2024 年夏季“星光杯”数学奥林匹克 夏季·初中组一试

2024 年夏季“星光杯”数学奥林匹克 夏季·初中组一试 （考试时间：2024年 7月 16-24日，满分 120 分） 一、填空题（共 8小题，每小题 8分，满分 64 分） 1.点𝐴, 𝐵, 𝐶满足𝐴𝐵 = 1, 𝐴𝐶 = 2, 𝑡𝑎𝑛∠ACB = 1 2 ，则𝐵𝐶的所有可能值为________. 2.因式分解：𝑥3 − 27𝑥𝑦2 − 54𝑦3 =________. 3.在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 99, 𝐴𝐶 = 98, 𝐵𝐶 = 97，𝑃为 △ 𝐴𝐵𝐶内部一点（包括边界），则𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶的最大值为________. 4.已知正实数𝛼满足：对任意非等腰三角形的三边长𝑎, 𝑏, 𝑐，都存在𝑥 ≠ 𝑦 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}，满 足：𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝛼𝑦，则𝛼的最小值为________. 5.正整数𝑥, 𝑦, 𝑧满足𝑥 + 𝑦 + 14𝑧 = 3𝑥𝑦𝑧，则𝑥𝑦𝑧的最大值为________. 6.有8个非负整数排成一排，任意相邻2个数和不小于3，任意相邻3个数和不超过5，则满 足条件的有序非负整数组的个数为________. 7.在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 5, 𝐴𝐶 = √13, 𝐵𝐶 = √26，点𝑃满足𝑃𝐴 = 1，则𝑃𝐵 + 𝑃𝐶的最小值为 ________. 8.二次函数𝑦 = 𝑥2上有一动点𝐴，点𝐵(−0.5,2.25), 𝐶(1.5,2.25)，若△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆于该二次 函数有4个不同的交点，则点𝐴的横坐标取值范围是________. 二、解答题（共 3小题，满分 56 分，要求写出解题过程） 9.在半径为1的圆上有四点𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸,直线𝐷𝐶, 𝐸𝐵交于圆外一点𝐴，满足𝐴𝐷 > 𝐴𝐶, 𝐴𝐸 > 𝐴𝐵，若𝑂𝐴 = 1 + √3, ∠DAE = 30°，求𝐷𝐸的最小值。 10.求最大的常数𝑐，对任意锐角𝛼，设𝛼 = 𝑥°(角度制)，则有𝑐𝑥 ≤ (2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼. 11.给定平面上244个不同的点𝐴, 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴243，任意三点不共线，以𝐴为圆心的定圆上有 一动点𝑃。试尺规作图该定圆上一点𝑃0（仅给出作图步骤即可），使得∑ 𝑃0𝐴𝑘 2243 𝑘=1 最小， 且使用圆弧数量小于365个，并说明理由。 2024 年夏季“星光杯”数学奥林匹克 夏季·初中组加试 （考试时间：2024 年 7 月 16-24 日，满分 180 分） 一．（40 分） 是否可以将每个实数染成红色或蓝色之一，每色至少一个数，满足对任意两个非零实数 𝑥, 𝑦， 𝑥 𝑦 ∉ 𝑄，若𝑥, 𝑦同色，则𝑥 + 𝑦为红色；若𝑥, 𝑦不同色，则𝑥 + 𝑦为蓝色？ 二．（40 分） 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心，𝐷, 𝐸是射线𝐶𝐴, 𝐵𝐴上的点，满足𝐵𝐸 = 𝐶𝐴, 𝐵𝐴 = 𝐶𝐷； 𝐻, 𝐻′为△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸的垂心，证明：𝐻𝐻′∥𝐴𝑂. 三．（50 分） 求所有正整数𝑛 ≥ 2，存在1,2, … , 𝑛的两个排列𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛，𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛，对任意1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑛，满足：(1)𝑎𝑖𝑏𝑖 ≥ 𝑎𝑗𝑏𝑗 ; (2)(𝑖𝑎𝑖 − 𝑗𝑎𝑗)(𝑏𝑖 − 𝑏𝑗) ≤ 0 ; (3)(𝑖𝑏𝑖 − 𝑗𝑏𝑗)(𝑎𝑖 − 𝑎𝑗) ≤ 0. 四．（50 分） 给定正整数𝑛 ≥ 2，𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛是1,2, … , 𝑛的一个排列，满足对1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,有𝑎𝑘 ≠ 𝑘，求 ∑ 𝑘𝑎𝑘 𝑛 𝑘=1 的最大值. O H' H D E A B C