湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试拔尖创新班数学试卷

邵阳市二中2025年上学期期中考试 拔尖创新班数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ） A. B. C. D. 8. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ） A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得．”的否定为“，使得．” 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________. 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值.. 16. 已知， （1）若，求； （2）若，则求实数m的取值范围. 17. 已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本 （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为60x元.如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？ 19. 和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（，）；则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数. 邵阳市二中2025年上学期期中考试 拔尖创新班数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 【15题答案】 【答案】（1）；（2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）． 【18题答案】 【答案】（1）最低，亏损状态 （2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为  元，  ， 因为  ，  在  上单调递减， 所以当  吨时，企业获得最大利润，为3550元， 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为  元，  ， 因为 ，  在  上单调递增， 所以当  吨时，企业获得最大利润，为4000元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润3550元；选择方案二，当日加工处理量为120吨时，获得最大利润4000元；所以选择方案二进行补贴. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （ⅰ）因为，， 所以 （ⅱ）因为，， 所以， （3） 若，则当或时，无解；当时，解集为；当时，解集为. 若时，当或时，无解；当时，解集为；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 邵阳市第二中学 数学试题·答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 、 单选题（共40分） 1 [A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 2[A1B][C]D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4[A]B][CD] 8 [A][B][c][D] 二、多选题（共18分） 9 [A][B][c]ID] 10[A]B][C]D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. (5分) 13. (5分) 14. (5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025年高一上数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B D AC ABD 题号 11 答案 ABD 1.D【解】集合A={xx=2+1,meZ中的元素是所有奇数，集合B={xx=4+l,n∈Z中的元素是所有被4整 除余1的数，因为任意一个被4整除余1的数都是奇数，即集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素，所以BA, A∩B=B≠O,A选项错误，D选项正确；3∈A且3B,C选项错误；AUB=A≠Z,B选项错误.故选：D 2.C【解】易知函数f(x)=x+3x-5在R上单调递增，易知f(-1)=(-1)3-3-5=-9,f(0)=-5, f(①)=13+3-5=-1，f(2)=2+3×2-5=9,满足f(1)f(2)<0,因此f(x)的零点所在区间为(1,2).故选：C 3.D【解】对于A,因a<b<0,取a=-2,b=-1,则a2=4,ab=2,b2=1,有a2>b>b2,故A是假命题： 对于B,当c=0时，ac2=bc2,放B是假合题：对于C,取b1,a1,满足<分，但a<b,放C是假金题， 对TD.内abc>0,由8880.以号>教D是命检：D 4.B【解】因为函数y=x2--2在[2，+o)不可能单调递减，所以f(x)=lg(x2-x-2)在[2，+∞)上单调等价于： as2 ①y=x2-m-2在[2，+∞)上单调递增，②x2-ax-2>0(x≥2)，所以 ,解得a<1,结合选项可知 4-2a-2>0 -1≤a<1是a<1的充分不必要条件，故选：B. 5.C【解】不等式(-2)(x-b)≥0可化为a2-(ab+2)x+2b≥0， 当a=0时，不等式为x≤b,不满足对任意的xeR恒成立； 当a<0时，y=ar2-(ab+2)x+2b,图象开口向下，不满足题意， 所以a>0,且△=(ab+2)2-4ax2b≤0，所以(ab-2)2≤0，所以ab=2,且a>0,b>0: 所以a+2b≥2√a.2b=4,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立，所以a+2b的最小值为4.故选：C 6.B【解】因为f()是定义在R上的奇函数，所以f(O)=1+m=0,解得m=-1,则当x≤0时，f(x)= x-1, 若x>0时，则-x<0,f(x)= +x-1=2+x-1,所以f(x)=-f(-x)=-2-x+1, 由y=-2和y=-x+1在R上单调递减，知f(x)在[1,2]上单调递减， 答案第1页，共8页 故当1≤x≤2时，所以f(x)m=f(I)=-2-1+1=-2.故选：B 7.C【解】根据“数字黑洞的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314， 经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞为123，即a=123, 2π 2π 2ππ1 3+3co41π+3cos+ =-c0s 3 3sco 32故选C 8.D【解】因为风，=2+1=2”+1与1相比都非常大，所以的整数部分位数近似于 的整数部分位数， F2-1 而1g5-=8(6,-1)1g(国，-1），=29132-262=2132，≈4096×0301=1232896，所以月--102m% (2-1 F2-1 而10232<102326<10233，因为10的整数部分位数是什1位，所以10232的整数部分位数是1233位， 10约整数部分位数是1231位，房所以是-整致富分位致最接近120m位，即是的整数部分位数绿拉证120 耳2 位，故选：D JA y=3* 9.AC【解】在同一坐标系中画出y=2和y=3的图象，如右图所示： 显然对于x∈(-o,0),y=2图象在y=3”上方，即xe(-o,0),2x>3,即A正确： 当x∈(0+o)时，y=2*图象在y=3下方，即2”<3x,因此B错误； 在同一坐标系中画出y=x和y=x的图象，如右图所示： 由图可知，r∈(O,1)时y=x的图象在y=的下方，即x∈(0,1)，x<x,可得C正 确； 当x∈(，+)时，y=的图象在y=x的上方，所以x∈(L,+o),x>xi,即D错误. 故选：AC 10.ABD【解】对于A,取a=-1,b=1,则a<b,但1<号 a b 取=1，b=-1,则片但，所以aD是~合言的跃不充分也不必装条件、A错谈： 附于B,因为+y山，所以w三+中一生行所以的最大值为B蛋澳 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x1<x<3},所以a<0,且1,3为方程x2+b.x+c=0的根， 所以1+3一，1x3=,所以b=4a,c=3a,所以a+2b+3c=a-8&a+9a=2a<0,C正确 命题“x∈R,使得x2+1=0.”的否定为x∈R,使得x2+1≠0.D错误： 故选：ABD 11.ABD【解】令f(x)=t,则t2+at+a=0,当x≤0时，(x)=x+2x+1,在xe(-o,-1]单调递减，f(x)e[0,+o), 答案第2页，共8页 在x∈[-l,0]单调递增，f(x)e[0,1]:当x>0时，f(x)=lnx-1,在x∈(0，e]单调递减，f(x)e[0,+o), 在x∈(e,+o)单调递增，f(x)e(0,+o),作出f(x)的图象如下： y=f(x) y=t -l0xe4 若关于x的方程[f(x)了+af(c)+a=0有四个不同的实数解，结合图像可知，tP+at+a=0在te(0,只有一个解， 记g(t)=t+at+a, ①当g(t)有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在(0,1]， △>0 [a2-4a>0 由题意{8(0)<0，有 a<0 ,解得-号≤a<0；/ 8(1)≥0 1+2a≥0 ②当g(0有且仅有一个零点时，△=0，即a=0或a=4时，需要0<-≤1才行，无解， 2 所以综上0②，a的取值范围是sa<0,故D正确 因为0<t≤1，由0<f()≤1得0<1-lnx3≤1，所以1≤5<e,故B正确： 又，5∈[-2,0]，根据韦达定理可知f(x)=x2+2x+1=t中x+x2=-2, x5=1-te[0,1),m5-1=mx4-1→-(ns-1)=hx4-1→3x4=e2, 所以0≤xx4<e，故C错误，A正确。 故选：ABD 22列【解1因为数/的定义设为5引则对于两数8（国，令Q15,解得1<水≤2。 i,令 所以函数8(x)= f(2x+1) 的定义域是(1,2].故答案为：(1,2] x-1 13.1+5【解)如图1，易知△BDE∽△MC8,且BD=CD-BC=b-a, 图1 答案第3页，共8页 所肥。a女c:所以4-6ab-d小： AC b a+b+c 如图2，易知△GFH∽△ACB,且FG=a, 6 a B H a G 图2 所以C-ga为。所以4-8(a*b+e小 AC b a+b+c 1 所以+-a+b+e-1+日+正 2+B=1+ =Iya+842ab 2ab a+b a+b a+b 1+ a2+b2 又因为d+≥2a,所以1，当且仅当a=b时取等号， 所以，中21 1 a+b 1* 2 所以最小值为1+2 2 故答案为：1+V 2 14.【3,2]【解】对于西数f)-h(F+2+h2,因为F+2>F-±r, 所以√x+2+x>0恒成立，其定义域为R, 又闲=+h2-bs 且-h-xxh9点h+*-f）, √2 √x2+2-x 所以f)=n(F+2+xh2为R上的偶函数 由复合函数的单调性可知，∫(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(x-a)<f(3x)等价于x-d<3x,即(x-a)<(3x),即(a+2x)(a-4x)<0. 当x∈(-0，-1)时，4x<a<-2x恒成立，所以-4≤a≤2； 当x3+切时，2x<a<4x恒成立，所以3≤a≤6综上，3≤a五 故答案为：[-3,2] 答案第4页，共8页 oo lom.1o1ow(g,52 *221 所议原式-2- 4 1 (2)因为tano&+ an=-,所以tana=-2或、1 2 又经<a<,所以ma=子 4 2sin'a-simacosa-3cos'a2tan'a-tana-3 sin'a+cos-a tan'a+1 16.(1)(-m,0]U1,+0） @me2l[2+国 1a4-=2a 当m=0时，B=(-1,1), .A=（-,0]U[2,+0),GB=(-0,-1]U[1,+∞)， ∴.(CRAU(CB)=(-n,0]U[L,+∞). （2)AUB=A,BCA. 当B=0时，2m-1≥m+1,m≥2； [m<2 当B=时.即20，即吃m≤1 m+1≤2 me2). 17.1)(-m0:2)(m3:3)(n0. 【解】(1)f(x)=(3)-3×3+c,令3”=t, 当x∈[0,1]时，t∈[1,3]，问题转化为当t∈[1,3]时，g(x)=-3t+c<0恒成立. 于是，只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0,即32-3x3+c<0,解得c<0, ∴.实数c的取值范围是(0,0)， (2)若存在∈[0，，使f(s)<0,则存在t∈[1,3]，使g(r)=t-3t+c<0, 于是，只需g(t)在[1,3]上的最小值g 答案第5页，共8页 实数c的取值范国是（心，孕 (3)若方程f(x)=c.3在[0,1]上有唯一实数解， 则方程t-(3+c)t+c=0在[1,3]上有唯一实数解 因△=(3+c-4c=(c+1)+8>0, 故tP-(3+c)t+c=0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解， 令h(t)=t-(3+c)t+c,因h(1)=-2<0,故只需h(3)=-2c≥0，解得c≤0， .实数c的取值范围是(-0,0]， 18.(1)x=80最低，亏损状态 (2)选择方案二进行补贴，理由见解析 【解】1)由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为=；+320+40.x∈[70120， x 2x x.320 0+40≥2， x3200 +40=2×40+40=120, 当且仅当-3200即x=80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低。 2- 因为120>100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态： (2)若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为”元， =100x 号x+40x+3200+5000=-号x+60x+180=-1x-60y2+3600, 因为x∈[70120,1=6x-60+360在[70120]上单调递减。 所以当x=70吨时，企业获得最大利润，为3550元， 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为”，元， 2=100x+60x- （3r+40x+320 12x+120x=3200=G-1202+4000 因为xe[70120],为=-6-1202+400在[70120上单调道增， 所以当x=120吨时，企业获得最大利润，为4000元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润3550元；选择方案二，当日加工处理量为120 吨时，获得最大利润4000元：所以选择方案二进行补贴. 190ot,aa 2 (2)(i)证明见解析；(i)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】(1)由性质②知f(x)+g(x)=a,所以f(-x)+g(-x)=a, 由性质①知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=a, 答案第6页，共8页 解得)，)-0 2 2重明：网为)a之2g-2a@广-afa2-a. 2 2 2 2 所以f(2x)=2f(x)g(x) @t国g..j1Pj-a时agag 4 2 所以g(2x)=2[g(x)]了-1， a由(2知，原式等价于2「g(--2》e(-号0， 1ge)aLo） 则式等价于-到0， 当a>1时， ①b<0时，无解： @0Bs时，名1又11.所u1六 1 即1≤+a≤1 22b 解得1-V-4b ≤r≤1+-4b 2b 2b 所以解集为log。 1-1-4b2, 2b 色}1侧，≤六1，无解 ④1<b<2时， ≤11，无解： 2b 回b≥2时， 台1,1号1≤名 2 2 解得b-B-4≤a≤b+B-4 2 2 所以解集为 b-B-4,1g”2j b+B-4 2 综上，若a>1,则 当b<0或2<b<2时，无解： 当0<b≤。时，解集为log。 .上e.+ 2b 2b 答案第7页，共8页 当b≥2时，解集为 l1og。2 2 同理可得若0<a<1时， 当b<0或5<b<2时，无解： 当0<bs1时，解集为log 1-V1-4b2 2 11-46 og. 2b 当b≥2时，解集为10g。2 答案第8页，共8页