精品解析：辽宁省丹东市第五中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024—2025（下）八年级期中教学质量监测 数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 1. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 莲花纹 B. 火焰纹 C. 八卦纹 D. 一阴一阳之谓道 2. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，．将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为，当点E在点C左侧时，连接，若，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 1 B. 4 C. D. 9. 下面是李明同学一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是_______． 12. 若分式的值为0，则x的值是______． 13. 对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 15. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共70分） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简：，然后再从，，0，1，2中，选择一个你喜欢的数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出； （3）可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心坐标和旋转角的度数． 19. 由于临近八年级中考，需考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验前发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了3斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一斤洋葱可供20名同学使用，学校参加生物实验的同学共600人．如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用？ 20. 如图，是的角平分线，交延长线于点D． （1）求证：； （2）过A作交于F，若，，求的长． 21. 综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级个班，共名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活动选①壁画修复②沥金彩绘．古县城内简餐 1．参观植物园2．手工体验活动选①制作植物香囊②制作叶脉书签．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） 学生团体票，可在半价基础上再打折，为元人： 讲解 古县城讲解元团；考古博物馆讲解元团；注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：元人 手工体验活动：元人 用餐 学生简餐：元人 学生简餐：元人 问题解决 （1）设两种方案的费用分别为元和元，则_______，_______． （2）在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 22. “换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： （1）从三种解法中任选一种进行因式分解： （2）小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． （3）请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025（下）八年级期中教学质量监测 数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．） 1. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 莲花纹 B. 火焰纹 C. 八卦纹 D. 一阴一阳之谓道 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、莲花纹不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、火焰纹不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、八卦纹不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、一阴一阳之谓道是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟悉掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法是假设结论不成立，反面成立进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若，则”， 反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设， 故选：D． 4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、该式子的右边分母含有字母，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：平分，， ∴ ∵ ∴ ，， ， ， ， ， 故选：C． 6. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及一次函数的图象，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先判断出的图象是哪个，再由一次函数和的图象可知，一次函数的图象在的图象上方时，对应的自变量的取值范围是，即可求解． 【详解】解：由可知其图象与轴交于负半轴，可判断其函数图象， ∵一次函数和的图象如图所示，其交点为， ∴由一次函数和的图象可知，一次函数的图象在的图象上方时，对应的自变量的取值范围是， ∴不等式的解集为， 则不等式的解集在数轴上表示为： 故选：B． 7. 如图，在中，．将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为，当点E在点C左侧时，连接，若，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离； 根据平移的性质，结合图形，可得，再根据，可得与得关系，即可解答． 【详解】将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为， 当点E在点C左侧时，即为平移的距离， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程有增根求参数问题，根据分式方程有增根得，等式两边同时乘，得，再把代入得，进而可求解，熟练掌握分式方程有增根时的值是解题的关键． 详解】解：分式方程有增根， ， 等式两边同时乘，得：， 将代入得：， 解得：， 故选A． 9. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，证明三点共线，证明垂直平分，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点B恰好落在直线上， ∴三点共线， 由旋转可知，，，，， ∴垂直平分， ∴ ∴垂直平分， 设垂足为，则 ∵中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：D 二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移及点的坐标，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向右平移2个单位长度后，所得点的坐标为， 再向下平移3个单位，所得点的坐标为． 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式的值为，且分式有意义，则分子为，分母不为．根据分式有意义的条件和分式值为的条件列方程和不等式即可得答案． 【详解】解：要使分式的值为， 则，， ∴． 故答案为： ． 13. 对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据题意求出的范围．根据和是“互联”的，可得，即可求解． 【详解】解：∵和是“互联”的， ∴有且仅有一个整数解， 即有且仅有一个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，，求出，在线段截取，利用角平分线性质和等腰三角形定义及外角的性质得，然后设，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， 在线段截取，使， ， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中 即， 解得：，（负值舍去）， 故答案为：. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，勾股定理，此题辅助线的连接是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点．作，设的长为，分别用含的代数式表示出，的长，然后利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值，进而即可得到答案． 【详解】解：作，设的长为，作， 将点绕点顺时针旋转得到点， ，， ， ，，， ，， ， ， 将它们表示在平面直角坐标系上，如图2， 利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值即为的长， ， 故答案为：． 三、解答题（共70分） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键. （1）先提取公因式a，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）变形后提取公因式，再用平方差公式分解因式即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 计算： （1）解不等式组 （2）先化简：，然后再从，，0，1，2中，选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1） （2）；当时，值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式的化简求值．解题的关键是掌握一元一次不等式的解法以及分式化简的运算法则． （1）分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的交集得到不等式组的解集． （2）先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入化简后的式子求值． 【小问1详解】 （1）解：解不等式组 解①得： 解②得： 所以不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ； 要使原式有意义，则分母不能为0，即， 所以， 当时，代入得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别，，． （1）将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出； （3）可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心坐标和旋转角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）旋转中心的坐标为，旋转角的度数为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则可由绕点P逆时针旋转得到， ∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为． 19. 由于临近八年级中考，需考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验前发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了3斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一斤洋葱可供20名同学使用，学校参加生物实验的同学共600人．如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）上周生物老师买的洋葱单价为每斤元 （2）生物老师至少应再买斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设生物老师至少应再买斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用，根据题意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意； ∴上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； 【小问2详解】 解：设生物老师应再买斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用， 由题意可得：， 解得：， ∴生物老师至少应再买斤洋葱才能供给本次参加生物实验的同学所用． 20. 如图，是的角平分线，交延长线于点D． （1）求证：； （2）过A作交于F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边证明； （2）证明，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由(1)知， ∴， ∴， ∴在中，， 代入， ∴． 21. 综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级个班，共名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活动选①壁画修复②沥金彩绘．古县城内简餐 1．参观植物园2．手工体验活动选①制作植物香囊②制作叶脉书签．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） 学生团体票，可在半价基础上再打折，为元人： 讲解 古县城讲解元团；考古博物馆讲解元团；注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：元人 手工体验活动：元人 用餐 学生简餐：元人 学生简餐：元人 问题解决 （1）设两种方案的费用分别为元和元，则_______，_______． （2）在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 【答案】（1）， （2）当时，选择方案二费用较少；当时，选择方案一和方案二费用相同；当时，选择方案一费用较少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一式子是解题的关键． （1）根据题意分别进行列式即可； （2）分，， x三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：选择方案一所需费用为， 选择方案二所需费用为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少； 当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同； 当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少． 答：当时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；当时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；当时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少． 22. “换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： （1）从三种解法中任选一种进行因式分解： （2）小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． （3）请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． （1）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （2）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （3）①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一，，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【小问1详解】 解： ， ， 令，得， 即原式． 【小问2详解】 解： ， ， 令，得， 即原式． 【小问3详解】 解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3） 【解析】 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路；过作交的延长线于，.可得，再证出为等腰直角三角形，即可得出结论 ②选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接，可以证出，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，可得出，得，，再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，可得，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于 ∵， ∴，， ∴. ∵交延长线于， ∴， ∴， 又∵绕点旋转至， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∴. ∴， ∴. ∴， ∴. ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴. 选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴. ∴. ∵，， ∴.即. 又∵， ∴ .∴ ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴. ，， ∴. （2）证明：如图.过作于，过作于. ∵，， ∴， 又∵. ∴. ∴，. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴. 在和中，， ∴. ∴. ∵，， ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴. （3）解：如图，在边上截取，连接. 由题意得，，. ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴. 又∵， ∴. ∵，，， 过作于，则， ∵， ∴. 根据勾股定理得，. ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$