2024年 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛初中组

— 1 — 2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛 （初中组）二试（A） 答题时间：12小时，满分：150 分 1.（30 分） 已知P在 ABC 内部，求证： 存在实数 1 ， 2 ，  3 1,1   ， 3 3 31 2 3 1     ，使得 31 21 PA PB PC AB AC AB BC AC BC           成立. — 2 — 2.（30 分） 在 ABC 中，AC、AB边上的高BE、CF相交于H，延长 AH交 ABC 的外 接圆于D， ABC 的外接圆在B、C处的切线相交于P，延长PD交 ABC 的 外接圆于Q，设EF的中点为N ，求证： NQH PQH  . — 3 — 3.（40 分） 甲乙玩游戏：平面上标出了若干个点（无三点共线），甲先乙后轮流在其中任意 两点之间连接线段（不允许任意两条的交点在线段内部），当轮到甲或乙其中一 方不能连出线段时，该方判输. 问：能否通过观察平面上点的分布得知谁有必胜策略？请说明理由. — 4 — 4.（50 分） 给定正整数 n，求满足以下条件的有序数组  1 2, , , nx x x 个数： （1） Rix  ， 1ix  （1 i n  ）； （2） 1 2 n i i nx   ； （3）   1 1 2 min ,i j i j i j n i j n x x x x         .