广东省惠州市光正实验学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

惠州市光正实验学校2022-2023学年度第一学期期中考试 高一数学参考答案 1．D 【分析】根据交集和补集的运算，可得答案. 【详解】，∴. 故选：D. 2．C 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，解得答案. 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为， 故选：C. 3．B 【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即可作答. 【详解】函数，所以. 故选：B 4．B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是18， 故选:B. 5．B 【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间. 【详解】观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为. 故选：B 6．B 【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项. 【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为， 判断四个选项，只有和符合， 又因为时，有的函数值是负数，例如不符合， 所以只有成立， 故选：B. 7．A 【分析】构造奇函数，求出，利用奇函数定义求得，然后可得． 【详解】令，则，为奇函数， 又， 所以，则， 所以， 故选：A. 8．D 【解析】根据，将不等式对任意实数x成立，转化为对任意实数x成立，利用判别式法求解. 【详解】， 则不等式对任意实数x成立， 即对任意实数x成立， 即对任意实数x成立， 所以， 解得 故选：D 【点睛】本题主要考查运算新定义和一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 9．ABC 【解析】利用作差法可判断ABC选项的正误；取可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，则，A选项正确； 对于B选项，，则，B选项正确； 对于C选项，，则，C选项正确； 对于D选项，取，则，D选项错误. 故选：ABC. 10．AD 【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C. 【详解】命题“”的否定是“”，A对， 当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错， 当时，，C错， 由可得，所以是的充分条件，D对， 故选：AD. 11．ABD 【分析】结合的图象，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项. 【详解】根据图象可知： 时，，A选项正确. 在递减，在上递增， 由于是奇函数，所以在递减，在上递增， 所以B选项正确，D选项正确. 由于在上递增，所以，所以C选项错误. 故选：ABD 12．ACD 【分析】根据狄利克雷函数的定义域，分别设和两种情况分别讨论函数，再依次判断选项. 【详解】A选项：当，则，，则， 当，则，，则，即对任意，都有，故A正确； B选项：当，则，则，，此时，故B错误； C选项：当，有，则，此时； 当，有，则，此时； 综上恒有成立，故C正确； D选项：∵恒成立，∴对任意a，，都有，故D正确. 故选:ACD． 13． 【分析】由根式运算计算即可. 【详解】 故答案为： 14．16 【分析】按阶梯水价依次计算分析即可. 【详解】按“不超过的部分”水价计算，最多用水，水费为12×3＝36元， ∵60元＞36元，故该户居民用水量超过了， 按“超过但不超过的部分”的水价计算，这一段最多用水，水费为6×6＝36元， ∵36＋36＝72元＞60元，故该户居民用水量介于和之间，其中按6元/计费的用水量为(60－36)÷6＝4， ∴该户居民用水量为12＋4＝16. 故答案为：16. 另解： 设用水量为x，水费为y元，则， 时，若y＝60，则，不符合； 时，若y＝60，则，符合， 故用水量为16. 故答案为：16. 15．9 【解析】根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解. 【详解】，当且仅当 时取等号． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 16．k<2或k>3 解析：依题意，在定义域内，f(x)不是单调函数．易知f(x)＝2x2，x>1为增函数，且x＝1时，2x2＝2，则<1或－1＋k>2，解得k<2或k>3. 17．（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可. 【详解】解：（1） . （2）. 【点睛】本题考查分数指数幂的计算，注意处理与根式有关的计算问题时，可先把根式化成分数指数幂后再根据指数幂的运算规则计算，本题属于基础题. 18．(1) (2) 【分析】（1）解不等式，求出，进而求出交集； （2）根据条件得到，比较端点，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1），解得，故， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 解得：， 所以实数a的取值范围为 19．（1）；（2）不等式解集为 【分析】（1）利用韦达定理求出即得解； （2）解一元二次不等式即得解. 【详解】解：（1）因为是函数的零点，即或是方程的两个实根， 所以，从而， ，即， 所以． （2）由（1）得，从而即， 所以， 解得或．所以不等式解集为 20．(1) ;(2) . 【详解】试题分析：根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义求出的解析式； 若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围． 解析：（1）由 或 又为偶函数，则：此时：. （2）在上不是单调函数，则的对称轴满足 即：. 21．（1）y＝；（2）300辆；25000元． 【分析】（1）根据题意总成本为(20 000＋100x)元，由利润＝总收益－总成本即可求解. （2）由（1）当0＜x≤400时，配方可求出最大值；当x＞400时，根据一次函数的单调性可求出最大值，进而求出自行车厂的最大利润. 【详解】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则 y＝， (2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，ymax＝25 000； 当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000. 所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元． 【点睛】本题考查了分段函数模型的应用，考查了考生的分析问题的能力，属于基础题. 22．(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【分析】（1）利用赋值法构造奇偶性的定义即可证明； （2）利用定义证明单调性即可； （3）根据已得知的单调性，将其转化为一次函数的问题即可求实数的取值范围． （1） 因为有， 令，得，所以， 令可得：， 所以，又因为 故为奇函数． （2） 由（1）可知是定义在，上的奇函数， 由题意设，则 由题意时，有， 是在上为单调递增函数； （3） 由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为 所以要使，对所有，恒成立，只要， 由，可得 解得 所以实数的取值范围为 【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，转化思想，和赋值法解决抽象函数的问题，属于中档题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 惠州市光正实验学校2022-2023学年度第一学期期中考试 高一数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 答题区域书写无效。 正确填涂 缺考标记 考  号                     [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 客观题(1~8为单选题;9~12为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 填空题 13. 14. 15. 16. 解答题 17. 18. 19. 20. 21. 22. 第 1页，共 4页 惠州市光正实验学校 2022-2023 学年度第一学期期中考试 高一数学试题 命题人：赖创希 审核人：邓伍凌 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩 80分，第二部分（解答题）卷面成绩 70分 2.考试时间 120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题（共 80 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目 的一项） 1．已知全集  1, 2,3, 4U  ，集合  1,2A  ，  2,3B  ，则  U A Bð 等于（ ） A． 1,2,3,4 B． 3, 4 C．{3} D．{4} 2．函数 1( ) 3 2 f x x x     的定义域是（ ） A．[ 3, 2)  B．[ 3, )  C． [ 3, 2) ( 2, )    D． ( , 2) ( 2, )     3．设 , 0 1( ) 2( 1), 1 x xf x x x       ，则  1 2 4 f f       （ ） A． 1 2 2  B． 5 2 C． 32 2  D． 1 2 4．已知 0m  ， 0n  ， 81mn  ，则 +m n的最小值是（ ） A．9 B．18 C．9 3 D．27 5．若函数  f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ） A．  4, 1  ， 1,4 B． 1,1 C． 4,4 D．  2 2 , 第 2页，共 4页 6．我们从商标 中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是 ( )f x （ ） A． 1 | 1|x  B． 1 || | 1 |x  C． 2 1 1 x D． 2 1 1 x 7．已知   3 2022f x ax bx   ，其中 a，b为常数，若  2 2f   ，则  2f （ ） A．4042 B．2024 C．－4042 D．－2024 8．在 R上定义运算  : 1x y x y    ．若不等式    1 1x a x    对任意实数 x成立，则（ ） A． 1 1a   B． 2 0a   C．0 2a  D． 2 2a   二、多选题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求，少选且 正确得 2 分） 9．设 0b a  ， Rc ，则下列不等式中正确的是（ ） A． a b B． 1 1 a b  C． 2 2 a a b b    D． 2 2ac bc 10．下列命题正确的是（ ） A．命题“ 2R, 1 0x x x     ”的否定是“ 2R, 1 0x x x     ” B． 0a b  的充要条件是 1 b a   C． 2R, 0x x   D． 1 1a b ， 是 1ab  的充分条件 11．奇函数  y f x 在  4,0x  的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ） A．当  4,0x  时 ( )f x   2 ,2 B．函数  f x 在  2,4 上单调递减 C． 1 3 2 2 f f           D．函数  f x 在 1 12, , , 2 2 2             上单调递增 第 3页，共 4页 12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若     R 1 Q 0 Q x f x x     ð ，则称  f x 为狄利克 雷函数．对于狄利克雷函数  f x ，给出下面四个选项，其中正确的是（ ） A．对任意 Rx ，都有   1f f x    B．对任意 Rx ，都有     0f x f x   C．对任意 1 Rx  ，都有 2 Qx  ，    1 2 1f x x f x  D．对任意 a，  ,0b  ，都有      x f x a x f x b   三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20.0 分） 13．  44 3   ______． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价".计费方法如下表∶ 每户每月用水量 水价 不超过 312m 的部分 3元/ 3m 超过 312m 但不超过 318m 的部分 6元/ 3m 超过 318m 的部分 9元/ 3m 若某用户本月缴纳的水费为 60元，则此户居民本月用水量为______ 3m . 15．正实数 ,x y 满足： 2 1x y  ，则 2 1 x y  的最小值为_____. 16．已知函数 f(x)＝ －x2＋kx，x≤1， 2x2，x>1， 若存在 a，b∈R，且 a≠b，使得 f(a)＝f(b)成立，则实数 k的取值范围是 . 第二部分 解答题（共 70 分） 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（共 10分）化简求值：（1） 10 22 0.53 9 12 2 ( ) 5 4 100               ； （2） 5 7 63 3a a a  . 第 4页，共 4页 18．（共 12分）已知  3 2 1A x x     ，  1 2B x a x a     , Ra ． (1)当 a＝1时，求 A∩B； (2)若 A∪B＝A，求实数 a的取值范围． 19．（共 12分）已知二次函数 2( ) 3f x ax bx   ，且 1,3 是函数  f x 的零点． （1）求  f x 的解析式； （2）解不等式   3f x  ． 20．（共 12分）已知幂函数    2 15 7 mf x m m x    为偶函数. （1）求  f x 的解析式； （2）若     3g x f x ax   在 1,3 上不是单调函数，求实数 a的取值范围. 21．（共 12分）共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的 问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共 享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为 20 000元，每生产一辆新样式 单车需要增加投入 100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数 h(x)＝ 21400 ,0 400 2 80000, 400 x x x x        ，其中 x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． （1）试将利润用 y元表示为月产量 x的函数； （2）当月产量 x为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 22．（共 12分）已知函数 ( )f x 定义域为[ 1,1] ，若对于任意的 , [ 1,1]x y  ，都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ， 且 0x  时，有 ( ) 0f x  . (1)证明： ( )f x 为奇函数； (2)证明： ( )f x 在[ 1,1] 上是增函数； (3)设 (1) 1f  ，若 ( ) 2 2f x m am   ，对所有 [ 1,1]x  ， [ 1,1]a  恒成立，求实数 m的取值范围. 惠州市光正实验学校2022-2023学年度第一学期期中考试 高一数学试题 命题人：赖创希 审核人：邓伍凌 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩80分，第二部分（解答题）卷面成绩70分 2.考试时间120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题（共80分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集，集合，，则等于（    ） A． B． C．{3} D．{4} 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值是（    ） A．9 B．18 C． D．27 5．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（    ） A．， B． C． D． 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知，其中a，b为常数，若，则（    ） A．4042 B．2024 C．－4042 D．－2024 8．在R上定义运算．若不等式对任意实数x成立，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求，少选且正确得2分） 9．设，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 11．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时 B．函数在上单调递减 C． D．函数在上单调递增 12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面四个选项，其中正确的是（    ） A．对任意，都有 B．对任意，都有 C．对任意，都有， D．对任意a，，都有 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分） 13．______． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价".计费方法如下表∶ 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某用户本月缴纳的水费为60元，则此户居民本月用水量为______. 15．正实数 满足：，则的最小值为_____. 16．已知函数f(x)＝若存在a，b∈R，且a≠b，使得f(a)＝f(b)成立，则实数k的取值范围是 . 第二部分 解答题（共70分） 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（共10分）化简求值：（1）； （2）. 18．（共12分）已知，,． (1)当a＝1时，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 19．（共12分）已知二次函数，且是函数的零点． （1）求的解析式； （2）解不等式． 20．（共12分）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 21．（共12分）共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝，其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． （1）试将利润用y元表示为月产量x的函数； （2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 22．（共12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有. (1)证明：为奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$