精品解析：浙江省9+1联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分120分，考试时间150分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“，”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z虚部为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. i 3. 中，“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 表示复平面上对应的点到点的距离 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 13. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则面积的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求不等式的解集A； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，. （1）若，求的大小； （2）若，，求. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： （1）求角A大小； （2）若_____，求面积取值范围. 18. 如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且. （1）若，求的值； （2）求三棱锥的体积； （3）若，求此三棱锥的高. 19. 在中，，，， （1）当时，P是内一点， ①若P是的内心，求线段的长； ②若，，求线段的长； （2）当时，D，E，F分别在边，，上，且是正三角形，求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分120分，考试时间150分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“，”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：D 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据除法运算求得复数，最后确定复数的虚部. 【详解】解：因为，所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 4 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的值，结合两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】由题意可得，解得， 因此. 故选：B. 5. 设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出的图象，根据图象可知在定义域内单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】根据的解析式做出的图象，如图所示： 可知在定义域内单调递增， 因为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出的值，再由奇函数化简所求即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 又因为，， 所以， 所以， 故选：B 8. 已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】B 【解析】 【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出. 【详解】设点在原点 . 向量 ，因为且沿 轴， 向量  ，且 ， 角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和： ，，所以角平分线方向向量为 ， ， 所以方向的单位向量为：， 设，则， ​​.，， ， ， 这是一个关于的二次函数.当，最小. 此时. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由向量模公式，可得判定A正确；根据在方向上的投影向量计算公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据与的夹角为锐角，且与不同向共线，得到不等式，可判定D错误. 【详解】由向量，，， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以在方向上的投影向量为，所以B正确； 对于C，由， 可得，所以，所以C正确； 对于D，由， 因为与的夹角为锐角，可且与不同向共线， 由，解得， 又由，解得， 所以与的夹角为锐角时，实数的取值范围为，所以D错误. 故选：ABC 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 表示复平面上对应的点到点的距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算公式，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】A.设，，，即，得，故A正确； B.若，则，则，故B正确； C.若，得或，故C错误； D. 表示复平面上对应的点到点的距离，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由在线段上运动，结合正方体的结构特征有平面，应用等体积法及体积公式判断；B由在线段上运动，且，，根据周长最小有最小，求出最小值判断；C由为的中点，进而确定三棱锥外接球的球心在直线上，再求出其半径，即可判断；D由在平面内，若关于平面的对称点为，则即可得. 【详解】A：由，易知在线段上运动，由正方体的结构特征知平面， 所以平面，故到平面的距离为定值， 又，为定值，故三棱锥的体积为定值，对； B：当，则在线段上运动，且，， 由正方体的结构特征知，平面，平面， 平面，平面，则，， 要使的周长最小，即最小，显然， 所以周长的最小值为，错； C：若，则为的中点，即为上底面的中心，若为下底面的中心， 所以平面，且为等腰直角三角形，如下图示， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，设其半径为，则， 所以，故外接球体积为，对； D：由题设在平面内，若关于平面的对称点为， 易知为的中点，则，故， 又，则，故的最小值为，对. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】应用余弦定理及已知列方程求边长. 【详解】由题设，则， 所以，可得，负值舍去. 故答案为： 13. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解. 【详解】设圆锥底面半径为圆锥的高为，圆锥的母线长为10cm，侧面积为， 则，则，所以， 则此圆锥的体积为. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则面积的最大值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】设边上的高为，则，再由射影定理得到，从而得到，结合正弦函数的有界性计算可得. 【详解】设边上的高为，则， 因为， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以当，即，时面积取得最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求不等式的解集A； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解对数不等式即可求出解集A； （2）分离参数可得，利用换元法以及基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 由可得， 故解集为； 【小问2详解】 易知， 故， 令，，则在上恒成立， 只需，当且仅当时，等号成立； 故. 16. 如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，. （1）若，求的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式及运算律计算求解； （2）应用向量的数量积公式及夹角余弦公式计算求解； 【小问1详解】 ， ， ， 故. 【小问2详解】 ，， ， 故， 故. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： （1）求角A的大小； （2）若_____，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将边化为角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）若选①，则由正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换及三角函数图象可求范围；若选②，则由正弦定理将边化成角，结合正切函数的图象即可求解范围. 【小问1详解】 ∵ ， ∵，∴，∴， ∵，∴ 【小问2详解】 若选①； 由正弦定理可知：， ， 又因为锐角三角形，所以， 所以，， 故； 若选②，由正弦定理可知， ， 又因为锐角三角形，所以，， . 18. 如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且. （1）若，求的值； （2）求三棱锥的体积； （3）若，求此三棱锥的高. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设得，同理得，联立求参数，即得，有，即可得； （2）连接，，，证明M为中点，根据已知及等体积法，应用棱锥的体积公式求体积； （3）由，设，，，边上的高为，得到，应用基本不等式得，设三棱锥的高为H，则，故，并确定取最大值对应的三棱锥的高. 【小问1详解】 设， ∵F，D，C三点共线，故①， 同理， ∵A，F，E三点共线，故②， 由①②可得，，故， 故F为中点，故，即. 【小问2详解】 连接，，平面，∴平面 又平面，且平面平面，∴ 连接， 在和中，，且， 故，故，故， 又F为中点，故M为中点， ； 【小问3详解】 ，当时，取到等号， 在中，设，，，边上的高为， 则， 则，则， 故， 又，故，当且仅当时取到最大值. 设三棱锥的高为H，则，则， 当，且时取等号，故三棱锥的高为. 19. 在中，，，， （1）当时，P是内一点， ①若P是的内心，求线段的长； ②若，，求线段的长； （2）当时，D，E，F分别在边，，上，且是正三角形，求的面积的最小值. 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用面积方法求内切圆半径公式，然后求得线段的长；②设，然后在和中，结合使用正弦定理表示的长，得到关于的方程，求得，进而得到线段的长. （2）设，，，在和、中利用正弦定理并综合可求得关于三角函数表达式，进而得到的最小值，从而得到面积的最小值. 【小问1详解】 ①自内心作边的垂线，垂足分别为,并连接，如图所示. 设内切圆半径为，则, ，,，, , 又∵四边形为正方形，∴. ②设，则， 在中，， 在中，，即， 所以，即，， 又，解得，所以. 【小问2详解】 设，，， 其中，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 故， 在中，，，故， 所以， 所以， 分母 ， 其中,,当，即时取得等号. 所以， 所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $