精品解析：广东省惠州市光正实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

惠州市光正实验学校2023-2024学年度第一学期期中考 高二数学试题 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩80分，第二部分（解答题）卷面成绩70分 2.考试时间120分钟. 3.请在答题卡上答题. 第一部分 客观题（共80分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）． A. 长轴长为2 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 3. 若事件A与B互为互斥事件，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（ ） A. B. C. 相互独立 D. 互斥 6. 在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ） A. B. C. D. 2 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 108 D. 117 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求，少选且正确得2分） 9 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 10. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 11. 已知直线和圆，则（ ） A 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 12. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分） 13. 若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则______． 14. 已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______. 15. 在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为__________. 16. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 第二部分 解答题（共70分） 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 18. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． （1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． （1）设平面的法向量为，求的值; （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 20. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 21. 已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|值. 22. 如图，在四棱柱中，平面，，，，， 为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市光正实验学校2023-2024学年度第一学期期中考 高二数学试题 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩80分，第二部分（解答题）卷面成绩70分 2.考试时间120分钟. 3.请在答题卡上答题. 第一部分 客观题（共80分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）． A. 长轴长为2 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此确定正确答案. 【详解】依题意椭圆， 所以， 所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误. 离心率为，D选项正确. 故选：D 3. 若事件A与B互为互斥事件，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件概率公式即得. 【详解】∵事件A与B互为互斥事件，， ∴. 故选：D. 4. 设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得平面的法向量与平面的法向量共线，建立等式解出即可. 【详解】解：因为，则平面的法向量与平面的法向量共线， 即，即，解得. 故选：A 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（ ） A. B. C. 相互独立 D. 互斥 【答案】C 【解析】 【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为， 则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：， 事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：， 而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误； 显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生， 因此，事件A与事件B不互斥，故D错误； 因为，则， 所以A与B相互独立，故C正确. 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】首先确定B关于y轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求. 【分析】由题设，故. 故选：C 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 8. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 108 D. 117 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值. 【详解】∵ ∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值． 易知P，Q两点在l的同一侧， 设点P关于l对称的点， 则，解得，∴， 故． 故选：A. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求，少选且正确得2分） 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】空间向量模的坐标计算可以验证选项A， 向量坐标减法运算验证选项B， 两向量数量积为0验证选项C， 利用向量共面条件验证选项D. 【详解】因为， 所以， ， 所以A正确； ， 故B正确； ， 故C不正确； 由， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A；结合对立事件的概率关系可判断B；再由相互独立事件的概率公式可判断C；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D. 【详解】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则： A．根据概率公式有： B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率 C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为 D．所求概率为 故选：ACD 11. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 12. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D. 【详解】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误． 该几何体的体积为，B正确． 设EF的中点为，连接OB，OH，则, 则即二面角的平面角．，，C正确． 建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分） 13. 若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：5 14. 已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可. 【详解】由题知，， 所以 所以， 所以到直线的距离为， 故答案为：2 15. 在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率. 详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军， 故估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 16. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 第二部分 解答题（共70分） 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l (2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l 【详解】（1）由，得， ∴与的交点为. 设与直线平行的直线为， 则，∴. ∴所求直线方程为. （2）设与直线垂直的直线为， 则，解得． ∴所求直线方程为. 【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1． 18. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． （1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 【答案】（1）24.4小时 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式直接计算可得； （2）列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 甲班样本数据的平均值为， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时； 乙班样本数据的平均值为， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时． 【小问2详解】 由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为， 从中任取2人，有，共10种可能， 其中都来自甲班的有，共3种可能， 所以所求概率． 19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． （1）设平面的法向量为，求的值; （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解； （2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）． 【小问1详解】 由题可知， ， 则即 解得 ； 【小问2详解】 ， ∴， 又， ∴， 故异面直线与所成角的余弦值为． 20. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（１）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 21. 已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据离心率求得，进而可得椭圆方程； （2）由题设有，联立椭圆方程求得，，应用两点距离公式即可求弦长|AB|. 【小问1详解】 在△中，则， 所以，故，又，则，故， 所以椭圆E的标准方程. 【小问2详解】 由题设，直线，即， 联立并整理得：，可得，， 所以，，即，， 故. 22. 如图，在四棱柱中，平面，，，，， 为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，平面，可知点到平面的距离等于，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积； （2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，可得出向量的坐标，进而可求得线段的长. 【小问1详解】 解：因为平面，平面， 所以，， 又因为，，、平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以，平面， 故点到平面的距离等于， 所以，. 【小问2详解】 解：由平面，，以点为坐标原点， 分别以、、所在直线为轴、轴、轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设，其中，则， 记直线与平面所成角， 则， 整理可得，解得（舍）或. 所以， 故线段的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$