精品解析：湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试拔尖创新班数学试卷

邵阳市二中2025年上学期期中考试 拔尖创新班数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ） A. B. C. D. 8. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ） A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得．”的否定为“，使得．” 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________. 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值.. 16. 已知， （1）若，求； （2）若，则求实数m的取值范围. 17. 已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本 （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为60x元.如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？ 19. 和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（，）；则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中2025年上学期期中考试 拔尖创新班数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两集合中元素的特征，判断集合中的任意一个元素都是集合中的元素，从而可得答案. 【详解】集合中的元素是所有奇数， 集合中的元素是所有被4整除余1的数， 因为任意一个被4整除余1的数都是奇数， 即集合中的任意一个元素都是集合中的元素，所以，， A选项错误，D选项正确； 且，C选项错误； ，B选项错误. 故选：D. 2. 已知函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 4. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调时的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】因为函数在不可能单调递减， 所以在上单调等价于： ①在上单调递增，②， 所以，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：B. 5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案. 【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314， 经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即， 则, 故选:. 8. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ） A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200 【答案】D 【解析】 【分析】由的整数部分位数近似于的整数部分位数，对取对数，求得其近似值，再根据的整数部分位数是n+1位求解. 【详解】因为与1相比都非常大， 所以的整数部分位数近似于的整数部分位数， 而， ， ， 所以， 而， 因为的整数部分位数是n+1位， 所以的整数部分位数是1233位， 的整数部分位数是1234位， 所以的整数部分位数最接近1200位， 即的整数部分位数最接近1200位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由的整数部分位数是n+1位而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出和的图象，即可判断AB；再由同一坐标系中和的图象，可判断CD. 【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 显然对于，图象在上方，即，，即A正确； 当时，图象在下方，即，因此B错误； 在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 由图可知，时的图象在的下方，即，，可得C正确； 当时，的图象在的上方，所以，即D错误. 故选：AC 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得．”的否定为“，使得．” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A，消元，根据二次函数性质判断B，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求的关系，由此判断的正负，判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D. 【详解】对于A，取，，则，但， 取，，则，但， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，因为，所以， 所以的最大值为，B错误； 因为不等式的解集为， 所以，且为方程的根， 所以，， 所以，， 所以，C正确； 命题“，使得．”的否定为“，使得．”D错误； 故选：ABD. 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用 二次函数根与系数的关系解决即可. 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形中的相似关系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值. 【详解】如图1，易知，且， 所以，所以； 如图2，易知，且， 所以，所以， 所以, 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以最小值为， 故答案为：. 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【详解】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值.. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质化简计算即可； （2）解方程求，再利用平方关系及商的关系将所求式子转化为关于的式子，代入的值可得结论.. 【详解】（1）因为，， ，， 所以原式； （2）因为，所以或， 又，所以， 原式. 16. 已知， （1）若，求； （2）若，则求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简，利用集合补集和并集定义计算即可； （2）由知，利用集合间关系求的范围. 【小问1详解】 ， 当时，， ，， . 【小问2详解】 ∵，∴. 当时，，； 当时，即，即. ∴. 17. 已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：将转化为，令，得，从而利用二次函数的图象与性质解答相关问题． 试题解析：（1），令， 当时，，问题转化为当时，恒成立. 于是，只需在上的最大值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （2）若存在，使，则存在，使， 于是，只需在上的最小值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （3）若方程在上有唯一实数解， 则方程在上有唯一实数解. 因， 故在上不可能有两个相等的实数解. 令，因，故只需，解得， ∴实数的取值范围是． 考点：1、函数的单调性；2、二次函数的图象与性质． 18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本 （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为60x元.如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？ 【答案】（1）最低，亏损状态 （2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为  元，  ， 因为  ，  在  上单调递减， 所以当  吨时，企业获得最大利润，为3550元， 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为  元，  ， 因为 ，  在  上单调递增， 所以当  吨时，企业获得最大利润，为4000元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润3550元；选择方案二，当日加工处理量为120吨时，获得最大利润4000元；所以选择方案二进行补贴. 【解析】 【分析】（1）列出每吨厨余垃圾平均加工成本，运用基本不等式求解最值； （2）列出每种补贴方式获利表达式，运用二次函数性质求解，然后进行比较即可. 【小问1详解】 由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为  ， 当且仅当  即  时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低， 因为  ，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题义的理解以及列出每吨厨余垃圾平均加工成本的表达式和列出每种补贴方式获利表达式. 19. 和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（，）；则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数. 【答案】（1）， （2） （ⅰ）因为，， 所以 （ⅱ）因为，， 所以， （3） 若，则当或时，无解；当时，解集为；当时，解集为. 若时，当或时，无解；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和得到，联立求出答案； （2）（ⅰ）由（1）所得解析式，求，即可证明； （ⅱ）根据函数的解析式求，，由此证明结论； （3）令，原不等式可化为，分别在条件，，，，条件下，结合指数函数单调性求解不等式可得结论， 【小问1详解】 由性质②知，所以， 由性质①知，，所以， 解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，原式等价于， 令 则原式等价于，， 当时， ①时，无解； ②时，，又，所以， 即， 解得， 所以解集为； ③时，，无解； ④时，，无解； ⑤时，，又，所以，即， 解得， 所以解集为. 综上，若，则 当或时，无解； 当时，解集为； 当时，解集为. 同理可得若时， 当或时，无解； 当时，解集为； 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问解决的关键在于根据不等式的结构特点通过换元将其转化为二次不等式问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $