第14章 全等三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 人教版初中数学第14章全等三角形拔尖卷，通过23题（单选10、填空6、解答7）覆盖全等判定与性质，融合几何直观与推理能力，适配单元复习量化掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、判定应用|结合河北张家口期中题考查角的计算，山东枣庄阶段检测题辨析图形全等| |填空题|6/18|角平分线性质、动态问题|陕西西安期中题结合面积计算，江苏盐城阶段检测题设计动点全等情境| |解答题|7/72|综合推理、实际应用|福建厦门期中题探究正方形中线段关系，甘肃临夏期末题通过类比构建全等模型，体现创新应用与逻辑推理|

第14章 全等三角形·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 4．如图，，角平分线，交于点，与交于点，则图中共有全等三角形（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 5．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在四边形中，平分，，点在边上， ，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 9．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，，，，垂足分别为、． ①； ②； ③； ④若，则； ⑤取中点，连接，，则为等腰直角三角形． 其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 11．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 14．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 15．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 16．如图，正方形中，，，则___．    三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 18．（8分）（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，求证：． 19．（10分）如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 20．（10分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 21．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 22．（12分）（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 23．（14分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 4．如图，，角平分线，交于点，与交于点，则图中共有全等三角形（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得以解决． 【详解】解：∵AB=AC，角平分线BF、CE交于点O， ∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点， ∴BD=CD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SSS）； 同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF， 由上可得，图中共有7对全等的三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在四边形中，平分，，点在边上， ，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，证明，则有，同理可得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 9．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，，，，垂足分别为、． ①； ②； ③； ④若，则； ⑤取中点，连接，，则为等腰直角三角形． 其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据题意可得，则即可判断①；根据“”证明即可判断②；由全等可得，进而可得即可判断③；由，进而可得即可判断④；连接，根据“”证明即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， （内错角相等，两直线平行），故①正确； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∴， ∴，即，故③正确； ， ， 又，， ， ，故④错误； 如图，连接，、相交于点， ∵，点是中点， ∴， 在和中，， ∴， 由（1），可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤共4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 11．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理分别求出、、，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 【答案】 /93度 【分析】证明，得出，根据等边对等角求出，，根据角的和差关系求出，根据三角形外角的性质求出，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 15．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 16．如图，正方形中，，，则___．    【答案】/30度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为中点可知，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据得，在中，由三角形内角和得到，再根据三线合一得到，进而得到，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ， ，， ， 在中， ， ∵，E为中点， ∴， ， ． 18．（8分）（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：， ． ， ， ． ． ． ． (2)证明：如图，过点作于点， ， ， ． ，， ． 是的中点， ． ， ． ． ， 【分析】（1）由得，，由得，证得，进一步可得结论． （2）过点作于点，则可证明，再证明，得，得出，故可得结论． 19．（10分）如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用可证即可； （2）在上取点F，使，连接，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由等边三角形的判定得是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， （2）解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ，， ， 同理可证：（）， ，， ， 是等边三角形， ， ． 20．（10分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为定值，理由见解析 【分析】（1）根据正方形得到，再根据角平分线的定义求解即可； （2）在的延长线上取点H，使得，则，得到，证明，得到，从而，再证明，即可得出，因此的长等于正方形的边长，为定值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：的长为定值，理由如下： 在的延长线上取点H，使得， ∵在正方形中，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长等于正方形的边长，为定值． 21．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1) 解：如图，点M即为所求． (2)①；② (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以证明，即可作答． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）略 （2）解：①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是． 故答案为：． （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 22．（12分）（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 23．（14分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $