2025届安徽省六安第一中学高三综合模拟预测数学试题(二)

六安一中2025届高三综合模拟试卷 数学试卷（二） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定，与有关 3．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（     ） A．2 B． C． D．3 6．已知函数，则（     ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 7．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（     ） A．0.2 B．0.05 C． D． 8．已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于，两点，为曲线上的点.如果为正三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．残差平方和变小 B．相关系数变小 C．决定系数变小 D．解释变量与响应变量的相关性变强 10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 11．已知函数，则下列结论正确的是（） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B．当且时， C．， D．若存在极值点，且，其中，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 13．已知函数则的解集是 ． 14．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB （1）若，求tanC的值； （2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 16．（本小题满分15分） 某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. （1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； （2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率. 17．（本小题满分15分） 一吊灯下沿圆环直径为米，通过拉链、、、（、、是圆上三等份点）悬挂在处，圆环呈水平状态并距天花板2米，如图所示. （1）为使拉链总长最短，应多长？ （2）为美观与安全，在圆环上设置，，……，（）各等分点，仍按上面方法连接．若还要求拉链总长度最短，对比（1）时C点位置，此时C点将会上移还是会下移?请说明理由. 18．（本小题满分17分） 已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. （1）当数列为等差数列时，求的通项公式及； （2）当在单调递增时，设，求的值； （3）当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 19．（本小题满分17分） 如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在关于直线对称的不同两点B，，直线与直线及轴的交点分别为P，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 六安一中2025届高三综合模拟试卷 数学试卷（二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 11 答案 C C B A D D D B AD BC ABD 1．C【详解】易知不等式的解集为，不等式的解集也为，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C 2．C【详解】由题，则，所以.故选：C 3．B【详解】设等比数列的公比为，因为，则，解得，所以.故选：B. 4．A【详解】作出，如下图所示：由题意可知，，，由勾股定理可得，故的周长为.故选：A. 5．D【详解】因为，所以，即，因为，所以，故，所以，故选：D 6．D 【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数；又，当时，令，因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，故在单调递减，故AB都错误；对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数；又，当时，均为减函数，故为上的减函数，故为上的增函数，故C错误，D正确.故选：D. 7．D【详解】根据题意可得：；；由全概率公式可得：；；；故.故选：D. 8．B【详解】由题可知,当时,,则,即,由曲线,可得,所以为,又为正三角形,所以,所以,解得,故选:B 9．AD 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】解：从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强，且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小.故选：AD 10．BC【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，在圆中，，半径；，A项，过作圆的切线，切点为，如图所示，∴,；在中，由勾股定理得，；∴；∴当时，取最小值，，故A错误；B项，重心坐标即,所在直线，即；线段的中点,∴的垂直平分线为：，同理可得，的垂直平分线为：，，解得：，∴外心；由几何知识得，垂心与外心在一条直线上，∴过和，，即，直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，∴直线过圆心，∴，即，B正确；C项，圆上有且只有两个点到的距离都为1，∴圆心到直线即的距离小于直径.∴，解得：，故C正确；D项，由几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误；故选：BC. 11．ABD【详解】对于A，当时，，由，可得或，由，可得，故函数在和上单调递增；在上单调递减．则函数在处取得极大值，在处取得极小值，若有三个零点，则，解得，故A正确；对于B，当且时，，因为，所以，由A函数在上单调递减，故，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，由求导得，，依题意，，可得①由，可得，由于，化简得②将①代入②式，可化简得：，即，因，故得，即D正确．故选：ABD． 12．-1【详解】依题意，得，，．若四点共面，则，即，所以，所以．故答案为：-1 13．.【详解】当时，，，；当时，，，；且当时，，所以为奇函数，易知为上的递减函数，则，所以原不等式的解集为. 14．【详解】设，易知为的重心，又，由重心为中线三等分点可得：，同时，设，，则，则，所以，由余弦定理可得：，令，求其最小值即可，上式化简可得：，也即当且仅当时取得等号，所以，故答案为： 15． 【详解】（1）因为，所以， 解得或sin,当时，，， 所以，；当时，因为， 所以，又，所以． （2）∵，∴，， ∴，即，∴， 由角平分线定理可知，，又，所以， 由，可得，∴，，所以． 16． 【详解】（1）由题意知，A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为. 因此，学生成绩为良好的概率为. （2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人 X的可能取值为0，1，2. 则，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 因此，X的数学期望. （3）A组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为，方差为， B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92， ，平均值为， 所以， 即，代入检验，可知最小为84，最大， 故B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率为. 17．（1）设离天花板米（），拉链总长度为米，由题意、、、四点构成一个正三棱锥，、、为该三棱锥的三条棱侧，三棱锥的高 .于是有，对其求导，得. 当时，，解得时，， 时，，时，即米时，取最小值米. （2）由（1）可知，当在圆环上设置个点时，拉链的总长为：，求导得，当时，.解之得，因为只有一个极值，所以时，拉链长最短.下面比较与的大小（其中），即，亦即得，所以点的位置将下移. 18．（1），. （2） （3）最大值为1，最小值为. 【详解】 （1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以，所以，. （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调；当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或，当时，，易知在单调递增；当时，，易知在不单调，所以，所以，. （3）当数列为等比数列时，由（2）知或，又为摆动数列，所以，，所以，当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1，当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值，所以的最大值为1，最小值为. 19．（1） （2）（i） （ii） 【详解】（1）由题知，解得，双曲线E的标准方程为； （2）令，设直线为：，与联立得，当时，设，则由韦达定理，及题意可得：则，，. （i）当时，，，由，得，又因为，即，所以； （ii）由题知，.因为，所以，又，，则，，又，；则，则，当取得，此时满足题意.综上，的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$