微专题09 六个常考函数的经典问题（3大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题09 六个常考函数的经典问题 【题型归纳目录】 题型一：与的结合 题型二：与的结合 题型三：与、的结合 【知识点梳理】 六个常考函数：，，，，， 【典型例题】 题型一：与的结合 【例1】已知函数. (1)若，且与函数的图象相切，求的值； (2)若对成立，求实数的取值范围. 【变式1-1】（2025·河南郑州·二模）设函数. （1）若函数f(x)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围; （2）若a=2，k∈N，g(x)=2-2x-x2,且当x>2时不等式k(x-2)+g(x)<f(x)恒成立,试求k的最大值. 【变式1-2】设函数. (1)若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围； (2)若，，，当时，不等式恒成立，试求正整数的最大值. 题型二：与的结合 【例2】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是 ． （2）已知，，若，，使得成立，则实数a的取值范围 ． 【变式2-2】（2025·山西太原·一模）已知，，． (1)证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切； (2)若不等式有且只有两个整数解，求的范围． 题型三：与、的结合 【例3】（2025·广东惠州·二模）已知函数，. （Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由. （参考数据：，,）. 【变式3-1】已知函数，（其中为参数） （1）若，且直线与的图象相切，求实数的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【变式3-2】已知函数． （1）若直线与函数的图象相切，求的值；； （2）设，对于,都有求实数的取值范围． 【专题训练】 1．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 . 2．（2025·高三·山西太原·期末）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 3．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（2025·安徽淮北·一模）已知函数，，（）. (1)求函数的最小值； (2)若有两个不同极值点，分别记为，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围. 5．设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：； (3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为3，求a的值； (2)若存在单调增区间，求a的取值范围； (3)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由. 7．设函数，. （1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值； （2）当函数在定义域内不单调时，求证：； （3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，） 8．已知，． （1）若的一个零点小于1，另一个零点大于2，求实数a的取值范围: （2）若对一切，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明:对一切，都有成立 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明有且只有一个极小值点和一个零点，且 10．已知函数. (1)当时，确定函数的零点个数； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 11．（2025·吉林·三模）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数无零点，求的取值范围． 12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的单调区间； (2)当时，恒有成立，求k的取值范围． 13．已知函数． (1)求函数在区间上的最值； (2)若（其中为常数），且当时，设函数的3个极值点为，，，且，证明：，并讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间） 14．已知函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题09 六个常考函数的经典问题 【题型归纳目录】 题型一：与的结合 题型二：与的结合 题型三：与、的结合 【知识点梳理】 六个常考函数：，，，，， 【典型例题】 题型一：与的结合 【例1】已知函数. (1)若，且与函数的图象相切，求的值； (2)若对成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数，求导得， 设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是， 而，，解得，又，解得， 所以. （2）依题意，对恒成立， 设，显然，恒成立， 当时，，不符合题意， 当时，求导得， 由得，函数在上单调递减， 由得，函数在上单调递增，则， 于是，解得，因此； 所以所求实数的取值范围是. 【变式1-1】（2025·河南郑州·二模）设函数. （1）若函数f(x)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围; （2）若a=2，k∈N，g(x)=2-2x-x2,且当x>2时不等式k(x-2)+g(x)<f(x)恒成立,试求k的最大值. 【解析】（1）由题意知，函数的定义域为， ，令，∴，. 令，则由题意可知：直线与函数的图像有两个不同的交点.，令则. 在上单调递增，在上单调递减，， 又因为，在上递增，当，；又当，. ∴，又在递减.当，，结合，，图像易得. 实数的取值范围为. （2）当时，. 即：， ∵，∴. 令，则. 令.则. ∴在上单调递增. .. ∴函数在上有唯一零点，即：. ∴时，.即. 当时，， ∴， ∴，∵，∴，∴的最大值为4. 【变式1-2】设函数. (1)若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围； (2)若，，，当时，不等式恒成立，试求正整数的最大值. 【解析】（1）由题意可知，的定义域为，. 令，可得， 令，，令得， 当时，，当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 根据以上信息，作出的大致图象， 则由题意可知与函数的图象有两个不同的交点， 所以，∴. （2）当时，， 由得， 因为，所以. 设，则， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 所以，又，所以， 又，所以的最大值为2. 题型二：与的结合 【例2】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，显然直线恒过点， 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”， ，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，，当时，，而， 即当时，不存在整数使得点在直线下方， 当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：， 而切线过点，即有，整理得：，而，解得， 因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2， 即存在唯一整数2使得点在直线下方， 因此有，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式2-1】（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是 ． （2）已知，，若，，使得成立，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】 （1）函数，其中， 设， 因为存在唯一的整数，使得， 所以存在唯一的整数，使得在直线的下方， 因为，所以当时，， 当时，， 当时，， 直线恒过点，斜率为， 故，且，解得 所以的取值范围是 （2），，使得成立，等价于， 因为，所以， 当时，，则函数递减； 当时，，则函数递增； 所以时，， 因为，所以， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为: （1）;（2） 【变式2-2】（2025·山西太原·一模）已知，，． (1)证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切； (2)若不等式有且只有两个整数解，求的范围． 【解析】（1）设切点为，则，即，① 因为和相切， 所以，，即，② 所以，即， 令，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以，存在唯一实数，使得，且， 所以，只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切． （2）由得，所以， 令，则， 由（1）可知，在上成立，在上成立， 所以，在上单调递减，在单调递增，且， 所以，当时，，当时，． 当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去； 当时，，又，，所以两个整数解为0,1，即，所以，即； 当时，，因为，在内大于或等于1，所以无整数解，舍去． 综上，． 题型三：与、的结合 【例3】（2025·广东惠州·二模）已知函数，. （Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由. （参考数据：，,）. 【解析】（Ⅰ）函数图象无公共点，可以转化为方程无实根，此方程可用分离参数法化为无实根，从而只要求出函数的值域即可，这可导数的知识求得；（Ⅱ）同样问题转化为“不等式对恒成立”，即对恒成立，因此问题转化为 求函数的最小值． 试题解析：（Ⅰ）函数与无公共点， 等价于方程在无解 令，则令得 ＋ 0 － 增 极大值 减 因为是唯一的极大值点，故 故要使方程在无解， 当且仅当，故实数的取值范围为 （Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立. 即对恒成立. 令，则， 令，则， ∵在上单调递增，，， 且的图象在上连续， ∴存在，使得，即，则， ∴ 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则取到最小值， ∴ ，即在区间内单调递增. ， ∴存在实数满足题意，且最大整数的值为. 【变式3-1】已知函数，（其中为参数） （1）若，且直线与的图象相切，求实数的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【解析】（1）若，则，， 设切点，则，即． 令，观察得，． 又，所以在上递增， 所以方程的根仅有，所以． （2）由得，即， 两边同时加得 令，则，． ∵为单调增函数,∴，即， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， ∴，解得． 【变式3-2】已知函数． （1）若直线与函数的图象相切，求的值；； （2）设，对于,都有求实数的取值范围． 【解析】（1）， 设切点为得得到， 所以所以. （2）∵∴时，， 所以，在上为增函数. 不妨设则，， 所以， 可化为, 即，设， 则在上为减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则∴ ∴ 所以在上为增函数， 所以 ∴. 【专题训练】 1．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【解析】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，， 当时，,所以，函数的最小值为. 又，（1）， 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得. 故答案为：. 2．（2025·高三·山西太原·期末）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】1 【解析】依题意，对任意，恒成立， 令，则. ， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以，当时，即，单调递减； 当时，即，单调递增， 所以，故，即实数的最大值为1. 故答案为：1. 3．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为. . (i)当时，令，得或；令得； (ii)当时，恒成立； (iii)当时，令得或，令得； 综上：当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2），， 有两个极值点， 是的两个不等正根，. 由不等式恒成立， 即 即，即，对恒成立. 设，则，， 由，得；由，得， 在递增，递减.，， 的取值范围是. 4．（2025·安徽淮北·一模）已知函数，，（）. (1)求函数的最小值； (2)若有两个不同极值点，分别记为，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围. 【解析】（1）由题意得：，， 当时，，此时，在上单调递减； 当时，，此时，在上单调递增； 所以. （2）（ⅰ）由题意得的定义域为，得 因两个不同极值点，故方程有两个不同的根，（）， 即方程有两个不同的根， 记函数，则 当时，，此时，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以 又当时，，当时，， 且当趋近于正无穷时，趋近于， 所以，方程有两个不同的实数根，当且仅当. （ⅱ）由（ⅰ）知得，（※）， 所以，即（※※）， 由不等式恒成立，即恒成立， 由（※）、（※※）得即恒成立， 亦即恒成立， 设，时，得恒成立， 进而得恒成立（※※※）， 记函数，， 则，（）， 当时，，在上单调递增， 所以恒成立，故满足题意 当时，若时有，则在上单调递减， 所以，当时有，与题意（※※※）不符， 综上得正数的取值范围是. 5．设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：； (3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 当时，， 当时或；时， ∴的递增区间为，，递减区间为； （2）函数有两个极值点，， 则，是方程的两个不相等的实根，所以，，即，． 所以． 令，则 所以，在上单调递减．，即． （3）∵， ∴， ∵，，∴，在上单调递增． ∴， ∴对于任意，总存在，使成立， 等价于在上恒成立， 令，则在上恒成立． ，， i．当时．，在上单调递减，，不合题意； ii．当时，令，得， ①当，即时，在上单调递减，存在不合题意； ②，即时，在上单调递增，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为3，求a的值； (2)若存在单调增区间，求a的取值范围； (3)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由. 【解析】（1）函数，， 曲线在点处的切线斜率为3， 则有，解得. （2）由已知，得，函数定义域为， 则， 由函数存在单调递增区间，则，即在上有解， ①当时，的图像为开口向下的抛物线， 要使在上总有解，则方程至少有一个不重复正根， 而方程总有两个不相等的根时，则必定是两个不相等的正根， 故只需，即， ②当时，的图象为开口向上的抛物线，在上一定有解， 综上，a的取值范围是. （3）方程即为， 等价于方程. 设，函数定义域为， 于是原方程在区间内根的问题，转化为函数在区间内的零点问题. ， 由，则在上恒成立， 则当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 若在内有且只有两个不相等的零点，只需 ， 解得， 所以存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根， 此时a的取值范围为. 7．设函数，. （1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值； （2）当函数在定义域内不单调时，求证：； （3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，） 【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解； （2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解； （3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解. （1）当时，，则在处的斜率为， 又在处的斜率为，则，解得 . （2）函数， 则 . ∵，∴，令， 要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根， 由于开口向上，且 只需要，得， 因为，所以， 故，当且仅当时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立， 即对恒成立 . 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断， 所以存在，使得，即，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 则取到最小值， 所以，即在区间内单调递增， 所以， 所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 . 8．已知，． （1）若的一个零点小于1，另一个零点大于2，求实数a的取值范围: （2）若对一切，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明:对一切，都有成立 【解析】（1）由题意知，，解得 （2），则， 设，则， ，，单调递增，，． 单调递减，所以， 因为对一切，恒成立， 所以， （3）问题等价于证明 由（1可知的最小值是， 当且仅当时取到， 设，则， 易得m，当且仅当时取到， 从而对一切，都有成立． 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明有且只有一个极小值点和一个零点，且 【解析】（1）. ①若，则， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增； ②若，则， 当或时，，当时，， 故在，单调递减，在单调递增； ③若，则，，当且仅当时，“=”成立， 故是R上的减函数； ④若，则， 当或时，，当时，， 故在，单调递减，在单调递增； 综上，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，是R上的减函数； 当时，在，单调递减，在单调递增. （2）由（1）知：当时，在，单调递减，在单调递增， 所以有且仅有一个极小值点，且，，， 因为在单调递减，，， 所以有且仅有一个零点，且，即，则， 从而， 设 则，在单调递增. 所以. 10．已知函数. (1)当时，确定函数的零点个数； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 【解析】（1）当时，，令，即， ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. ，， 在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 在上只有个零点，即在上只有2个零点； （2）由题意知，. 因为函数在上单调递增， 所以当时，，即恒成立． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以. 故实数a的取值范围是；. （3）若，要证， 只需证，即. 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以. 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以. 所以，故原不等式成立． 11．（2025·吉林·三模）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数无零点，求的取值范围． 【解析】(1) ，      又由题意有： ，故. 此时，，由或，所以 函数的单调减区间为和. (2) ，且定义域为， 要函数无零点，即要在内无解，亦即要 在内无解.     构造函数. ①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；           ②当时， ⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知， 而，故在内有一个零点，所以不满足条件； ⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；    ⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. 又易知，而， 又易证当 时，，所以函数在内有一零点， 故不满足条件.    综上可得：的取值范围为：或. 12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的单调区间； (2)当时，恒有成立，求k的取值范围． 【解析】（1）由已知可得的定义域为，， 所以，即， 所以，， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）将不等式整理得：，可化为， 问题转化为在上，恒成立， 令，， 则， 令， 则，， 所以在上单调递减， ，即， 所以在上单调递减， ，所以， 所以的取值范围是． 13．已知函数． (1)求函数在区间上的最值； (2)若（其中为常数），且当时，设函数的3个极值点为，，，且，证明：，并讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间） 【解析】（1）， 令，解得，列表： 0 减 极小值 增 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 因为， ， 所以函数的最大值为，最小值为； （2）由题意：， ， 令，， 可以得到函数在上单调递减，在上单调递增； 因为函数的3个极值点， 又， ，（1）， 从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1， 因为3个极值点为，，，且， 所以，所以， 故， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． 14．已知函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）求出的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）用表示，，求出的表达式，构造函数，，求出的最小值即可. 试题解析：（Ⅰ）的定义域. ，                        令，得， ①当时，，此时恒成 立，所以，在定义域上单调递增；                                                    （2分） ②当时，，的两根为，， 且. 当时，，单调递增；         当时，，单调递减；   当时，，单调 递增；     综上，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，的两个极值点是方程的两个根，则，所以，.                            ∴ . 设，， 则.                                 ∵， 当时，恒有，∴在上单调递减；     ∴，∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$