上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷

上海市风华中学2024学年第二学期高考三模数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟， 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择 题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。 3。答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息。 一，填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分） 1.设全集U=R,若集合A={x‖x21,x∈R},则A= 2.函数y=cos2x-sin2x的最小正周期为 3. 若复数z满足z1-)=1+2i(i是虚数单位)，则复数z= 4. 设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(X<3)= 10 5. 在+ 的展开式中常数项是 ·（用数字作答) 6:已知空间向量a=(12,3)，6=(2,-2,0),c=(1,1入)，若c⊥(2a+),则 九= 7. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)=e-1,则f(x)的值域是 8. 在△4BC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c,若5 acos.A=bcosC+ccosB, 则sin2A= 9. 回知双曲线二-片1(a>0,020)的左焦点为F(1,0),过F且与x轴岳直的鱼 线与双曲线交于4B两点，O为坐标原点，△MOB的面积为；，则F到双曲线的渐 近线距离为 10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲 解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4 名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宜传项目，则 P(4B= 11.已知边长为2的菱形ABCD中，∠A=120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 P2⊥BD,则AP,C⑦的最大值是 12.在平面直角坐标系中，将函数y=f)的图像绕坐标原点0逆时针旋转二后，所得曲 线仍然是某个西数的图像，则称函数y=f问为“G函数”若函数似)=任+卫为 “G函数”，则实数k的取值范围是 二.选择题：（本大题共有4愿，13,14题每小题选对得4分，15,16题每小愿选对得5分， 否则得零分，共18分) 13.已知xeR,则|x+1川+x-1s2"是“>1的（)条件. A.充分不必要；B.必要不充分：C.充要： D.既不充分也不必要。 14.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(). A.“恰好有一个白球”与“都是红球” B.“至多有一个白球”与“都是红球” C.“至多有一个白球“与“都是白球” D.“至多有个白球”与“至多有一个红球” 15.已知正方体ABCD-ABCD,点P在直线AD上，O为线段BD的中点.则下列说法 D 不正确的是() A.存在点P,使得P2⊥AC:B.存在点P,使得PO∥AB: C.直线PQ始终与直线CC异面； D.直线PQ始终与直线BC异面. B 16.设数列{a}的前n项的和为S。,若对任意的正整数，都有Sn<a1,则称数列{an}为 “K数列”.关于命题：①存在等差数列{an},使得它是“x数列"：②若{a,}是首项 为正数、公比为q的等比数列，则g∈[2，+∞)是{a,}为“K数列"的充要条件.下列判 断正确的是(）· A,①和②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①和②都为假命题 三.解答恩：（本大题共5题，满分8分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤） 17.(本题满分14分)如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD,MA∥PB, PB=AB=2MA (1)求证：DM∥平面PBC; (2)求二面角M-PD-C的正弦值. 18. (本题满分14分)已知函数f(x)=2+a-2(a为常数，aeR), (1)讨论函数f(x)的奇偶性： (2)当fx)为偶函数时，若方程f2x)-k,()=3在x∈[0，上有实数根，求实数k的 取值范围」 19.(本题满分14分)某地区为了解体育锻炼达标桔况与性别之何的关系，随机调查了00 位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成2×2列联表，根据显著性水平α=0.05的独立性检验，能否认为体育锻炼达标 与性别有关？ 4 (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为。，体育锻炼未达标的居民体能测试合 5 格的版率为，用上表中居民体有达标的须率估计该地区居民体有达标的概率，现从该地 区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在(2)的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合 格的人数X的分布、期望及方差， 附：X2= nad-bc) a+bYc+dYa+cX+d)=a+b+c+d,Plx'z3.841)0.05 20.(本题满分18分)如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「：+y2=1的左、右焦点 分别为F,F,设P是第一象限内Γ上的一点，PF,PF的延长线分别交T于点，22， (1)求△P22的周长： (2)求△PF22面积的取值范面： (3)设1,2分别为△PE22、△PF,9的内切圆半径，求片-2的最大值. 21.(本题满分18分)定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在实数x (a<元<6.满足k,)上包，那么称西敢y=是区间k,上的平均值 b-a 函数”，x是它的一个均值点.例如y=是区间【2,2上的“平均值函数”，0是它的均值 点 (1)判断)=x,(x)=sinx-1是否为区间 上的“平均值函数”，并说明理 由： (2)设gx)=a2+x-4是区间[2，小上的“平均值函数”，1是函数y=gx)的-个均值 点，求所有满足条件的整数数对(k,): (3)若hx)=nx是区间[a,b](1≤a<b)上的“平均值函数”，是它的一个均值点， 求证：h了a答案 (1)(-1,1) (2)π (3)-+ (4)0.8 (5)45 (6)-1 (7)(-1,1) 8)2 (9)号 (10)号 (1) (12)【-e,0 (13-16)BACC 17.(1)由正方形ABCD,得AD/BC,而BCc平面PBC,ADg平面PBC,则AD1/平面PBC, 又M4/PB,PBC平面PBC,L4C平面PBC,则L4/平面PBC,(Q分) 又ADnL4=AAD,MLAC平面AMAD,因此平面AL4D/平面PBC,而DMC平面ALAD, 所以DAMI∥平面PBC (6分) (2)由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形，得直线B4,BC,BP两两垂直， 以B为原点，直线B4,BC,BP分别为x:轴建立空间直角坐标系， M 令AL4-1,则C0.20)D220).P002).M2.0.1). PD=(22-2.P7=2.0.-0.P元-0.2-2) 8分) PD.=2x+2y-2:=0 设平面P以D的法向量n=(化以)，则 ,取x=1,得n=LL2) P-i=2x-:=0 设平面PcD的法向量丽=(a,b,c),则 P币.m=2a+2h-2c=0 P元.m=2b-2c=0 。取e=1,得可=o.1), (10分) 授=面角M-PD-C的大小为0，则cs0时cosm而上西：。3=5. m262,血0-号 所以二面角M-PD-C的正弦值为对 14分) 18.(1)函数fx)=2+a2的定义域为xeR, 又f代-x)=2"+a2 ①当f代-)=f)时，即2+a2=2+a2时，可得a1 即当a=1时，函数fx)为偶函数： 6分) ②当f代-x)=-fx)时，即2+a2”=2+a2)=-2"-a2时，可得a=-1 即当a=一1时，函数(x)为奇函数 (6分) (2)由(1)可得，当函数fx)为偶函数时，a■1， 即/)=2”+2时，f02x)=2+2=(2+2y-2 由题可得，(2+2Y-2-k(2+2)=3⊙(2"+2y-(2+2)-5=0 令1=2”+2”，则有2-和-5=01=土+20 2 xe[0.I] .2'el2引. 又：2+2=2"+宁2，当且仅当2” 1 →x=0时，等号成立 根据对勾高数的性质可知，2”+2”引甲1引 0-P+2022→P+205k-4=+20s-败+16=≤- 2 =0s号+202k-5+20≥-10+2532 2 此时k的取值不存在 ②k++2022+2024-k→+20≥炉-账+16=k2-月 2 k++20s5+20s5-k→2+20≤-10k+25=k≤ 2 此时，可得k的取值为对 1 1 综上可得-，sks (14分) 2 19。(1)根据数据补全2×2列联表如下： 不达 达 合 标 标 计 男 50 250 300 女 100 200 300 合 150 450 600 计 零假设H,:体有炼达标与性别无关， 由表格数据得= 600(50×200-100×2502200 ≈22222>3841， 300×300×150×450 9 因为P(x2≥3841=0.05， 所以推断H。不成立，依据显著性水平α=0.05的独立性检验能认为体有暇炼达标与性别有关 3分) (2)由表格数据该地区居民体有达标的概率为 4503 0041 记事件A=“从该地区居民中随机抽取】人参加体能测试，其体能测试合格， 则题P- (6分) (3)由题意X=Q123,当地联民人口基数大。可近似看做二项分布，即X~3 189 Px--c6Px-到-(3 湖 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 189 441 343 1000 1000 1000 1000 则E(X)=m=3x2-2 1010 D(x)=m1-p)=3x2x3=6 1010100 (14分) 20.(1)F,F为椭圆C的两焦点，且P,Q为椭圆上的点， P5+P吓=Q,5+O,5-2a,从而△P2,F的周长为4a, 由题意，得4a=4反，即△PF2的周长为4反 (4分) (2)由题意可设过P0的直线方程为=两+1，P()2(:以.（名>0。>0） x=+1 联立 r+2y2=2”清去x得m2+22+2m-10, 2m 1 则儿+为= m+2男= m+2 2m2 4 8 8 所以。-卡m+2)m+2 Vm+20m+2牙1 令1m+20<1s, 则，-为上风-万≤5（当=时等号成立，即网=0时） 所以5m-5天-光上21以光H%为5 故△PFC,面积的取值范围为(Q,V] (10分) 3)设，山，直线P的方程为：+，将其代入解圆T的方程可得+山 整理可得(2：+3列+4京-3式-4年=0， 则致学，得4数的为瓷行0 无+12，+3 故瓷号 当名时、直线P的方程班：产产：-》，将其代入解圆方程并整理可得 (-2气+-4x-3,4%=0, 月跳可将a会子 因为5na-455na45 22 -爱-a22(w 所以斯-=252W2 2w2 2w2 乳}0源 25.J 3. 当组仅当%5酒，等号成立 10 苦P5上轴时，知P0片=-仔 ·。吃 2 22 综上，有一5的最大值为 18分) 2山，DD函数)=地区同到上的平均值函数， 血不是区同引上的平均值函数，理由如下： 由题题意(：) ( =0,得=0，则无=0，所以函数()=x‘是区间 2(2 [引上的半均植函数 (r)=sinr-1 5()= 卧周导1卧甲层 所以=子小无，所=不是区间引上的平均值高 (4分) (2)因为(x)=红x2+x-4是区间2小上的平均值函数，1是函数y=g(x)的一个均值点， 所以0=80--2 1-(←2) 即k-31-)-司=相-2+1，女=0显然不成立 1+2 所以：=3。固为1是商数的一个均值点。根据均值点的定义，可得1> 0=2t=4 .t=5t=7 又所求的)为整数对，故女=4或：成=2或{食=- (10分) 3》由题意可行如血的，则所证不等式为合日而· Inb-Ina I b-a a< 1 >1则不等式为r。 a 则不等式等价于2n1-」.1-1 令0=2hr-1+片.求导得分0=21-}.+2-1.《=<0. 所以h0)=2h1-1+在0+切)上单调通减，所以0<0=2h1-1+=0, 即2hr<-甲，<而 (18分)