精品解析：四川省峨眉山市初中2024- 2025学年九年级下学期第二次调研监测数学试卷

峨眉山市初中2025届第二次调研监测 数学 2025年5月 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题单、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第一部分（选择题30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 2024年我国粮食产量首次跃上万亿斤新台阶．用科学记数法表示数据万亿为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由两个宽度相同长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 5. 下列说法正确是（ ） A. 随机事件发生的可能性是50% B. 一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2 C. 为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本 D. 若甲组数据的方差S甲2＝0.31，乙组数据的方差S乙2＝0.02，则乙组数据比甲组数据稳定 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B. 8 C. 10 D. 10. 在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ①②④ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 第二部分（非选择题共120分） 注意事项： 1．考生使用黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的绝对值是：_______． 12. 因式分解：_________________________． 13. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号大于等于3的概率为_______． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是_________m． 16. 将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 三、本大题共3小题，每小题9分，共27分． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：的值，其中． 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分． 20. 如图，线段相交于点，且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请证明四边形是平行四边形． 21. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）人数． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标． 24. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分． 25. 已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 26. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 峨眉山市初中2025届第二次调研监测 数学 2025年5月 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题单、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第一部分（选择题30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 2024年我国粮食产量首次跃上万亿斤新台阶．用科学记数法表示数据万亿为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法运算法则，幂的乘方运算，合并同类项，掌握同底数幂的乘法、除法的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和除法运算法则，幂的乘方运算，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：A．，故此选项正确； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误； 故选：A． 4. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC是等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件发生的可能性是50% B. 一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2 C. 为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本 D. 若甲组数据的方差S甲2＝0.31，乙组数据的方差S乙2＝0.02，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及众数、中位数、方差的定义分别进行判断即可． 【详解】A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误； B、数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误； C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本，容量太小，故本选项错误； D、∵S甲2＝0.31＞S乙2＝0.02，∴乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．先证明和都是等边三角形，求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B. 8 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴, ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴, ∴, ∴在矩形ABCD中，， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴, ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 10. 在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像与性质，一次函数图像和数形结合思想，掌握以上知识是解答本题的关键． 结合函数图像逐个分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：由图像可得， 当时，或，故①错误； 当时，随的增大而增大；故②正确； ∵， ∴点在一次函数的图像上， 如图： 由图像可得，有3个交点， ∴点在此函数图像上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点， ∴将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：B． 第二部分（非选择题共120分） 注意事项： 1．考生使用黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的绝对值是：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 12. 因式分解：_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式再运用平方差公式来进行因式分解，据此即可作答． 【详解】解： 故答案为： 13. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号大于等于3的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键． 根据简单概率的概率公式进行计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：共有5中等可能结果，其中小球标号大于等于3的情况有3种，则从中随机摸出一个小球，其标号大于等于3的概率为 故答案为： 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是_________m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，求圆锥底面圆的半径，连接，圆周角定理的推论得到为直径，求出的长，进而求出的长，进而求出圆锥底面圆的半径即可． 【详解】解：连接，由题意，得：，， ∴为直径， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴圆锥的底面圆的半径为：； 故答案为：． 16. 将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，将点B代入解析式中求解，即可解题． （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出a的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：（1）令， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点B时，， 解得，； 故答案为：； （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴当直线与新图象恰有四个公共点时，a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、本大题共3小题，每小题9分，共27分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用零指数幂、绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 所以不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入即可求解． 【详解】解： ， 原式． 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分． 20. 如图，线段相交于点，且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先根据证明，得到，再证明，，进而根据证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 证明：， ， 又， ， ， ， ，， 又， ， 四边形是平行四边形． 21. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20，见解析 （2）D （3）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． （1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 24. 如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【小问1详解】 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分． 25. 已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）可得出，，从而得出结论； （2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得， 从而得出； （3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图1， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 不妨设，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， 当时，即， 设， 分别延长，，分别交于，交于， ， 、、、共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，即， 同理可得：， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 26. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 将代入中， 得， 解得，； 【小问2详解】 抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． 【小问3详解】 关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$