2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛 （初中组）一试

— 1 — 2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛 （初中组）一试（A） 答题时间：12小时，满分：150 分 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的。 1.方程 2 3 0x kx   有两个相等的实数根，则实数 k的值为（ ） A.2 2 B.2 3 C. 2 2 D. 2 3 2.小明有一枚硬币，则小明反复抛出 2 次硬币向上为正面的概率为（ ） A. 1 4 B. 3 4 C. 1 2 D. 2 3 3.若任意的正整数 n满足  221 2 1 1 n k k m k k     ，则实数m的可能取值为（ ） A.0.98 B.0.7 C.0.99 D.1.12 4.数据1，3，4 ，9的中位数为（ ） A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 5.一次函数  2 1 2 3y a a x a     经过第四象限，则 a的取值范围是（ ） A. 3 2 a  B. 3 2 a  C. 3 2 a  D. 3 2 a  6.函数 3y x x   的取值范围为（ ） A. 130 4 y  B. 13 4 y  C. 70 2 y  D. 7 2 y  7.已知 ABC 满足 1 3 2 AB BC  ， 1sin 4 B  ，则 ABC 的面积为（ ） A. 9 4 B. 9 2 C. 9 8 D. 9 16 — 2 — 8.已知直线 l交抛物线 2 1 4 y x 于 P、Q两点，且这两点的横坐标之积为 4 ， 则坐标原点O到直线PQ距离的最大值为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.2 9.两个非零实数 x， y满足  2 2 2 1 9 2 yxy x y x x     ，则   222 2 2 yx y  的最 小值为（ ） A.8 B.9 C.8 3 D.9 5 10.已知抛物线G： 2y ax 与曲线： 1y x  有两个交点，下列说法一定正确 的是（ ） A. 0a  B.两交点的横坐标之和为0 C.坐标原点与两交点围成的三角形不可能为等腰直角三角形 D.两交点的纵坐标之和为0 二、填空题：本题共 6小题，每小题 4分，共 24 分。 11.因式分解： 2 26x xy y   _________ 12.若实数m，n满足 5ma  ， 2na  （ 1a  ），则 2m na  的值为 _________ 13.不定方程 2 1 2 3 4 10x x x x    的正整数解个数为 _________ 14.不等式 21 2 x x   的解集为 _________ 15.在四边形 ABCD中， 4AB BC  ， 5AD CD  ，则该四边形的内切圆 的周长最大值为 _________ 16.已知    max 10 100 , 25 250f x x x    ，整数 1x ， 2x ，， 10x 满足       10 10 1 1 1 450i i i i i i f x x x f x       ， 11 1x x — 3 — 则     10 2 1 1 i i i i x x f x   的最小可能值为 _________ 三、解答题：本小题共 9小题，共 86 分。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 17.（8 分） 先化简，再求值： 2 2 1 1 1 a a b b a b         ，其中 1a  ， 2b  . 18.（8 分） 解方程： 6 5 4 3 230 293 870 586 120 8 0x x x x x x       — 4 — 19.（8 分） 如图，在正方形 ABCD中，P是线段 BC上的一点（不包含端点），过 AD作 点P的对称点， AP与BQ相交于点 F ，PQ与BD相交于点G . （1）若 QF PQ QG QB  ，求证： AFB PGD  ； （2）连接PD，若PD// BQ，求 PB PC 的值. — 5 — 20.（8 分） 星光中学举行 2024 年数学探究活动，其中小刚选取的课题是： 《探究函数   2 2 1 xf x x   的图象与性质》 我们知道，研究一个函数，要从定义域、增减性、值域等方面进行探究. （1）求函数  f x 的定义域、值域； （2）若在 1 20 x x  ，试探究 1 2 2 x xf      与    1 2 2 f x f x 的大小关系. — 6 — 21.（8 分） 甲乙两人正在进行投篮比赛，其中一方未投进则换另外一方投篮，已知甲投进的 概率为 1 3 ，乙投进的概率 1 4 ，甲投进和乙投进互不影响，已知甲先投球. （1）求第2次甲投进的概率； （2）设第n次甲投进的概率为 nP ，试比较 2023P 与 2024P 的大小. — 7 — 22.（10 分） 在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为a、b、c， AB边上的高 为h，满足 2 2 2 2a b c h   . （1）若a b ，求 cosC的值； （2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABCS 的最大值. — 8 — 23.（10 分） 已知抛物线G： 2y ax bx c   （ 0a  ）经过点  0,3 与点  1,1 . （1）若抛物线G始终与 x轴有两个交点，求b的取值范围； （2）若 0b  ，求抛物线G的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l： 2y kx  与抛物线G交于 A、B两点，O为 坐标原点， y轴平分 AOB ，求 k的值. — 9 — 24.（12 分） 圆 1O 与圆 2O 相交于 A、B两点，过点 A的一条直线交两圆分别于P、Q . （1）若圆 1O 的半径为 2 ，圆 2O 的半径为 3 ，求线段 1 2OO 长度的取值范围； （2）在（1）的条件下，求 BP BQ的值. — 10 — 25.（14 分） 对于任意非负实数 ix （ 1i  ，2，， n）满足 1 2 1nx x x  ，记 1 n i i S x   ， 求证： 1 1 1 2 n i i i S x nn x     .