广东省惠州市光正实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

惠州市光正实验学校2023-2024学年度第一学期期中考高二数学 参考答案： 1．B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 2．D 【分析】根据已知条件求得，由此确定正确答案. 【详解】依题意椭圆， 所以， 所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误. 离心率为，D选项正确. 故选：D 3．D 【分析】利用互斥事件概率公式即得. 【详解】∵事件A与B互为互斥事件，， ∴. 故选：D. 4．A 【分析】根据可得平面的法向量与平面的法向量共线，建立等式解出即可. 【详解】解：因为，则平面的法向量与平面的法向量共线， 即，即，解得. 故选：A 5．C 【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为， 则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：， 事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：， 而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误； 显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生， 因此，事件A与事件B不互斥，故D错误； 因为，则， 所以A与B相互独立，故C正确. 故选：C. 6．C 【详解】首先确定B关于y轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求. 【分析】由题设，故. 故选：C 7．B 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 8．A 【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值. 【详解】∵ ∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值． 易知P，Q两点在l的同一侧， 设点P关于l对称的点， 则，解得，∴， 故． 故选：A. 9．ABD 【分析】空间向量模的坐标计算可以验证选项A， 向量坐标减法运算验证选项B， 两向量数量积为0验证选项C， 利用向量共面条件验证选项D. 【详解】因为， 所以， ， 所以A正确； ， 故B正确； ， 故C不正确； 由， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 10．ACD 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A；结合对立事件的概率关系可判断B；再由相互独立事件的概率公式可判断C；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D. 【详解】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则： A．根据概率公式有： B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率 C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为 D．所求概率为 故选：ACD 11．BCD 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D． 【详解】对于A，由可得，， 令，即，此时， 所以直线恒过定点，A错误； 对于B，因为直线：的斜率为， 所以直线的斜率为，即， 此时直线与直线垂直，满足题意，B正确； 对于C，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，C正确； 对于D，设直线恒过定点， 圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：BCD． 12．BCD 【分析】根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D. 【详解】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误． 该几何体的体积为，B正确． 设EF的中点为，连接OB，OH，则, 则即二面角的平面角．，，C正确．    建立如图所示的空间直角坐标系，设，    ，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确． 故选：BCD 13．5 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：5 14．2 【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可. 【详解】由题知，， 所以 所以， 所以到直线的距离为， 故答案为：2 15． 【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率. 【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军， 故估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 16．或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 17．(1) ； (2) 【详解】（1）由，得， ∴与的交点为.…………………………………………2分 设与直线平行的直线为，…………………………………………3分 则，∴. ∴所求直线方程为.…………………………………………6分 （2）设与直线垂直的直线为，…………………………………………7分 则，解得． ∴所求直线方程为.…………………………………………10分 【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1． 18．(1)24.4小时 (2) 【详解】（1）甲班样本数据的平均值为， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；…………………………………………3分 乙班样本数据的平均值为， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．…………………………………………6分 （2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为， 从中任取2人，有，共10种可能，……………………………8分 其中都来自甲班的有，共3种可能，…………………………………………10分 所以所求概率．…………………………………………12分 19．(1) (2) 【详解】（1）由题可知，……………………2分 ，…………………………………………4分 则即 解得 ；…………………………………………6分 （2），…………………………………………7分 ∴， 又，…………………………………………9分 ∴，…………………………………………11分 故异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………………12分 20．(1) (2)或 【详解】（1）设圆的方程为，…………………………………………1分 则解得…………………………………………3分 所以圆的方程为，即.…………………………………………5分 （2）因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离.…………………………………………7分 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意.…………………………………………9分 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得.…………………………………………11分 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或.…………………………………………12分 21．(1); (2). 【详解】（1）在△中，则，……………2分 所以，故，又，则，故，……………………4分 所以椭圆E的标准方程.…………………………………………5分 （2）由题设，直线，即，………………………6分 联立并整理得：，可得，，…………………………8分 所以，，即，，…………………………………………10分 故.…………………………………………12分 22．(1) (2) 【详解】（1）解：因为平面，平面， 所以，，………………1分 又因为，，、平面，所以平面. ……………2分 因为，平面，平面，所以，平面，…………3分 故点到平面的距离等于，…………………………………………4分 所以，.…………………………………………5分 （2）解：由平面，，以点为坐标原点， 分别以、、所在直线为轴、轴、轴，如图建立空间直角坐标系，    则，，，，.      所以，，，.………………………………7分 设平面的一个法向量为， 则，取，可得，       …………………………………8分                   设，其中，则， ……………………9分 记直线与平面所成角为， 则，…………………………………………10分 整理可得，解得（舍）或.   所以，…………………11分 故线段的长度为.…………………………………………12分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市光正实验学校2023-2024学年度第一学期期中考 高二数学试题 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩80分，第二部分（解答题）卷面成绩70分 2.考试时间120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题（共80分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．经过两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ）． A．长轴长为2 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 3．若事件A与B互为互斥事件，，则（    ） A． B． C． D． 4．设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 6．在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（    ） A． B． C． D．2 7．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．108 D．117 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求，少选且正确得2分） 9．已知向量，，，则（     ） A． B． C． D．向量，，共面 10．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（        ） A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为 11．已知直线：和圆O：，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在k使得直线与直线：垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（    ）    A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为4 C．二面角的余弦值为 D．若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 3、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分） 13．若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则 ． 14．已知空间中有三点，，，则到直线的距离为 . 15．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为 . 16．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 第二部分 解答题（共70分） 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（满分10分）已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 18．（满分12分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 19．（满分12分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． (1)设平面的法向量为，求的值; (2)求异面直线与 所成角的余弦值. 20．（满分12分）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 21．（满分12分）已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值. 22．（满分12分）如图，在四棱柱中，平面，，，，， 为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$