广东省惠州市光正实验学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

惠州市光正实验学校2022-2023学年度第二学期期中考 高一数学试题 说明: 1.本试卷分为两部分,第一部分(客观题)卷面成绩80分,第二部分(解答题)卷面成绩70分 2.考试时间120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题(共80分) 一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1.化简所得的结果是( ) A. B. C. D. 2.i是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为( ) A.2 B. C. D. 3.的值为( ) A. B. C. D. 4.已知向量,满足,,,则( ) A. B. C. D. 5.已知,则( ) A. B. C. D. 6.若棱台的上、下底面面积分别为,高为,则该棱台的体积为( ) A. B. C. D. 7.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形如图所示,若,那么原的面积是( ) A. B. C. D. 8.若在,则三角形的形状一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 二、多选题(本大题共4小题,每题5分,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求,少选且正确得2分) 9.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( ) A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.乐、快、新 D.新、快、乐 10.若复数满足(是虚数单位),则下列说法错误的是( ) A.的虚部为 B.的模为 C.的共轭复数为 D.在复平面内对应的点位于第四象限 11.已知平面向量,,与的夹角为,则( ) A. = 1 B. C. D.在上的投影向量的模为 12.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数,纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音,若一个复合音的数学模型函数f(x),其图象是由的图象向右平移个单位长度,再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的倍,再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到,若,则下列结论正确的是( ) A.f(x)在单调递减 B.的图像关于点(,0)中心对称 C.若一个奇函数的图象向左平移个单位长度后,可得f(x)的图象,则n的最小值为 D.若在有解,则k的取值范围是 3、 填空题(本大题共4小题,每题5分,共20.0分) 13.在中,若,则_. 14.若球的体积是,则球的表面积是_. 15.如图,作用于同一点O的三个力,,处于平衡状态,已知,,与的夹角为,则_. 16.已知函数,,且的最小值是.若关于x的方程在上有2023个零点,则的最小值是_ 第二部分 解答题(共70分) 四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,求:(1)角B; (2)的面积S. 18.(本题满分12分)已知向量,, (1)若与垂直, 求实数的值; (2)若与共线, 求实数的值. 19.(本题满分12分)已知 (1)的值; (2)的值. 20.(本题满分12分)已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的最大值,并写出取得最大值时,自变量的集合; (3)说明由函数的图象经过怎样的变换,可以得到函数的图象. 21.(本题满分12分)如图,在边长为1的菱形中,,E是线段上一点,且满足,设, (1)用表示. (2)在线段上是否存在一点满足?若存在,确定点的位置,并求;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分12分)“我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一块麦田里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者,如图所示,为了分割麦田,他将BD连接,设中边BD所对的角为A,中边BD所对的角为C,经测量已知,. (1)霍尔顿发现无论BD多长,为一个定值,请你验证霍尔顿的结论,并求出这个定值; (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关,记与的面积分别为和,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出的最大值. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 惠州市光正实验学校2022-2023学年度第二学期期中考高一数学参考答案 1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．AD 10．AD 11．AC 12．BCD 【分析】根据平移以及对称轴可得，进而根据三角函数的性质结合选项即可逐一求解. 【详解】由题意可知， 所以， 又，故 为的对称轴， 因此 故, 故，或， 由于，故 ，因此 ， 对于A，,故 在， 单调递增，在单调递减，故在不单调，故A错误； 对于B，,故为对称中心，故B正确； 对于C，将图象向右平移个单位长度后，得到 由于为奇函数，所以, ，所以当时，最小为，故C正确； 对于D，当，，所以有解则，故D正确. 故选：BCD 13． 14． 15． 16． 15． 【分析】先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果． 【详解】解：因为，，三个力处于平衡状态，所以， 所以， 所以, 故答案为：. 16． 【分析】先由条件可求得解析式，再求得的零点，结合正弦函数的图象及性质可得结果. 【详解】由题意化简可得，则，即， 解得． 由，得，则或， 解得或， 结合图象可知：的相邻两个零点之间的距离是或． 要使最小，则m，n都是的解，则． 故答案为： 17．(1) (2). 【分析】(1)正弦定理求解； (2)根据面积公式求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为在中，且，所以. （2）因为， 所以. 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量共线的坐标运算直接求解即可. (1) ，与垂直，，解得：. (2) ，与共线，，解得：. 19．（1）；（2）. 【分析】（1）根据同角公式求出正弦值，再根据二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据商数关系式求出正切值，再根据两角和的正切公式可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以=. （2）= ===. 【点睛】本题考查了同角公式、二倍角的正弦公式和两角和的正切公式，属于基础题. 20．(1) (2)，此时自变量的集合为 (3)答案见解析 【分析】（1）由余弦型函数最小正周期求法可得结果； （2）令可求得的最大值，并求得对应的的集合； （3）根据三角函数平移和伸缩变换原则即可得到结果. (1) 的最小正周期. (2) 当，即时，， ，此时自变量的集合为. (3) 将图象向左平移个单位得：， 将横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍，即可得到. 21．(1)； (2)存在，，点F为靠近B的线段BC的四等分点，． 【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解； （2）假设存在满足题意的点，设，由求得值，即存在，然后把平方，转化为数量积的运算计算出模． （1） ，则， 所以； （2） 假设存在满足题意的点，设， ， ， 由得 ， 解得．即存在点F，使，点F为靠近B的线段BC的四等分点， ， ， ． 22．(1) (2) 【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出是一个定值； （2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值. (1) 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，， 则，； (2) ，， 则， 由（1）知：，代入上式得： ， 配方得：， 当时，取到最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$