2023年第一届鸿煦杯数学竞赛初中组

注意保密★启用直至启用结束前 第1届“鸿煦杯”网络数学竞赛 2023.1.15 初中组试题 HXMC Hong Xu Cup Network Mathematics Competition 再次提醒：考试时请严格按照规则明细中所提及的考试要求作答，杜绝舞弊。 一、选择题。 1.己知抛物线y=x2+bx+c的顶点是原点，点A在第一象限抛物线上， 点B为点A关于原点的对称点，OC⊥AB交抛物线于点C,则△ABC 的面积S关于点A横坐标m的函数解析式是 A.S=m+m B.S=m-m C.S=m2+m D.S=m2-m 2.若非零实数x、y满足：x+y=1,（x-1)2+(y+2)2=5,那么的值 应是 A6-1 B.1+v6 5 5 C.红1-v6 D.6+ 5 5 3.设n为假分数（不为1），记a=n3-n,b=n4-n2,c=n-1,则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 4.如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，BE交AC于F两对角线 相交于O点，OG⊥BF于G,将△BOG沿着直线BD对称得到△BOG' 连接EG'交BD于M,AC于N,若3OF=8OM,∠GEG'+3∠EG'O= 2023年第一届“鸿煦杯”网络数学竞赛·初中组试题·第1页 90°，那么AF与CF的比值为 A.4:9 B.1:2 C.3:7 D.2:5 B 第4题图 5.我们称共有偶数个位数且前一半数字与后一半数字相同的多位数 叫做“回头数”，例如123123就是“回头数”，若十位“回头数”A能 被121整除，那么“回头数”A最大时，其十位上的数是 A.7 B.8 C.9 D.6 二、填空题。 6.已知双曲线y=6与函数y=r-al的图像只有2个交点，那么a的值 为 7已知实数a、、c满足：a+2b+3c=1,-那么产的最小值 是 8.设半圆O的直径为4，AB为其直径，C点在半圆O上，CD⊥AB, 垂足为点D.⊙P与线段CD、AB相切，并与半圆O内切，若⊙P的 半径为8，那么点O到直线AP的距离是 2023年第一届“鸿煦杯”网络数学竞赛·初中组试题·第2页 9.已知n个不同的正整数x1、2、…、xm(n为偶数)满足x1<x2 <…<xn,且对于任意相邻的三个数xx+1、x+2有x十x+2=2x. 若2xn2-2xn-2+…+2x22-2x12=xn+nx1,那么x2022x01等于 10.阅读材料： 在给定的平面上取定一点O,设一条水平方向向右的数轴1经过点O, 将其绕点O逆时针旋转0(0<0<90)个角度得到数轴1'如果点A在 数轴1上表示数字a(a≠0)，点B在1'上表示数字b(b≠0)，若平 面上的点P使得四边形OAPB为平行四边形，那么记三元数对(a, b,)为点P的“平面确定坐标”特别地，如果点P在1或上，那 么其“平面确定坐标”可以表示为(x,0,)或(0，y,0). 解决问题： 设m为正整数，点O为平面上定点，点P(m,m,60°)，Q在以P 为圆心，V3为半径的圆上，(Q在P上方)设Q(x0,0,60°).若当 OP⊥PQ时，xo+yo-xoyo为正整数，写出m的所有可能取值： 三、解答题。 11.已知抛物线y=-x2+x+c(c为偶数)与直线y=x在第一象限的交 点的横纵坐标均为质数，其顶点为A. (1)求抛物线的解析式： (2)直线)=x+号交抛物线于M、N,设R为△AMN的外接圆半 径，d为△AMN三边的乘积，求R与d比值的最大值. 2023年第一届“鸿煦杯”网络数学竞赛·初中组试题·第3页 12.已知不是1的正整数a的所有正约数中没有不大于√a的质数. (1)证明：a为质数： (2)设T=1+22+32+…+a2,若T为偶合数，求a的取值范围， 13.在已知平面上任给一个△ABC,点D在射线BA上，△ACD的外 接圆交直线BC于点E过点B作这个圆的两条切线，切点分别是M、 N直线MN与AC相交于点F. 证明：D、E、F三点共线 14.对正整数x定义一种运算：ran0f(x),五(x),…,fn(x)} =(x)(0<k≤).即将x代入大括号中的任意一个f(x)并运算最 终得到结果.记O(x)=ran0{3x+2,2x,x2+3x+2}. (1)求O(x)与2互质的概率； (2)已知数据组A:1,3,5,…,2021,2023.将数据组A中任意 取出两个数a、b(不放回)，并记下O(a-b).直到数据组A中的数 据被全部抽完，将先前记下的所有O(la-b)合计为数据组B.在数据 组B的方差最小的条件下，求其平均值的最大值， 2023年第一届“鸿煦杯”网络数学竞赛·初中组试题·第4页