2023年星光杯数学思维能力测评（初中组）第二试

— 1 — 2023 星光杯数学思维能力测评 （初中组）第二试 答题时间：12小时，满分：180 分 第 I 卷: 解答题（共 4小题） 题 1（40 分） 若数 ia ， ib 分别是1，2，，n的一种排列，（ 1i  ，2，，n）试求 1 1 2 2 n nS a b a b a b    的最小值与最大值. — 2 — 题 2（40 分） 设正整数n的标准分解式为 1 21 2 ttn p p p    ，定义   1 2 nn      ，      1 nf n   求证: 存在无穷多个正整数n，使得      1 1 1f n f n f n     . — 3 — 题 3（50 分） 如图所示，A，B，C，D，E分别是圆 1O 上互不相同的五个点，过点 A作BE 的平行线交圆 1O 于的点F（ A F ），直线 AC与BD交于P，直线DF与CE 交于Q，点H是 ABE 的垂心，记 AQH 的外接圆为圆 2O ，点G是圆 2O 上不 与点 A，Q，H重合的任意一点，M ，N 分别为 AQ，AH 边上的点，点K是 PG的中点，若 AQ GM ， AH GN ， 求证: AP QH 的充分必要条件是M ，N ，K三点共线. — 4 — 题 4（50 分） 将平面 上每个点都染上红，蓝其中一种颜色，求证: 无论如何染色，平面 总 存在三个同色的顶点，使得构成的三角形面积为 2023.