精品解析：2025年福建省龙岩市中考一模数学试题

2025年龙岩市九年级学业（升学）质量检查 数学试题 （满分：150分考试时间：120分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．利用俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线． 【详解】解：图2的俯视图如下： 故选：B． 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解：A中，，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 5. 若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴的值可以是 ， 故选：C． 6. 为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7 下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（ ） A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算成绩为86、90分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择． 【详解】解：由表格数据可知， 成绩为86分、90分的人数为50-（2+1+4+5+6+6+10+7）=9（人）， 成绩为99分的，出现次数最多，因此成绩的众数是99， 成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数分别是96分、96分，因此中位数是96分， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，而平均数和方差均与被遮盖的数据相关， 故选：A． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 7. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 8. 如图，四边形 内接于 ，点 是的中点，，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形，对角互补得，因为点 是的中点，所以，结合圆周角定理，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵四边形 内接于 ，， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：B 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数 （单位： ）与铁块下降的高度 （单位： ）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点 到对称轴的距离为：，点 到对称轴的距离为：，点 关于对称， ①当时，则点 关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为： ． 12. 反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是___________．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知，进而问题可求解，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴， ∴， ∴可取 ， 故答案为： （答案不唯一）． 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中白球的个数约为（个）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线 上，且只有一个公共顶点 ．若，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，30度角所对的边是斜边的一半，三角形内角和性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出每个正六边形的内角为，，再得出，则，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正六边形和一个正方形各有一边在直线 上，且只有一个公共顶点 ． ∴每个正六边形的内角为，， ∴， ∴， 则， 在 中， ∵， ∴ ∴（负值已舍去）， 故答案为： 15. 关于 的一元二次方程的两实根满足，则 的值为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为： 或． 16. 如图， 中，，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长 至点 ，使 ，连接 ，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，再结合，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长 至点 ，使 ，连接 ， 则：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值，零指数幂，算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关系．先利用绝对值，零指数幂，算术平方根化简，再进行加减即可． 【详解】解： 18. 如图，在中，点 、 在对角线 上，且．求证： ． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式乘法，再把代入求值即可，熟练掌握和运用分式的化简求值步骤和方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20. “弘扬中华传统文化，打响龙岩非遗品牌”，年月日，龙岩市非遗街举行了备受瞩目的“游龙则灵．遇见非遗”开街活动，展示了“闽西汉剧”、“龙岩采茶灯”、“连城姑田游大龙”、“闽西客家木偶戏”和“客家土楼营造技艺”等龙岩市非遗技艺和文化．我市某校七年级开展了“龙岩非遗，我的最爱”为主题的演讲比赛活动，初赛结束后，根据参赛选手的成绩（满分分）绘制了如下统计图表： 初赛选手成绩频数分布表 组别 成绩 （分） 人数 根据上面的信息，回答下列问题： （1）频数分布表中___________，扇形统计图中 部分的圆心角度数为___________度； （2）成绩在的甲、乙、丙 名选手参加最后的决赛，随机抽签决定他们的出场顺序，用列表法或树状图求甲比乙先出场的概率． 【答案】（1） ，； （2）甲比乙先出场的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图，用树状图法求概率，明确题意，利用数形结合的思想解答，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （ ）先利用 组人数除以所占比得出参赛选手总人数，再求出 组人数，然后减去组人数求出 ，再通过即可求出扇形统计图中 部分的圆心角度数； （ ）由题意画树状图，得到共有 种等可能的结果，其中甲比乙先出场的结果有 种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参赛选手共有（人）， ∴ 组参赛选手有：（人）， ∴（人）， 扇形统计图中 部分的圆心角度数为， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有 种等可能的结果，其中甲比乙先出场的结果有 种， ∴甲比乙先出场的概率为． 21. 如图， 是 的弦． 是 延长线上一点． （1）过点 作 的切线，切点 在直线 的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】（1） 即为所求，如图： （2） 证明：连接，如图： 设， ∵是 的切线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在 中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点 ，以 为圆心，为半径作，交 于点 ，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据 ，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，作的垂直平分线交于点 ，以 为圆心，为半径作，交 于点 ，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为 的切线； 【小问2详解】 略 22. 若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； （3）若是和谐四位数，将 的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数 ，求证： 与 的和一定能被101整除． 【答案】（1）不是 （2）或； （3） 证明：∵是和谐四位数，将 的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数 ， ∴，， 则， ， ∵， ∴ ， ∵为整数，且， ∴一定能被101整除． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“和谐四位数”的定义对3122进行分析，即可作答． （2）先根据以及千位数字为1，十位数字为9，得出，结合，且为整数，得，且 为整数，则或，即可作答． （3）先理解得，，则，根据为整数，且，故一定能被101整除． 【小问1详解】 解：∵四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”，且， ∴3122不是和谐四位数； 故答案为：不是 【小问2详解】 解：设这个和谐四位数为，即， ∵一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9， 即， ∴， ∴ ∵，且为整数， ∴，且 为整数， ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； 综上：这个和谐四位数为或； 【小问3详解】 略 23. 根据国际标准， 系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． （1）观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； （2）某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成 个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余 个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】（1） （2）如图 【解析】 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为 ，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为 ，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含 的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【小问1详解】 解：设纸的长为，宽为 ， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点， 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知是射线 上的两点（点 在点 的下方），连接．若，求的面积； （3）将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点 平移至点 ，此时的抛物线与 轴交于两点，且，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出 的解析式，设设，，根据，列出方程求出的值，进而得到 点坐标，过点 作轴，过点 作轴，分割法求出三角形的面积即可； （3）求出 的解析式，根据题意，得到点 在直线 上，设，进而得到新的抛物线的解析式，求出 ， 的坐标，根据正切值的定义，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， 设直线 的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵点 在点 的下方， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点 作轴，过点 作轴， 则：， ∴ ； 【小问3详解】 ∵， 设直线 的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点 平移至点 ， ∴点 在直线上，设， ∴平移后的解析式为：， 令， ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴， 解得：或， 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 综上：． 25. 在 中，，点 是边 上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ， ． （1）如图1，若点 是 的中点，，则___________； （2）如图2，当时，求证：； （3）若，在点 的运动过程中，当 长取到最小值时，求 的长． 【答案】（1）； （2） 证明：过点 作于点 ，则，如图： 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质得到，得到，求出，即可求解； （2）过点 作于点 ，则，证明，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）过点 作于点 ，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据点 在 上运动时，对应的点 在过点 且满足的直线上运动，当时， 长最小，此时是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得：，， ∵，点 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点 作于点 ，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 在 上运动时，对应的点 在过点 且满足的直线上运动， 当时， 长最小，此时是等腰直角三角形， 在 中，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年龙岩市九年级学业（升学）质量检查 数学试题 （满分：150分考试时间：120分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 9 6. 为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7 下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（ ） A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 7. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形 内接于 ，点 是的中点，，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数 （单位： ）与铁块下降的高度 （单位： ）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是___________． 12. 反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是___________．（写出一个符合要求的值即可） 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 14. 如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线 上，且只有一个公共顶点 ．若，则 的长为___________． 15. 关于 的一元二次方程的两实根满足，则 的值为______． 16. 如图， 中，，则 的长为___________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，点 、 在对角线 上，且．求证： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “弘扬中华传统文化，打响龙岩非遗品牌”，年月日，龙岩市非遗街举行了备受瞩目的“游龙则灵．遇见非遗”开街活动，展示了“闽西汉剧”、“龙岩采茶灯”、“连城姑田游大龙”、“闽西客家木偶戏”和“客家土楼营造技艺”等龙岩市非遗技艺和文化．我市某校七年级开展了“龙岩非遗，我的最爱”为主题的演讲比赛活动，初赛结束后，根据参赛选手的成绩（满分分）绘制了如下统计图表： 初赛选手成绩频数分布表 组别 成绩 （分） 人数 根据上面的信息，回答下列问题： （1）频数分布表中___________，扇形统计图中 部分的圆心角度数为___________度； （2）成绩在的甲、乙、丙 名选手参加最后的决赛，随机抽签决定他们的出场顺序，用列表法或树状图求甲比乙先出场的概率． 21. 如图， 是 的弦． 是 延长线上一点． （1）过点 作 的切线，切点 在直线 的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．求证：． 22. 若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； （3）若是和谐四位数，将 的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数 ，求证： 与 的和一定能被101整除． 23. 根据国际标准， 系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． （1）观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； （2）某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成 个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余 个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点， 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知是射线 上的两点（点 在点 的下方），连接．若，求的面积； （3）将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点 平移至点 ，此时的抛物线与 轴交于两点，且，求点 的坐标． 25. 在 中，，点 是边 上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ， ． （1）如图1，若点 是 的中点，，则___________； （2）如图2，当时，求证：； （3）若，在点 的运动过程中，当 长取到最小值时，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $