精品解析：河北省石家庄市第二十八中学2025年中考一模数学试题

数学练习 一、选择题 1. 我市12月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（ ） 12月11日 12月12日 12月13日 12月14日 多云 南风级 阵雨 北风级 阵雨 北风级 多云 西北风级 A. 12月11日 B. 12月12日 C. 12月13日 D. 12月14日 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高温度减去最低温度求出每天的温差，比较大小即可． 【详解】解：12月11日的温差为：， 12月12日的温差为：， 12月13日的温差为：， 12月14日的温差为：， ， 因此日温差最大的一天是：12月13日． 故选C． 2. 如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：B． 3. 某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 把代入，得，求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程， 得，解得． 故选：A． 4. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数和玩是相对面，很和好是相对面， 故没有相对面的字为学； 故选B． 5. 诺如病毒的直径最小约是（纳米），，将用科学记数法表示为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：A． 6. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不合题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不合题意； 、，该选项不合题意； 故选：． 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 8. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定．根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 【详解】解：∵将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段， ， ∴四边形是矩形， ， ∵不清楚旋转角度，故不能证明， 时，， ∴四边形是正方形， 故A，B，D正确，不符合题意， 故选：C． 9. 过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据直径所对的圆周角是直角判断即可； ②③根据基本作图判断即可； ④根据等腰三角形的三线合一的性质判断即可． 【详解】解：图①中，由圆周角定理可知，∠ADN=90°，符合题意； 图②中，由作图可知AD⊥MN，符合题意； 图③中，由作图可知MN垂直平分线段AD，符合题意； 图④中，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥MN，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 10. 如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质及函数图象、平行线分线段成比例定理及勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键，首先得出，和当时，，进而求出，根据勾股定理求出即可求出周长． 【详解】解：由图可知，当点P与点A重合时，， 此时，， ， 在矩形中，， 由图2可知，当时，， 点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为14， 故选：D． 11. 如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ） A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，踏板上人的质量为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小， 由可得，越小，越大，原说法错误，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为， ∴，解得：， 原说法正确，符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 12. 在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ） A. 两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B. 无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C. 若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D. 若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 二、填空题 13. 计算：_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶2． 14. 一元二次方程的两根为m，n，且，其中“”表示一个数，则“”为_______． 【答案】23 【解析】 【分析】根据一元二次方程的两根为m，n，得到，结合得到，解答即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由一元二次方程的两根为m，n， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：23． 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 16. 已知，且，，，点D、F分别在、上滑动． （1）____________； （2）点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是_____________． 【答案】 ①. 6 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并判断出最小时的位置是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，判断出C、N、M三点共线时的值最小，再根据勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵ ∴， 故答案为：6； （2）连接， ∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴ 由三角形三边关系得，， ∴当C、N、M三点共线时的值最小， 此时，， 故答案为：2． 三、解答题 17. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 故答案为： 【小问2详解】 由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 18. 甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数 步骤二：乙计算：； 步骤三：甲再根据，写出； ．．． 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加． （1）根据观察到的规律请你将表格补充完整： （2）甲根据观察发现：与的差为2 ①当时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 【答案】（1） 补充表格 （2）①当时， ∴； ∴甲的结论正确 ②甲的结论正确，理由如下 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的计算，整式的加减运算； （1）根据题意，分别将代入和，即可求解； （2）①将代入，即可求解；②计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 当时， ， 当时， 当时，， 【小问2详解】 解：①略 ②略 19. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：分，分分，分分，分分）． 组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了 名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 【答案】（1）800 （2） 不需要整改， 理由：由题意可知，等级40人，等级40人，等级（人）， 所以等级（人）， 因为共有800人，所以中位数应是将分数从小到大排序后位于第400和第401位的分数的平均数， 所以中位数应该落在等级，必然大于80分， 所以不需要整改． （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，条形统计图以及扇形统计图，理解题意，正确识图是解题的关键． （1）根据等级的人数除以占比即可得出总人数； （2）先算出每个等级的人数，根据中位数的位置判断即可； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知等级的人数为40人，占抽取总人数的， 所以此次调查共抽取选手为人， 故答案为：800． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将全程马拉松男子组冠军、全程马拉松女子组冠军、半程马拉松男子组冠军、半程马拉松女子组冠军分别简写为全男，全女，半男，半女，从男女冠军四人中随机抽取两人，列表如下： 全男 全女 半男 半女 全男 — （全男，全女） （全男，半男） （全男，半女） 全女 （全女，全男） — （全女，半男） （全女，半女） 半男 （半男，全男） （半男，全女） — （半男，半女） 半女 （半女，全男） （半女，全女） （半女，半男） — 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的结果有2种． ∴恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率为． 20. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； 【小问2详解】 解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 21. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 【答案】（1） （2）不是，桌面应下调 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，先得到，继而得到，得到不是正确坐姿，在中，，，调整后，，．继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 故桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 22. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）求与的函数解析式； （2）在13时：通过计算判断与的大小关系； （3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】（1） （2） （3）时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用．待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，，即可得出结论， （3）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为． 将代入， 得 解得 与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时， ， ， 与的大小关系为； 【小问3详解】 解：当时，． 再结合（2）中的结果，可得当时，； 当时，． ． 当时，； 当时，， 时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 23. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． （1）直接写出_____，并求出点的坐标 （2）请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． （3）如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； （4）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，函数有最大值， ∴无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0； （3） 是等腰三角形，理由如下： 由（2）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）且， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，得到函数值的最大值小于0即可； （3）求出的长，判断三角形的形状即可； （4）设与轴交于点，交于点，分，分别求出直线经过三点时的值，利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，设与轴交于点，交于点 ∵， ∴当时，， ∴点， 联立， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 当时，直线为，此时直线与图象有2个交点， 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有2个交点； 当直线过点时，， 解得， 此时直线与图象有3个交点； 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有3个交点； 由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点． 故答案为：且，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，与边交于点，且满足． （1）填空：_____，_____． （2）如图2，等腰直角三角形的顶点与点重合，再绕点逆时针旋转，当与交于点，与交于点时，求证：①；② （3）如图3，在（2）的条件下，，设的初始位置为，共线，然后绕点以每秒的速度旋转，当点落在边上时，停止旋转，进而立即沿着边所在直线从点向点方向平移，且平移的速度为每秒个单位长度，当点与点重合时，停止移动． ①在平移的过程中，若为的中点，连接，，求的最小值； ②设的运动时间为，直接写出当点落在四边形边上时的值． 【答案】（1）； （2） 证明：①∵， ， ∴， ∵， ∴； ②将绕点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴； （3）①；②7或 【解析】 【分析】（1）先求得，是等腰直角三角形，求得，再利用直角三角形的性质可求得，再解直角三角形即可求解； （2）①利用三角形内角和定理求得，再证明即可； ②将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，推出，，再证明，得到，在中，利用勾股定理求解即可； （3）①如图，过点作于点，连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为，证明四边形是矩形，求得，即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点，则当点与点重合时，满足最小，据此利用勾股定理求解即可； ②分当从初始位置旋转到点落在上和当平移到点落在上时，两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解；连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：①如图，过点作于点， ∴，为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， 连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点， 则当点与点重合时，满足最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为； ②当从初始位置旋转到点落在上时，如图，作于点， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴在同一直线上， ∴， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图， 根据题意得， ∴， 在上取点，连接，使得， 则， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点的平移距离为， ∴平移时间为， ∴平移到点落在边上时，运动的总时间为， 综上，的值为7或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题 1. 我市12月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（ ） 12月11日 12月12日 12月13日 12月14日 多云 南风级 阵雨 北风级 阵雨 北风级 多云 西北风级 A. 12月11日 B. 12月12日 C. 12月13日 D. 12月14日 2. 如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. D. 4. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 5. 诺如病毒的直径最小约是（纳米），，将用科学记数法表示为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 6. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 9. 过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 14 11. 如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ） A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，踏板上人的质量为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是 12. 在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ） A. 两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B. 无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C. 若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D. 若两个函数图象在第一象限有公共点，则 二、填空题 13. 计算：_______． 14. 一元二次方程的两根为m，n，且，其中“”表示一个数，则“”为_______． 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 16. 已知，且，，，点D、F分别在、上滑动． （1）____________； （2）点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是_____________． 三、解答题 17. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 18. 甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数 步骤二：乙计算：； 步骤三：甲再根据，写出； ．．． 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加． （1）根据观察到的规律请你将表格补充完整： （2）甲根据观察发现：与的差为2 ①当时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 19. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：分，分分，分分，分分）． 组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了 名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 20. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 21. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 22. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）求与的函数解析式； （2）在13时：通过计算判断与的大小关系； （3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 23. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． （1）直接写出_____，并求出点的坐标 （2）请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． （3）如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； （4）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 24. 如图，在四边形中，，，，，与边交于点，且满足． （1）填空：_____，_____． （2）如图2，等腰直角三角形的顶点与点重合，再绕点逆时针旋转，当与交于点，与交于点时，求证：①；② （3）如图3，在（2）的条件下，，设的初始位置为，共线，然后绕点以每秒的速度旋转，当点落在边上时，停止旋转，进而立即沿着边所在直线从点向点方向平移，且平移的速度为每秒个单位长度，当点与点重合时，停止移动． ①在平移的过程中，若为的中点，连接，，求的最小值； ②设的运动时间为，直接写出当点落在四边形边上时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $