第十四章全等三角形本章小结课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本章小结 【R·数学八年级上册】 第十四章 全等三角形 知识框架 全等 三角形 全等形 全等三角形 角的平分线 定义、性质、判定 性质、判定 尺规作图 作一个角等于已知角 过直线外一点作这条直线的平行线 已知两边及其夹角作三角形 角的平分线的作法 已知三角形的三边作三角形 知识梳理 知识点1 全等形、全等三角形 1. 全等形 定义：能够_____________的两个图形. 完全重合 2. 全等三角形 定义：能够_____________的两个三角形. 完全重合 表示方法：符号_______. ≌ 性质：对应边_______，对应角________. 相等 相等 拓展：全等三角形的周长_____，面积_____，对应角平分线、中线、高_____. 相等 相等 相等 举一反三训练 1. 如图，已知△ABC ≌△DCB，AB = 10，∠A = 60°，∠ABC = 80°，那么下列结论中错误的是（ ） D ∠D = 60° ∠DBC = 40° AC = DB BE = 10 C A B D E 举一反三训练 2. 如图，△EDC≌△ABC，∠A = 30°，∠ABC = 50°，且点 A，C，D 在一条直线上，则∠BCE 的度数为______. 20° C A B D E 解析：∵△EDC≌△ABC，∠A = 30°，∠ABC = 50°， ∴∠E =∠A = 30°，∠D =∠ABC = 50°，BC = CD， ∴∠CBD =∠D = 50°. ∴ ∠BCE =∠DBC –∠E = 50° – 30° = 20°. 举一反三训练 3. 如图，点 B，C，D 在同一条直线上，∠B =∠D = 90°，△ABC≌△CDE，AB = 7，BC = 24，CE = 25. （1）求△ABC 的周长； （2）求△ACE 的面积. C A B D E 举一反三训练 解：(1) ∵△ABC≌△CDE，CE = 25， ∴AC = CE = 25. ∵AB = 7，BC = 24， ∴△ABC 的周长 = AB + BC + AC = 7 + 24 + 25 = 56. C A B D E C A B D E 举一反三训练 (2)∵∠B = 90°，∴∠ACB + ∠CAB = 90°. ∵△ABC≌△CDE，∴∠CAB = ∠ECD， ∴∠ACB + ∠ECD = 90°，∴∠ACE = 90°. ∵AC = CE = 25， ∴S△ACE = AC·CE = ×25×25 = . 知识点2 全等三角形的判定 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 A B C C' A' B' 举一反三训练 1. 如图，已知 AB = AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC 的是（ ） C CB = CD ∠BAC =∠DAC ∠BCA =∠DCA ∠B =∠D = 90° C A B D SSS SAS HL 举一反三训练 2. 如图是一种测量工具，O 是两根钢条 AC，BD 的中点，两根钢条能绕点 O 转动. 由三角形全等可得内槽宽 AB 与 CD 相等，其中判定△OAB ≌ △OCD 的依据是（ ） C “SSS” “ASA” “SAS” “AAS” C A B D E F 举一反三训练 3. 如图，已知 AB = AE. ∠C =∠D，BC = ED，F 是 CD 的中点，连接 AF. 求证：∠BAF =∠EAF. 证明：如图，连接 BF，EF. ∵F 是 CD 的中点，∴CF = DF. 在△BCF 和△EDF 中， BC = ED， ∠C =∠D， CF = DF， C A B D E F 举一反三训练 ∴ △BCF ≌△EDF（SAS）. ∴ BF = EF . AB = AE， BF = EF， AF = AF， 在△ABF 和△AEF 中， ∴ △ABF ≌△AEF（SSS） ∴ ∠BAF =∠EAF . 知识点3 角的平分线的性质与判定 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离 _______. 相等 2. 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离______的点在角的平分线上. 相等 C A B O D E P 举一反三训练 1. 在如图所示的平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A，B；再分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于点 C. 若点 C 的坐标为(2a，a + 3)，则 a = _____. 3 C A B O x y 举一反三训练 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CA 平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F. 求证：∠B = ∠ADF. C A B D E F 举一反三训练 C A B D E F 证明：∵CA 平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE = AF，∠AEB =∠AFD = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中， AB = AD， AE = AF， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△ADF（HL） ∴ ∠B =∠ADF . 知识点4 尺规作图 1. 已知三角形的三边作三角形： a b c A B C 2. 作一个角等于已知角： 知识点4 尺规作图 O A B C D O' A' C' D' B' 3. 过直线外一点作这条直线的平行线： 知识点4 尺规作图 C A B E F D 原理：_______________________. 同位角相等，两直线平行 3. 过直线外一点作这条直线的平行线： 知识点4 尺规作图 C A B E F D 原理：_______________________. 内错角相等，两直线平行 4. (1)已知两边及其夹角作三角形： 知识点4 尺规作图 a b α A D E B C 4. (2)已知两角及其夹边作三角形： 知识点4 尺规作图 a α β A B C 5. 角的平分线的作法： 知识点4 尺规作图 A B O M N C 举一反三训练 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，用尺规作图法作出射线 AE，AE 交 BC 于点 D，CD = 5，P 为 AB 上一动点，则 DP 的最小值为 _____. 5 A B C E D P A B C D 举一反三训练 2. 如图，D 是三角形 ABC 边 AB 上一点. 尺规作图：点 E，使 DE // BC，DE = DB.(一个满足条件的点即可，不写作法，保留作图痕迹) E 解：如图，点 E 即为所求． 举一反三训练 3. 如图，AD 为△ABC 的边 BC 上的中线，过点 B 作 AD 的垂线，垂足为 E. (1) 仅用圆规作一条弧线，在线段 AD 上找出一点 F，使得 CF // BE； (2) 根据你的作图，说明 CF // BE 的理由； (3) 在(1)的条件下，若△ACF 的面积为 8，△ABE 的面积为 20，求△CFD 的面积. A B C E D 举一反三训练 A B C E D 解：(1) 如图，点 F 即为所求． (2) 在作图中，DF = DE. ∵AD 为△ABC 的边 BC 上的中线， ∴BD = CD. 在△BDE 和△CDF 中， BD = CD， ∠BDE =∠CDF， DE = DF， ∴△BDE≌△CDF(SAS)． ∴∠DBE =∠DCF．∴CF // BE． F ∵△BDE≌△CDF， ∴∠CFD =∠BED = 90°，CF = BE. ∴S△ABF = S△ACF ，S△BDF = S△CDF . ∵S△ACF = 8，∴S△ABF = 8. 又S△ABE = 20，∴S△BEF = S△ABE – S△ABF = 12. ∵DF = DE，∴S△BDF = S△BDE = S△BEF = 6. ∴S△CDF = 6. 举一反三训练 A B C E D (3) 如图，连接 BF ．∵BE⊥AD，∴∠BED = 90°. F 课堂小结 边角边，角边角，角角边， 边边边，斜边、直角边 判定 全等三角形 全等形 应用 性质 对应边相等，对应角相等 角的平分线 $$