx x ． 20．（5分）已知：如图，▱ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E， F．求证：BE＝DF． 21．（6分）某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加亚运知识竞赛，举行了 6次选拔赛，根据两位同 学 6次选拔 赛的成绩，分别绘制了如图统计图： （1）根据统计图，得 a＝ ，b＝ ； （2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？ 请说明理由． 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 90 a 93 3 86 乙 90 87.5 b 3 100 第 5页（共 8页） 22．（6分）如图，一次函数 y＝mx+n（m≠0，m，n是常数）与反比例函数 y＝ x k （k≠0）在第二象限的 图象交于点 A（﹣1，a），B两点，与 x轴、y轴分别交于点 C、点 D，且 OC＝OD＝3． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接 OA，求△AOC的面积． 23．（6分）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位 于点 A处的家中购买了位于点 K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点 K处取 餐，然后进行配送．根据导航显示，点 K在点 A的南偏西 30°方向 2800 米处，点 A在点 B的北偏 东 75°方向，B、K两地相距 2400 米（∠ABK＜90°），点 C在点 K的正西方向，点 D分别在点 K、 点 A的正东方向和正南方向．（参考数据： 41.12  ， 24.25  ， 45.26  （1）求 AB的长度； （2）骑手在点 C处收到派单后立即赶往点 K处取餐并开始配送，由于道路 K﹣A正在维修，骑手有两 条送餐路线可选择：①K﹣B﹣A，速度为每分钟 320米；②K﹣D﹣A，速度为每分钟 240米．请通过 计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 24．（6分）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材 1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 20m，宽为 1m的矩形， 其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 5m．以矩形长的中点为原点 O，竖直 方向为 y轴，水平方向为 x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为 P． 素材 2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光 灯在距离地面 3.5m时补光效果最好． （1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； （2）若在距离 B处水平距离 7.5m的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯 的大小忽略不计） 第 6页（共 8页） 25．（6分）如图，已知直线 PA交⊙O于 A、B两点，AE是⊙O的直径，点 C为⊙O上一点，且 AC平分 ∠PAE，过 C作 CD⊥PA，垂足为 D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若 DC+DA＝6，⊙O的直径为 10，求 AB的长度． 26．（7分）小王在学习中遇到了这样一个问题： 如图 1，在菱形 ABCD中，对角线 AC＝8cm，BD＝6cm，点 P是 AC上的动点，E是 AB的中点，连接 PE，PB，当△PBE是等腰三角形时，求线段 AP的长度． 小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探 究过程补充完整： 根据点 P在 AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AP，PE，PB的长度，得到下表的几组对应 值． AP/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PE/cm 2.5 1.8 1.5 1.8 m 3.4 4.3 5.2 6.2 PB/cm 5.0 4.2 3.6 3.2 3 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）m的值是 ； 第 7页（共 8页） （2）将线段 AP的长度作为自变量 x，PE，PB的长度都是关于 x的函数，分别记为 y1，y2，并在平面 直角坐标系 xOy中画出了 y1的函数图象，如图 2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出 y2的 函数图象． （3）观察图象，可知函数 y1有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出 y1的最小值．（写出准 确值） （4）根据图象，在点 P从 A移动到 C的过程中，当△PBE是等腰三角形时，直接写出 AP的长．（结 果精确到 0.1cm） 27．（9分）综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图 1，△ABC和△ADE是共顶点的等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°． 问题初探 （1）如图 2，当点 D在直线 BC上时， ①求证：AC⊥CE． ②推断：CE与 BD的比值． 问题深入 （2）当点 D不在直线 BC上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图 1说明理由． 问题解决 （3）如图 3，点 O是正方形 ABCD的中心，点 E在直线 BC上运动，连接 OE，过点 E作 EF⊥OE，且 EF ＝OE，连接 OF，CF． ①正方形 ABCD的边 BC上是否存在一点 M，使 CFME 2 2  恒成立？若存在，直接写出点 M的位置； 若不存在，说明理由． ②连接 DF，若正方形 ABCD的边长为 4，设 EB＝x，DF＝y，当 x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 第 8页（共 8页） 28．（9分）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转 30°得到斜坐标系．如图 1，在斜坐标系 xOy中， 对于该平面内的任意一点 P，过点 P分别作 y轴，x轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为 m与 n， 则称有序数对（m，n）为点 P的坐标．对于任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）和常数 k（k＞0），定 义 dk（P1，P2）＝|x1﹣x2|+k|y1﹣y2|为点 P1与 P2的“k﹣度量”． 如图 2，在斜坐标系 xOy中，已知点 A（1，2），B（3，2），回答下列问题： （1）点 A与点 O的“  2 1 度量”为 ； （2）已知点 C（0，c），过点 C作平行于 x轴的直线 l． ①当 c＝﹣2时，求出直线 l上与点 O的“  2 1 度量”为 2的点的坐标； ②若直线 l上存在与点 O的“  2 1 度量”为 2的点，求出 c的取值范围； （3）已知点        2 1, 2 1mM ，        2 1, 2 1mN ，若线段 AB上存在点 P，在线段 MN上存在点 Q，使得 d1（P，Q）＝5，直接写出 m的取值范围．